函数极限习题与解析

函数与极限习题与解析函数与极限习题与解析 同济大学第六版高等数学 同济大学第六版高等数学 一 填空题一 填空题 1 设 其定义域为 xxxflglg2 2 设 其定义域为 1ln xxf 3 设 其定义域为 3arcsin xxf 4 设的定义域是 0 1 则的定义域为 xf sin xf 5 设的定义域是 0 2 则的定义域为 xfy 2 xfy 6 则 k 4 3 2 lim 2 3 x kxx x 7 函数有间断点 其中 为其可去间断点 x x y sin 8 若当时 且处连续 则 0 x x x xf 2sin 0 xxf在 0 f 9 21 lim 222 nn n n n n n n 10 函数在处连续是在连续的 条件 xf 0 x xf 0 x 11 35 23 52 23 1 lim xx xxx x 12 则 k 3 2 1 lim e n kn n 13 函数的间断点是 23 1 2 2 xx x y 14 当时 是比 的无穷小 x x 1 13 xx 15 当时 无穷小与 x 相比较是 无穷小 0 xx 11 16 函数在 x 0 处是第 类间断点 x ey 1 17 设 则 x 1 为 y 的 间断点 1 1 3 x x y 18 已知 则当 a 为 时 函数在处连续 3 3 fxxaxf3sin 3 1 sin 3 x 19 设若存在 则 a 0 1 0 2 sin 1 xax x x x xf x lim 0 xf x 20 曲线水平渐近线方程是 2 sin 2 x xx y 21 的连续区间为 1 1 4 2 2 x xxf 22 设 在连续 则常数 0 cos 0 xx xax xf0 x a 二 计算题二 计算题 1 求下列函数定义域 1 2 2 1 1 x y xysin 3 x ey 1 2 函数和是否相同 为什么 xf xg 1 xxgxxfln2 ln 2 2 2 xxgxxf 3 xxxgxf 22 tansec 1 3 判定函数的奇偶性 1 2 1 22 xxy 32 3xxy 3 1 1 xxxy 4 求由所给函数构成的复合函数 1 22 sin xvvuuy 2 2 1 xuuy 3 xveuuy v sin 2 5 计算下列极限 1 2 2 1 4 1 2 1 1 lim n n 2 1 321 lim n n n 3 4 3 5 lim 2 2 x x x 1 12 lim 2 2 1 x xx x 5 6 1 2 1 1 lim 2 xx x 2 23 2 2 2 lim x xx x 7 8 x x x 1 sinlim 2 0 xx x x 13 1 lim 2 1 9 1 lim 2 xxx x 6 计算下列极限 1 2 x wx x sin lim 0 x x x 5sin 2sin lim 0 3 4 xx x cotlim 0 x x x x 1 lim 5 6 1 1 1 lim x x x x x x x 1 0 1 lim 7 比较无穷小的阶 1 322 20 xxxxx 2 1 2 1 11 2 xxx 8 利用等价无穷小性质求极限 1 2 3 0 sin sintan lim x xx x sin sin lim 0 mn x x m n x 9 讨论函数的连续性 1 1 3 1 1 x xx xx xf 10 利用函数的连续性求极限 1 2 2cos2ln lim 6 x x lim 22 xxxx x 3 4 x x x sin lnlim 0 x x x 2 1 1 lim 5 1 1 lim 1 lim 1 t f n x xf t n n 求设 6 1 1 ln lim x x x x 11 设函数 0 0 xxa xe xf x 应当怎样选择 a 使得内的连续函数 xf 12 证明方程至少有一个根介于 1 和 2 之间 13 5 xx B 1 设的定义域是 0 1 求下列函数定义域 xf 1 2 x efy ln xfy 2 设 0 0 0 0 0 2 xx x xg xx ox xf 求 xfgxgfxggxff 3 利用极限准则证明 1 2 1 1 1lim n n 1 1 lim 0 x x x 3 数列的极限存在 222 22 2 4 试比较当时 无穷小与的阶 0 x232 xx x 5 求极限 1 2 1 lim 2 xxx x 1 12 32 lim x x x x 3 3 0 sintan lim x xx x 4 0 0 0 3 lim 1 0 cba cba x xxx x 6 设 要使内连续 0 0 1 sin 2 xxa x x x xf 在xf 应当怎样选择数 a 7 设 求的间断点 并说明间断点类型 01 1ln 0 1 1 xx xe xf x xf C 1 已知 且 求并写出它的定义域 xxfexf x 1 2 0 x x 2 求下列极限 1 2 lncos 1ln coslimxx x x xxx x cossin1 lim 0 3 求 4 已知 求常数 xx x x 2 sin 35 53 lim 2 9 lim x x ax ax a 5 设在闭区间上连续 且 xf babbfaaf 证明 在开区间内至少存在一点 使 ba f 第一章 函数与极限 习 题 解 析 A 一 填空题一 填空题 1 2 3 2 4 2 1 1 4 5 zkkxkx 12 2 2 2 6 3 7 8 2 9 10 xzkkx 10 充分 11 12 13 x 1 x 2 14 高阶 2 1 2 3 15 同阶 16 二 17 可去 18 2 19 ln2 20 y 2 21 22 1 2 1 1 2 二 计算题二 计算题 1 1 1 1 1 1 2 3 0 0 0 2 1 不同 定义域不同 2 不同 定义域 函数关系不同 3 不同 定义域 函数关系不同 3 1 偶函数 2 非奇非偶函数 3 奇函数 4 1 2 3 22 sinxy 1 2 xy sin2x ey 5 1 2 2 3 9 4 0 5 2 6 2 1 7 0 8 9 22 2 1 6 1 w 2 3 1 4 5 6 5 2 1 e 2 e 1 e 7 1 2 是同阶无穷小的低阶无穷小是 322 2xxxx 8 1 2 2 1 nm nm nm 1 0 9 不连续 10 1 0 2 1 3 0 4 5 0 6 2 2 e 11 a 1 B 1 1 提示 由 解得 10 x e 0 x 2 提示 由解得 1ln0 x 1 ex 2 提示 分成和两段求 ox 0 x xfxff 0 xgg 0 xgf xgxfg 4 1 提示 2 提示 nn 1 1 1 11 x x x x x x 1 1 1 1 3 提示 用数学归纳法证明 222 n a 5 提示 令 同阶 xxx xxxx 1312232 t x 12 6 1 提示 乘以 2 提示 除以 xx 1 2 2 1 x2e 3 提示 用等阶无穷小代换 2 1 4 提示 x xxx cba 1 3 x cba cba xxx xxx xxx cba 3 111 111 3 1 3 111 3 abc 7 提示 0 lim lim 00 fxfxf xx 0 a 8 是第二类间断点 是第一类间断点1 x0 x C 1 解 因为 故 再由 xexf x 1 2 1ln xx 0 1ln x 得 即 所以 11 x0 x 1ln xx 0 x 2 解 原式 cossin1 cossin1 lim 2 0 xxxx xxx x x xxx x 2 0 sinsin 2 1 lim 0 sin sin lim 2 1 0 xx x x x 3 解 因为当时 x xx 2 2 sin 则 xx x x 2 sin 35 53 lim 2 xx x x 2 35 53 lim 2 xx x x