高考数学复习点拨 圆锥曲线新题型选编

用心 爱心 专心1 圆锥曲线新题型选编圆锥曲线新题型选编 一 与作图有关的创新题一 与作图有关的创新题 例 1 1 已知椭圆C的方程是 22 22 1 0 xy ab ab 设斜率为k的直线l 交椭圆 C于AB 两点 AB的中点为M 证明 当直线l平行移动时 动点M在一条过原点的 定直线上 2 利用 1 所揭示的椭圆几何性质 用作图方法找出下面给定椭圆的中心 简要写 出作图步骤 并在图中标出椭圆的中心 解 1 设直线l的方程为ykxm 与椭圆C的交点 1122 A xyB xy 则有 22 22 1 ykxm xy ab 解得 222222222 20ba kxa kmxa ma b 0 2222 mba k 即 222222 ba kmba k 则 2 12 222 2a km xx ba k 2 1212 222 2b m yykxmkxm ba k AB 中点M的坐标为 22 222222 a kmb m ba k ba k 线段AB的中点M在过原点的直线 22 0b xa ky 上 2 如图 1 作两条平行直线分别交椭圆于AB 和CD 并分别取ABCD 的中点MN 连结直线MN 又作两条平行直 线 与前两条直线不平行 分别交椭圆于 11 AB 和 11 CD 并分 别取 1111 ABC D 的中点 11 MN 连接直线 11 M N 那么直线MN和 11 M N的交点O即为椭圆 中心 二 与折纸有关的创新题二 与折纸有关的创新题 例 2 如图 2 有一张长为 8 宽为 4 的矩形纸片 ABCD 按图示方法进行折叠 使每次折叠后点B都落在 AD边上 此时将B记为 B 注 图中EF为折痕 点 F也可落在边CD上 过 B 作B TCD 交EF于T点 求T点的轨迹方程 解 如图 3 以边AB的中点O为原点 AB边所在直 线为y轴建立平面直角坐标系 则 02 B 用心 爱心 专心2 因为BT B T B TAD 根据抛物线的定义 T点的轨迹是以点B为焦点 AD为 准线的抛物线的一部分 设 4T xyAB 即定点B到定直线AD的距离为 4 抛物线方程为 2 8xy 在折叠中 线段 AB 长度 AB 在区间 0 4 内变化 而x AB 04x 故T点的轨迹方程为 2 8 04 xyx 三 与立体几何有关的创新题三 与立体几何有关的创新题 例 3 如图 4 具有公共y轴的两个直角坐标平面 和 所成的二面角y 等于60 已知 内的曲线 C 的方 程是 2 2 0 ypx p 求曲线 C 在 内的射影的曲线方程 解 在 内 设点 M xy 是曲线 C 上任意一点 如 图 5 过点M作MN 垂足为N 过N作 NMy 轴 所以MHN 是二面角y 的平面角 依题 意60MHN 在MNHRt 中 1 cos60 2 HNHM x 又知HM x 轴 或M与O重合 HNx 轴 或H 与O重合 设 N xy 则 1 2 xx yy 2xx yy 因为点 M xy 在曲线 2 2 0 ypx p 上 所以 2 2 2 ypx 即所求射影的方程为 2 4 0 ypx p 上 所以 2 2 2 ypxx 即所求射影的方程为 2 4 0 ypx p 四 与定义新运算有关的创新题四 与定义新运算有关的创新题 例 4 设 12 xx R 常数0m 定义运算 22 121212 xxxxxx 1 若0 xyxm 求动点 P xy 的轨迹C的方程并说明轨迹C的形状 2 设 A xy 是坐标平面上任一点 定义 1 1 2 d Axxyy 2 1 2 dAxmxm 计算 12 d AdA 并说明 1 d A和 2 dA的几何意义 解 1 22 12121212 4xxxxxxx x 用心 爱心 专心3 4yxmmx 轨迹C的方程为 2 4 0 ymx y 故轨迹C是抛物线 2 4ymx 位于x轴及x轴上方的一部