机电系统控制基础大作业一指导书

一 作业目的一 作业目的 1 以 MATLAB 或 Simulink 为工具 对控制系统进行时间响应和频率特性分析 2 掌握控制系统的时域响应及性能指标 利用频率响应进行系统分析 二 作业原理二 作业原理 1 控制系统进行时间响应分析和频率特性分析 1 1 时域分析法 时域分析法是根据系统的微分方程 或传递函数 利用拉普拉斯变换直接 解出动态方程 并依据过程曲线及表达式分析系统的性能 时域响应指标如图 1 所示 图 1 系统时域响应指标表示 延迟时间 td 指响应曲线第一次达到其终值一半所需要的时间 上升时间 tr 指响应曲线从终值 10 上升到终值 90 所需要的时间 对于 有振荡的系统 也可定义为响应从零第一次上升到终值所需要的时间 上升时 间是系统响应速度的一种度量 峰值时间 tp 指响应超过终值达到第一个峰值所需要的时间 调节时间 ts 指响应达到并保持在终值 5 或 2 内所需要的时间 超调量 指响应的最大偏离量 h tp 与终值 h 之差的百分比 即 100 h htph 稳态误差 描述系统稳态性能的一种性能指标 1 2 频域分析法 频域分析法通常从频率特性出发对系统进行研究 在工程分析和设计中 通常把频率特性画成一些曲线 从频率特性曲线出发进行研究 这些曲线包括 幅频特性和相频特性曲线 幅相频率特性曲线 对数频率特性曲线以及对数幅 相曲线等 其中以幅相频率特性曲线 对数频率特性曲线应用最广 对于最小 相位系统 幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对于关系 故根据对数幅频 特性 可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数 根据系统的开环频率特性 去判断闭环系统的性能 并能较方便地分析系统参量对系统性能的影响 从而 指出改善系统性能的途径 2 利用 MATLAB 分析时间响应和频率特性的方法 2 1 MATLAB 中数学模型的表示 MATLAB 中数学模型的表示主要有三种基本形式 传递函数分子 分母多 项式模型 传递函数零极点增益模型和状态空间模型 1 传递函数分子 分母多项式模型 当传递函数为 1 011 1 011 mm mm nn nn b sbsbsb G s a sa sasa 时 在 MATLAB 中 可以直接用分子分母的系数表示 即 01 m numb bb 01 n dena aa G stf num den 2 传递函数零极点增益模型 当传递函数为 01 01 m n szszsz G sK spspsp 时 在 MATLAB 中 可用 z p k 矢量组表示 即 01 m zzzz 01 n pppp kK G szpk z p k 3 状态空间模型 当系统的数学模型为状态空间表达式 XAXBu YCXDu 时 在 MATLAB 中 可用 A B C D 矩阵组表示 即系统表示为 ss A B C D 4 复杂传递函数的求取 在 MATLAB 中 可用 conv 函数实现复杂传递函数的求取 conv 函数是标准的 MATLAB 函数 用来求取两个向量的卷积 也可用来求取多项式乘法 conv 函数允许多重嵌套 从而实现复杂的计算 2 2 系统建模 对简单系统的建模可直接采用三种基本模型 递函数分子 分母多项式模型 传递函数零极点增益模型和状态空间模型 但实际中经常遇到由几个简单系统 组合成一个复杂系统的情况 常见形式有并联 串联和反馈连接等 1 串联 将两个系统按串联方式连接 如图 2 a 所示 在 MATLAB 中可用 series 函数实现 如图 2 b 所示 系统1 G1 s 系统2 G2 s R s Y s a s num s s den Y T R 1 num1 s den1 G 2 num2 s den2 G num den series num1 den1 num2 den2 b 图 2 系统的串联 2 并联 将两个系统按并联方式连接 如图 3 a 所示 在 MATLAB 中可用 parallel 函数实现 如图 3 b 所示 系统1 G1 s 系统2 G2 s R S Y S a s num s s den Y T R 1 num1 s den1 G 2 num2 s den2 G num den parallel num1 den1 num2 den2 b 图 3 系统的并联 3 反馈 系统的反馈连接如图 4 a 所示 在 MATLAB 中可用 feedback 函数实现 如图 4 b 所示 R S Y S 系统1 G1 s 系统2 H s a s num s s den Y T R 1 num1 s den1 G num2 H s den2 num den feedback num1 den1 num2 den2 sign 1 1 正反馈 负反馈 缺省值 b 图 4 系统的反馈连接 对于如图 5 a 所示的单位反馈系统 在 MATLAB 中可用 cloop 函数实 现 如图 5 b 所示 R S Y S 系统 G s a s num s s den Y T R num1 s den1 G num den cloop num1 den1 sign 1 1 正反馈 负反馈 缺省值 b 图 5 单位反馈系统 2 3 用 MATLAB 求系统时间响应及系统的瞬态性能指标 在 MATLAB 中 可以用 impulse 函数 step 函数和 lsim 函数对线性连续系 统的时间响应进行仿真计算 其中 impulse 函数用于生成单位脉冲响应 step 函数用于生成单位阶跃响应 lsim 函数用于生成对任意输入的时间响应 y x 输出响应 状态响应 仅用于状态空间模型 sys tf zpk ss 由 或 建立的 模型 y x impulse sys t t 仿真时间 区段 可选 图 6 impulse 函数 y x 输出响应 状态响应 仅用于状态空间模型 sys tf zpk ss 由 或 建立的 模型 y x step sys t t 仿真时间 区段 可选 图 7 step 函数 y x 输出响应 状态响应 仅用于状态空间模型 sys tf zpk ss 由 或 建立的 模型 y x lsim sys u t t 仿真时间 区段 可选 u 输入 图 8 lsim 函数 2 4 利用 MATLAB 绘制 Bode 图 在MATLAB中 可以用不带输出参数bode函数自动生成Bode图 而用带输 出参数的bode函数 可以得到系统的幅频特性和相频特性 bode函数如图13所 示 其中的w是用对数尺度表示的频率点数据向量 可由w logspace a b n 函数 产生介于10a和10b之间的n个频率点 mag phase w 幅频特性 相频特性 频率范围 可选 sys tf zpk ss 由 或 建立的 模型 mag phase w bode sys w w 频率范围 可选 图 9 bode 函数 三 示例三 示例 例 1 用 MATLAB 表示传递函数为 2 2232 5 1 31 653 2 ss ssssss 的系统 解 5 1 1 1 num 1 3 1 1 3 1 1 6 5 3 1 2 denconv conv conv G stf num den 例 2 某系统的方框图如下 50 0 051 ss 1s 求系统在时间常数 不同取值时的单位脉冲响应 单位阶跃响应和任意输 入响应 解 传递函数为 2 50 s 0 05 1 50 50 G ss 令 0 0 0125 0 025 应用 impulse 函数和 step 函数 可以分别得 到系统单位脉冲响应和单位阶跃响应 如图 10 所示 其中 tao 即为 00 20 40 60 8 10 5 0 5 10 15 20 25 t sec x t tao 0 tao 0 0125 tao 0 025 00 20 40 60 8 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 t sec x t tao 0 tao 0 0125 tao 0 025 图 10 单位脉冲响应曲线 左 和单位阶跃响应曲线 右 所用 MATLAB 文本如图 11 所示 t 0 0 01 0 8 nG 50 tao 0 dG 0 05 1 50 tao 50 G1 tf nG dG tao 0 0125 dG 0 05 1 50 tao 50 G2 tf nG dG tao 0 025 dG 0 05 1 50 tao 50 G3 tf nG dG y1 T impulse G1 t y1a T step G1 t y2 T impulse G2 t y2a T step G2 t y3 T impulse G3 t y3a T step G3 t subplot 121 plot T y1 T y2 T y3 legend tao 0 tao 0 0125 tao 0 025 xlabel t sec ylabel x t grid on subplot 122 plot T y1a T y2a T y3a legend tao 0 tao 0 0125 tao 0 025 grid on xlabel t sec ylabel x t 仿真时间区段 三种 值下的 系统模型 系统响应 生成图形 图 11 MATLAB 文本 对于任意输入 例如正弦输入 应用lsim函数可以求得 0 025时系统的时 间响应及误差曲线 如图12所示 所用MATLAB文本如图13所示 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 1 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 t sec x t u t x t e t 图12 统的时间响应及误差曲线 t 0 0 01 1 u sin 2 pi t tao 0 025 nG 50 dG 0 05 1 50 tao 50 G tf nG dG y lsim G u t plot t u t y t u y legend u t x t e t grid xlabel t sec ylabel x t 仿真时间区段和输入 求系统模型 系统响应 生成图形 图 13 MATLAB 文本 例3 在例2的基础上 利用MATLAB分别计算在 0 0 0125和 0 025时 系统的性能指标 结果表1所示 从表中可以看出 系统引入速度反馈后 系统 的调整时间和最大超调量都得到减小 表1 系统在不同 值的瞬态性能指标 上升时间 s峰值时间 s最大超调量 调整时间 s 00 06400 105035 090 3530 0 01250 07800 116015 230 2500 0 0250 10700 14104 1500 1880 所用MATLAB文本如图14所示 t 0 0 001 1 yss 1 dta 0 02 nG 50 tao 0 dG 0 05 1 50 tao 50 G1 tf nG dG tao 0 0125 dG 0 05 1 50 tao 50 G2 tf nG dG tao 0 025 dG 0 05 1 50 tao 50 G3 tf nG dG y1 step G1 t y2 step G2 t y3 step G3 t r 1 while y1 r 1 dtas s 1 end ts1 s 1 0 001 r 1 while y2 r 1 dtas s 1 end ts2 s 1 0 001 r 1 while y3 r 1 dtas s 1 end ts3 s 1 0 001 tr1 tp1 mp1 ts1 tr2 tp2 mp2 ts2 tr3 tp3 mp3 ts3 设定仿真时间区段和误差限 计算三种时间常数下系统 的单位阶跃响应 上升时间 0 峰值时间 0 最大超调量 0 调整时间 0 0 0125时 性能指标 0 0125时 性能指标 调整时间 0 图 14 MATLAB 文本 例4 作传递函数为 24 0 250 5 52 0 052 s G s ss 的系统的Bode图 利用bode函数绘制的系统的Bode图如图15所示 需注意的是 用bode函数 所得到的系统Bode图是其精确曲线 所用MATLAB文本如图16所示 40 30 20 10 0 10 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 90 45 0 Phase deg Bode Diagram Frequency rad s 图15 系统的Bode图 num 24 0 25 0 5 den conv 5 2 0 05 2 w logspace 2 3 100 Bode num den w grid on 系统的传递函数 产生介于10 2和103之间 的100个频率点 绘制Bode图 图 16 MATLAB 文本 四 作业内容四 作业内容 1 用 MATLAB 绘制系统 2 25 425 C s s R sss 的单位阶跃响应曲线 单位斜 坡响应曲线 2 用 MATLAB 求系统 2 25 425 C s s R sss 的单位阶跃响应性能指