【步步高】2014届高考数学大一轮复习 10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理试题（含解析）新人教A版

1 10 110 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一 选择题一 选择题 1 如图 用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A B C D 中 要求相邻的矩形涂色不同 则不同的涂法有 AB C D A 72 种 B 48 种 C 24 种 D 12 种 解析 先分两类 一是四种颜色都用 这时 A 有 4 种涂法 B 有 3 种涂法 C 有 2 种涂法 D 有 1 种涂法 共有 4 3 2 1 24 种涂法 二是用三种颜色 这时 A B C 的涂法有 4 3 2 24 种 D 只要不与 C 同色即可 故 D 有 2 种涂法 故不同的涂法共有 24 24 2 72 种 答案 A 2 如图 用 6 种不同的颜色把 图中A B C D四块区域分开 若相邻区域 不能涂同一种颜色 则不同的涂法共有 A 400 种 B 460 种 C 480 种 D 496 种 解析 从A开始 有 6 种方法 B有 5 种 C有 4 种 D A同色 1 种 D A不同色 3 种 不同涂法有 6 5 4 1 3 480 种 故选 C 答案 C 3 甲 乙两人从 4 门课程中各选修 2 门 则甲 乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 A 6 种 B 12 种 C 24 种 D 30 种 解析 分步完成 首先甲 乙两人从 4 门课程中同选 1 门 有 4 种方法 其次甲从剩下的 3 门课程中任选 1 门 有 3 种方法 最后乙从剩下的 2 门课程中任选 1 门 有 2 种方法 于 是 甲 乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法共有 4 3 2 24 种 故选 C 答案 C 4 有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学 在数学检测时要求每位教师不能 在本班监考 则监考的方法有 A 8 种 B 9 种 2 C 10 种 D 11 种 解析 分四步完成 共有 3 3 1 1 9 种 答案 B 5 如果一条直线与一个平面平行 那么称此直线与平面构成一个 平行线面组 在一个 长方体中 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 平行线面组 的个数是 A 60 B 48 C 36 D 24 解析 长方体的 6 个表面构成的 平行线面组 有 6 6 36 个 另含 4 个顶点的 6 个面 非表面 构成的 平行线面组 有 6 2 12 个 共 36 12 48 个 故选 B 答案 B 6 高三年级的三个班去甲 乙 丙 丁四个工厂参加社会实践 但去何工厂可自由选择 甲工厂必须有班级要去 则不同的分配方案有 A 16 种 B 18 种 C 37 种 D 48 种 解析 三个班去四个工厂不同的分配方案共 43种 甲工厂没有班级去的分配方案共 33种 因此满足条件的不同的分配方案共有 43 33 37 种 答案 C 7 4 位同学从甲 乙 丙 3 门课程中选修 1 门 则恰有 2 人选修课程甲的不同选法有 A 12 种 B 24 种 C 30 种 D 36 种 解析 分三步 第一步先从 4 位同学中选 2 人选修课程甲 共有 C 种不同选法 第二步给 2 4 第 3 位同学选课程 有 2 种选法 第三步给第 4 位同学选课程 也有 2 种不同选法 故共 有 C 2 2 24 种 2 4 答案 B 二 填空题 8 将数字 1 2 3 4 5 6 按第一行 1 个数 第二行 2 个数 第三行 3 个数的形式随机排列 设Ni i 1 2 3 表示第i行中最大的数 则满足N1 N2 N3的所有排列的个数是 用数字作答 解析 由已知数字 6 一定在第三行 第三行的排法种数为 A A 60 剩余的三个数字中最 1 3 2 5 大的一定排在第二行 第二 行的排法种数为 A A 4 由分步计数原理满足条件的排列个数是 240 1 2 1 2 答案 240 9 数字 1 2 3 9 这九个数字填写在如图的 9 个空格中 要求每一行从左到右依次增大 每列从上到下也依次增大 当数字 4 固定在中心位置时 则所有填写空格的方法共有 种 3 4 解析 必有 1 4 9 在主对角线上 2 3 只有两种不同的填法 对于它们的每一种填法 5 只有两种填法 对于 5 的每一种填法 6 7 8 只有 3 种不同的填法 由分步计数原理知 共有 22 3 12 种填法 答案 12 10 将数字 1 2 3 4 5 6 排成一列 记第i个数为ai i 1 2 6 若 a1 1 a3 3 a5 5 a1 a3 a5 则不同的排列方法有 种 用数字作答 解析 分两步 1 先排a1 a3 a5 若a1 2 有 2 种排法 若a1 3 有 2 种排法 若 a1 4 有 1 种排法 共有 5 种排法 2 再排a2 a4 a6 共有 A 6 种排法 故不同的 3 3 排列方法有 5 6 30 种 答案 30 11 用红 黄 蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1 2 9 的 9 个小正方形 使得任意相 邻 有公共边的 小正方形所涂颜色都不相同 且标号为 1 5 9 的小正方形涂相同的颜色 则符合条件的所有涂法共有 种 123 456 789 解析 分步求解 只要在涂好 1 5 9 后 涂 2 3 6 即可 若 3 与 1 5 9 同色 则 2 6 的涂法 为 2 2 若 3 与 1 5 9 不同色 则 3 有两种涂法 2 6 只有一种涂法 同理涂 4 7 8 即 涂法总数是 C 2 2 C 1 2 2 C 1 3 6 6 108 1 31 21 2 答案 108 1212 给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色 当n 4 时 在所有不同的着色方案中 黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示 由此推断 当n 6 时 黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种 至少有两个黑 色正方形相邻的着色方案共有 种 结果用数值表示 4 答案 21 43 三 解答题 13 如右图所示三组平 行线分别有m n k条 在此图形中 1 共有多少个三角形 2 共有多少个平行四边形 解析 1 每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的 由分步计数原理知 共可构成m n k个三角形 2 每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的 由分类和分步计数原 理知共可构成 C C C C C C 个平行四边形 2m2n2n2k2k2m 14 编号为A B C D E的五个小球放在如图所示的五个盒子里 要求每个盒子只能放一个小球 且A球不能放在 1 2 号 B球必须放在 与A球相邻的盒子中 求不同的放法有多少种 解析 根据A球所在位置分三类 1 若A球放在 3 号盒子内 则B球只能放在 4 号盒子内 余下的三个盒子放球C D E 则根据分步乘法计数原理得 3 2 1 6 种不同的放法 2 若A球放在 5 号盒子内 则B球只能放在 4 号盒子内 余下的三个盒子放球C D E 则根据分步乘法计数原理得 3 2 1 6 种不同的放法 3 若A球放在 4 号盒子内 则B球可以放在 2 号 3 号 5 号盒子中的任何一个 余下的 三个盒子放球C D E有 A 6 种不同的放法 根据分步乘法计数原理得 3 3 3 3 2 1 18 种不同方法 综上所述 由分类加法计数原理得不同的放法共有 6 6 18 30 种 15 现安排一份 5 天的工作值班表 每天有一个人值班 共有 5 个人 每个人都可以值多 天班或不值班 但相邻两天不准由同一个人值班 问此值班表共有多少种不同的排法 解析 可将星期一 二 三 四 五分给 5 个人 相邻的数字不分给同一个人 星期一 可分给 5 人中的任何一人 有 5 种分法 星期二 可分给剩余 4 人中的任何一人 有 4 种分法 星期三 可分给除去分到星期二的 剩余 4 人中的任何一人 有 4 种分法 5 同理星期四和星期五都有 4 种不同的分法 由分步计数原理共有 5 4 4 4 4 1 280 种 不同的排法 16 已知集合A a1 a2 a3 a4 B 0 1 2 3 f是从A到B的映射 1 若B中每一元素都有原象 这样不同的f有多少个 2 若B中的元素 0 必无原象 这样的f有多少个 3 若f满足f a1 f a2 f a3 f a4 4 这样的f又有多少个 解析 1 显然对应是一一对应的 即为a1找象有 4 种方法 a2找象有 3 种方法 a3找象 有 2 种方法 a4找象有 1 种方法 所以不同的f共有 4 3 2 1 24 个 2 0 必无原象 1 2 3 有无原象不限 所以为A中每一元素找象时都有 3 种方法 所以不 同的f共有 34 81 个 3 分为如下四类 第一类 A中每一元素都与 1 对应 有