【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第8篇 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系限时训练 理

1 第第 3 3 讲讲 空间点 直线 平面之间的位置关系空间点 直线 平面之间的位置关系 分层 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 若空间中有两条直线 则 这两条直线为异面直线 是 这两条直线没有公共点 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 解析 若两条直线无公共点 则两条直线可能异面 也可能平行 若两条直线是异 面直线 则两条直线必无公共点 答案 A 2 若两条直线和一个平面相交成等角 则这两条直线的位置关系是 A 平行 B 异面 C 相交 D 平行 异面或相交 解析 经验证 当平行 异面或相交时 均有两条直线和一个平面相交成等角的情 况出现 故选 D 答案 D 3 以下四个命题中 正确命题的个数是 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点A B C D共面 点A B C E共面 则A B C D E共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 正确 可以用反证法证明 从条件看出两平面有三个公共点A B C 但 是若A B C共线 则结论不正确 不正确 共面不具有传递性 不正确 因 为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上 答案 B 4 在正方体ABCDA1B1C1D1中 O是BD1的中点 直线A1C交平面AB1D1于点M 则下列结 论错误的是 A A1 M O三点共线 B M O A1 A四点共面 C A O C M四点共面 D B B1 O M四点共面 2 解析 因为O是BD1的中点 由正方体的性质知 点O在直线A1C上 O也是A1C的 中点 又直线A1C交平面AB1D1于点M 则A1 M O三点共线 A 正确 又直线与直 线外一点确定一个平面 所以 B C 正确 答案 D 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 已知a b为不垂直的异面直线 是一个平面 则a b在 上的射影有可能是 两条平行直线 两条互相垂直的直线 同一条直线 一条直线及其外一 点 在上面结论中 正确结论的编号是 写出所有正确结论的编号 解析 只有当a b时 a b在 上的射影才可能是同一条直线 故 错 其余都 有可能 答案 6 如图 在正方体ABCDA1B1C1D1中 M N分别为棱C1D1 C1C的中点 有以下四个结论 直线AM与CC1是相交直线 直线AM与BN是平行直线 直线BN与MB1是异面直线 直线AM与DD1是异面直线 其中正确的结论为 注 把你认为正确的结论的序号都填上 解析 直线AM与CC1是异面直线 直线AM与BN也是异面直线 故 错误 答案 三 解答题 共 25 分 7 12 分 如图所示 四边形ABEF和ABCD都是直角 梯形 BAD FAB 90 BC綉AD BE綉 1 2 FA G H分别为FA FD的中点 1 2 1 证明 四边形BCHG是平行四边形 2 C D F E四点是否共面 为什么 3 1 证明 由已知FG GA FH HD 可得GH綉AD 1 2 又BC綉AD GH綉BC 1 2 四边形BCHG为平行四边形 2 解 由BE綉AF G为FA中点知 BE綉FG 1 2 四边形BEFG为平行四边形 EF BG 由 1 知BG綉CH EF CH EF与CH共面 又D FH C D F E四点共面 8 13 分 如图所示 在正方体ABCDA1B1C1D1中 1 求A1C1与B1C所成角的大小 2 若E F分别为AB AD的中点 求A1C1与EF所成角的大 小 解 1 如图 连接AC AB1 由ABCDA1B1C1D1是正方体 知AA1C1C为平行四边形 所以AC A1C1 从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成 的角 由AB1 AC B1C可知 B1CA 60 即A1C1与B1C所成角为 60 2 如图 连接BD 由AA1 CC1 且AA1 CC1可知A1ACC1是平行四边形 AC A1C1 AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角 EF是 ABD的中位线 EF BD 又 AC BD AC EF 即所求角为 90 分层 B 级 创新能力提升 1 2013 吉林一模 一个正方体的展开图如图所示 A B C D为原正方体的顶点 则在原来的正方体中 4 A AB CD B AB与CD相交 C AB CD D AB与CD所成的角为 60 解析 如图 把展开图中的各正方形按图 a 所示的方式分别作为正方体的前 后 左 右 上 下面还原 得到图 b 所示的直观图 可见选项 A B C 不正确 正 确选项为 D 图 b 中 DE AB CDE为AB与CD所成的角 CDE为等边三角形 CDE 60 答案 D 2 如图所示 在三棱柱ABCA1B1C1中 AA1 底面 ABC AB BC AA1 ABC 90 点E F分别是棱 AB BB1的中点 则直线EF和BC1所成的角是 A 45 B 60 C 90 D 120 解析 如图 连接AB1 易知AB1 EF 连接B1C交BC1于 点G 取AC的中点H 连接GH 则GH AB1 EF 设 AB BC AA1 a 连接HB 在 GHB中 易知 GH HB GB a 故两直线所成的角即为 HGB 60 2 2 答案 B 3 如图所示 在三棱锥ABCD中 E F G H分别是棱 AB BC CD DA的中点 则 当AC BD满足条件 时 四边形EFGH为菱形 5 当AC BD满足条件 时 四边形EFGH是正方形 解析 易知EH BD FG 且EH BD FG 同理EF AC HG 且EF AC HG 显 1 2 1 2 然四边形EFGH为平行四边形 要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF EH 即 AC BD 要使四边形EFGH为正方形需满足EF EH且EF EH 即AC BD且AC BD 答案 AC BD AC BD且AC BD 4 在正方体ABCDA1B1C1D1中 E F分别为棱AA1 CC1的中点 则在空间中与三条直线 A1D1 EF CD都相交的直线有 条 解析 法一 在EF上任意取一点M 直线A1D1与M确定一个平面 这个平面与CD有 且仅有 1 个交点N 当M取不同的位置就确定不同的 平面 从而与CD有不同的交点N 而直线MN与这 3 条异面直线都有交点 如图所 示 法二 在A1D1上任取一点P 过点P与直线EF作一个平面 因CD与平面 不平 行 所以它们相交 设它们交于点Q 连接PQ 则PQ与EF必然相交 即PQ为所求 直线 由点P的任意性 知有无数条直线与三条直线A1D1 EF CD都相交 答案 无数 5 如图 在四面体ABCD中作截面PQR 若PQ CB的 延长线交于M RQ DB的延长线交于N RP DC的 延长线交于K 求证 M N K三点共线 证明 M PQ 直线PQ 平面PQR M BC 直线 BC 面BCD M是平面PQR与平面BCD的一个公 共点 即M在面PQR与面BCD的交线l上 同理可证 N K也在l上 M N K三点共线 6 在四棱锥PABCD中 底面是边长为 2 的菱形 DAB 60 对角线AC与BD交于点 O PO 平面ABCD PB与平面ABCD所成角为 60 1 求四棱锥的体积 2 若E是PB的中点 求异面直线DE与PA所成角的余弦值 6 解 1 在四棱锥PABCD中 PO 面ABCD PBO是PB与面ABCD所成的角 即 PBO 60 在 Rt POB中 BO AB sin 30 1 又PO OB PO BO tan 60 3 底面菱形的面积S菱形ABCD 2 3 四棱锥PABCD的体积VPABCD 2 2 1 333 2 取AB的中点F 连接EF DF E为PB中点 EF PA DEF为异面直线DE