高考数学复习点拨 复数的四则运算导学

用心 爱心 专心 复数的四则运算复数的四则运算 学习指南学习指南 一 知识要点一 知识要点 1 复数的加 减 乘 除运算按以下法则进行 设 12 zabi zcdi a b c dR 以下不再说明 加减法 abicdiacbd i 乘法 abi cdiacbdadbc i 除法 abi cdi 2222 abi cdiacbdbcad i cdcd 重要等式 2 2 z zzz 若z为虚数 则 2 2 zz 2 复数的加法 乘法运算满足交换律 结合律及乘法对加减法的分配律 实数的正整数指 数幂运算也能推广到复数集中 即 mnmn zzz mnmn zz 1212 nnn zzzzm nN 3 加 减法的几何意义 了解 复数加法可以按向量的平行四边形法则进行 复数 12 zz 与连接两向量终点并指向被减数的向量对应 两点间距离公式 12 dzz 是建立解析几何体系的重要公式 是求曲线方程的重要依据 因此用复数形式的两点间距离公式表示曲线方程十分简明 二 学法建议二 学法建议 1 在学习中 要把概念和运算融为一体 切实掌握好 2 了解复数加 减法的几何意义是难点 它们与平面向量的加 减法运算法则完全相同 用类比方法可对照学习 温故而知新 3 要熟练掌握复数加法 减法 乘法 除法的运算法则 特别是除法法则 更为重要 是考试的重点 4 在化简求值运算中 如能合理的运用i和w的性质 常能出奇制胜 事半功倍 所以 在学习中注意积累并灵活运用 1 2 1 2ii 2 11 11 ii ii ii 3 当 13 22 iw 时 2312 1 1 0 nnn nNww ww www w 用心 爱心 专心 4 123 0 nnnn iiiinN 5 性质 2 2 z zzz 是复数运算与实数运算互相转化的重要依据 也是把复数看 做整体进行运算的主要依据 在解题中加以认识并逐渐领会 三 例题分析三 例题分析 例例 1 1 已知1zi 1 设 2 34zzw 求w 2 如果 2 2 1 1 zazb i zz 求实数a b的值 分析分析 1 采用代入法求w 2 代入化简后 通过复数相等 把复数问题转化为实数 问题来解 解 解 1 1 zi 22 34 1 3 1 41zziiiw 2 由 2 2 1 1 zazb i zz 把1zi 代入得 2 2 1 1 1 1 1 1 iaib i ii 即 2 1 abai i i 2 1 1abaii ii 21 1 a ab 解得 1 2 a b 评注评注 通过复数相等的定义 把虚数问题转化成实数问题 是复数重要的数学思想 代入 化简时 要注意复数的运算技巧 例例 2 2 计算 1996 2 32 112 3 i ii 分析 分析 本题若按复数除法和乘法方法则直接计算 则显得十分繁琐 若能结合题目特点 联想结论 1 i 2 i和w的性质 并注意到23i 12 3 ii 不难找出简捷解 法 解解 原式 2 998 12 3 2 112 3 i ii 998998 2 2 iii i 4 24922 1iiiii 评注评注 代数形式的复数运算 基本思路是应用法则 但如果能通过对表达式的结构特征的 分析 灵活运用的i幂的性质 1 的立方虚根w的性质及 1 i的幂的性质等 将可有效地 用心 爱心 专心 简化运算 提高速度 例例 3 3 已知动点P在复平面上的复数为33 3zti 其中t是使 3 3 t t 为纯虚数的复 数 求点P的轨迹方程 分析分析 求出复数t 以 3 3 t t 为纯虚数为解决问题的突破口 注意可用性质及定义求解 解法解法 1 1 3 3 t t 为纯虚数 2 3 3 3 3 3 3 3 tttt ttt 为纯虚数 3 3 tt 为纯虚数 即 3 3 3 3 0tttt 所以有 3 3 3 3 0tttt 即 2 9 9t tt 由33 3zti 得33 3tzi 代入得 2 33 39zi P 的轨迹方程为33 33zi 解法解法 2 2 设t x1 y1i x1 y1 R 则 22 111111111 2222 111111 3 3 3 963 33 3 3 xy ixy i xy ixyy it txy ixyxy 为纯虚数 得 22 11 9 xy 设 zxyi x yR 则 11 33 333 3tzixy ixyii 1 1 3 3 3 xx yy 代