【志鸿优化设计】（山东专用）2014届高考数学一轮复习 第九章解析几何9.4直线与圆、圆与圆的位置关系教学案 理新人教A版

1 9 49 4 直线与圆 圆与圆的位置关系直线与圆 圆与圆的位置关系 考纲要求考纲要求 1 能根据给定直线 圆的方程判断直线与圆的位置关系 2 能根据给定两个圆的方程 判断两圆的位置关系 3 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 4 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 5 了解空间直角坐标系 会用空间直角坐标表示点的位置 会推导空间两点间的距离 公式 1 直线与圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系有三种 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法 代数法 把直线方程与圆的方程联立方程组 消去x或y整理成一元二次方程后 计算判别式 b2 4acError 几何法 利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系 d r d r d r 2 圆的切线方程 若圆的方程为x2 y2 r2 点P x0 y0 在圆上 则过P点且与圆x2 y2 r2相切的切 线方程为 注 点P必须在圆x2 y2 r2上 经过圆 x a 2 y b 2 r2上点P x0 y0 的切线方程为 3 直线与圆相交 直线与圆相交时 若l为弦长 d为弦心距 r为半径 则有r2 即l 2 求弦长或已知弦长求其他量的值 一般用此公式 r2 d2 2 圆与圆的位置关系 1 圆与圆的位置关系可分为五种 2 判断圆与圆的位置关系常用方法 几何法 设两圆圆心分别为O1 O2 半径为r1 r2 r1 r2 则 O1O2 r1 r2 O1O2 r1 r2 r1 r2 O1O2 r1 r2 O1O2 r1 r2 O1O2 r1 r2 代数法 方程组Error 有两组不同的实数解 两圆 有两组相同的实数解 两圆 无实数解 两圆相离或内含 3 在空间直角坐标系中 O叫做坐标原点 x y z轴统称为坐标轴 由坐标轴确定 的平面叫做坐标平面 这儿所说的空间直角坐标系是空间右手直角坐标系 即伸开右手 使拇指指向 轴的正方向 食指指向 轴的正方向 中指指向 轴的正方 向 也可这样建立坐标系 令z轴的正方向竖直向上 先确定x轴的正方向 再将其按逆 时针方向旋转 90 就是y轴的正方向 4 空间点的坐标 设点P x y z 为空间坐标系中的一点 则 1 关于原点的对称点是 2 关于 x轴的对称点是 3 关于y轴的对称点是 4 关于z轴的对称点是 5 关于xOy坐标平面的对称点是 6 关于yOz坐标平面的对称点是 7 关于xOz坐标平面的对称点是 5 空间两点间的距离 2 设A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 则 AB 1 直线x y 1 0 与圆 x 1 2 y2 1 的位置关系是 A 相切 B 直线过圆心 C 直线不过圆心 但与圆相交 D 相离 2 圆x2 y2 4x 0 在点P 1 处的切线方程为 3 A x y 2 0 B x y 4 0 33 C x y 4 0 D x y 2 0 33 3 两圆x2 y2 2y 0 与x2 y2 4 0 的位置关系是 A 相交 B 内切 C 外切 D 内含 4 直线x y 2 0 被圆x2 y2 4x 4y 8 0 截得的弦长等于 5 已知A x 2 3 B 5 4 7 且 AB 6 则x的值为 6 已知圆C1 x2 y2 2x 6y 1 0 圆C2 x2 y2 4x 2y 11 0 则两圆的公共 弦所在的直线方程为 公共弦长为 一 直线与圆的位置关系 例 1 1 点M a b 是圆x2 y2 r2内异于圆心的一点 则直线ax by r2与圆的 交点个数为 A 0 B 1 C 2 D 需要讨论确定 例 1 2 已知点P 0 5 及圆C x2 y2 4x 12y 24 0 若直线l过点P且被圆C 截得的弦长为 4 求直线l的方程 3 方法提炼方法提炼 1 直线与圆的位置关系有两种判定方法 代数法与几何法 由于几何法一般比代数法 计算量小 简便快捷 所以更容易被人接受 同时 由于它们的几何性质非常明显 所以 利用数形结合 并充分考虑有关性质会使问题处理起来更加方便 2 直线与圆相交求弦长有两种方法 1 代数方法 将直线和圆的方程联立方程组 消元后得到一个一元二次方程 在判别 式 0 的前提下 利用根与系数的关系求弦长 弦长公式l x1 x2 1 k2 其中a为一元二次方程中的二次项系数 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 a 2 几何方法 若弦心距为d 圆的半径长为r 则弦长l 2 r2 d2 代数法计算量较大 我们一般选用几何法 请做演练巩固提升 3 二 圆与圆的位置关系 例 2 1 设两圆C1 C2都和两坐标轴相切 且都过点 4 1 则两圆心的距离 C1C2 A 4 B 4 C 8 D 8 22 例 2 2 已知圆C的圆心在直线x y 4 0 上 并且通过两圆 C1 x2 y2 4x 3 0 和C2 x2 y2 4y 3 0 的交点 1 求圆C的方程 2 求两圆C1和C2相交弦所在直线的方程 方法提炼方法提炼 1 判断两圆的位置关系 通常是用几何法 从圆心距d与两圆半径长的和 差的关系 入手 如果用代数法 从交点个数也就是方程组解的个数来判断 但有时不能得到准确结 论 2 若所求圆过两圆的交点 则可将圆的方程设为过两圆交点的圆系方程 C1 C2 0 1 3 3 利用两圆方程相减即可得到相交弦所在直线的方程 请做演练巩固提升 1 三 空间直角坐标系 例 3 在空间直角坐标系中 已知点A 1 0 2 B 1 3 1 点M在y轴上 且点 M到点A与点B的距离相等 则点M的坐标是 方法提炼方法提炼 距离是几何中的基本度量单位 由平面上两点之间的距离公式可类比得到空间两点之 间的距离公式 利用该公式可解决以下问题 1 求给定两点间的距离 2 利用距离公式 求参数值或最值 3 判断几何图形的形状 请做演练巩固提升 4 易遗漏对 x 4 的讨论而致误 典例 12 分 在平面直角坐标系xOy中 已知圆C1 x 3 2 y 1 2 4 和圆 C2 x 4 2 y 5 2 4 1 若直线l过点A 4 0 且被圆C1截得的弦长为 2 求直线l的方程 3 2 设P为平面上的点 满足 存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2 它们 分别与圆C1和圆C2相交 且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等 试求所有满足条件的点P的坐标 规范解答 1 由于直线x 4 与圆C1不相交 所以直线l的斜率存在 设直线l的方程为y k x 4 圆C1的圆心到直线l的距离为d 因为直线l被圆C1截得的弦长为 2 3 所以d 1 2 分 22 r 3 2 由点到直线的距离公式得d 从而k 24k 7 0 即k 0 或 1 k 3 4 1 k2 k 所以直线l的方程为y 0 或 7x 24y 28 0 4 分 7 24 2 设点P a b 满足条件 不妨设直线l1的方程为y b k x a k 0 则直线l2的方程为y b x a 6 分 1 k 因为圆C1和C2的半径相等 及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长 相等 所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等 即 8 分 1 k 3 a b 1 k2 5 1 k 4 a b 1 1 k2 整理得 1 3k ak b 5k 4 a bk 从而 1 3k ak b 5k 4 a bk 或 1 3k ak b 5k 4 a bk 即 a b 2 k b a 3 或 a b 8 k a b 5 因为k的取值有无穷多个 10 分 所以Error 或Error 解得Error 或Error 11 分 这样点P只可能是点P1 或点P2 5 2 1 2 3 2 13 2 经检验点P1和P2满足题目条件 12 分 4 答题指导 解决直线与圆的位置关系问题时 要注意以下几点 1 根据题设条件 合理选择利用代数方法还是利用几何方法判断其位置关系 2 凡是涉及参数的问题 一定要注意参数的变化对位置关系的影响 以便确定是否分 类讨论 1 2012 山东高考 圆 x 2 2 y2 4 与圆 x 2 2 y 1 2 9 的位置关系为 A 内切 B 相交 C 外切 D 相离 2 圆x2 y2 2x 4y 4 0 与直线 2tx y 2 2t 0 t R R 的位置关系为 A 相离 B 相切 C 相交 D 以上都有可能 3 过原点的直线与圆x2 y2 2x 4y 4 0 相交所得弦的长为 2 则该直线的方程为 4 已知在 ABC中 A 1 2 3 B 1 1 1 C 0 0 5 则 ABC的 面积等于 5 已知点P 1 2 以Q为圆心的圆Q x 4 2 y 2 2 9 以PQ为直径作圆 与圆Q交于A B两点 连接PA PB 则 APB的余弦值为 5 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理 1 1 相切 相交 相离 相交 相切 相离 相交 相切 相离 2 x0 x y0y r2 x0 a x a y0 b y b r2 3 d2 2 l 2 2 1 相离 外切 相交 内切 内含 相离 外切 相交 内切 内含 相交 相切 3 x y z 4 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z 5 x1 x2 2 y1 y2 2 z1 z2 2 基础自测 1 B 解析 解析 圆心 1 0 到直线x y 1 0 的距离d 0 1 0 1 2 直线过圆心 2 D 解析 解析 设切线方程为y k x 1 由d r 可求得k 故方程为x 3 3 3 y 2 0 3 3 B 解析 解析 两圆方程可化为x2 y 1 2 1 x2 y2 4 两圆圆心分别为O1 0 1 O2 0 0 半径分别为r1 1 r2 2 O1O2 1 r2 r1 两圆内切 4 2 解析 解析 由题意知圆心为 2 2 r 4 14 则圆心到直线的距离d 2 又 r 4 AB 2 14 5 1 或 9 解析 解析 由空间两点间的距离公式 得 6 x 5 2 2 4 2 3 7 2 即 x 5 2 16 解得x 1 或x 9 6 3x 4y 6 0 解析 解析 设两圆的交点为A x1 y1 B x2 y2 24 5 则A B两点满足方程x2 y2 2x 6y 1 0 与x2 y2 4x 2y 11 0 将两个方程 相减得 3x 4y 6 0 即为两圆公共弦所在直线的方程 易知圆C1的圆心C1 1 3 半径r 3 用点到直线的距离公式可以求得点C1到直线 的距离为 d 1 3 4 3 6 32 42 9 5 所以利用勾股定理得到 AB 2 即两圆的公共弦长为 r2 d2 24 5 24 5 考点探究突破考点探究突破 例 1 1 A 解析 解析 由题意知a2 b2 r2 所以圆心 0 0 到直线ax by r2 0 的距离d r r2 a2 b2 即直线与圆相离 无交点 例 1 2 解 解 圆的方程可化为 x 2 2 y 6 2 16 圆心 2 6 半径长r 4 又直线l被圆截得的弦长为 4 3 所以圆心C到直线l的距离d 2 42 2 r 3 2 当直线l的斜率不存在时 直线方程为x 0 此时符合题意 当直线l的斜率存在时 设直线方程为y 5 kx 即kx y 5 0 由 2 得k 2k 6 5 k2 1 3 4 6 此时l的方程为x y 5 0 即 3x 4y 20 0 3 4 故所求直线方程为x 0 或 3x 4y 20 0 例 2 1 C 解析 解析 依题意 可设圆心坐标为 a a 半径为r 其中r a 0 因 此圆方程是 x a 2 y a 2 a2 由圆过点 4 1 得 4 a 2 1 a 2 a2 即 a2 10a 17 0 则该方程的两根分别是圆心C1 C2的横坐标 C1C2 2 8 102 4 17 例 2 2 解 解 1 因为所求的圆过两已知圆的交点 故设此圆的方程为x2 y2 4x 3 x2 y2 4y 3 0 1 R R 即 1 x2 y2 4x 4 y 3 3 0 即x2 y2 3 0 圆心为 4x 1 4 y 1 2 1 2 1 由于圆心在直线x y 4 0 上 4 0 解得 2 1 2 1 1 3 所求圆的方程为x2 y2 6x 2y 3 0 2 将圆C1和圆C2的方程相减 得x y 0 此即相交弦所在直线的方程 例 3 0 1 0 解析 解析 设M 0 y 0 由 1 0 2 0 y 2 2 0 2 1 0 2 3 y 2 1 0 2 解得y 1 即M 0 1 0 演练巩固提升演练巩固提升 1 B 解析 解析 圆O1的圆心为 2 0 r1 2 圆O2的圆心为 2 1 r2 3 O1O2 42 1217 因为r2 r1 O1O2 r1 r2 所以两圆相交 2 C 解析 解析 圆的方程可化为 x 1 2 y 2 2 9 圆心为 1 2 半径r 3 又圆心在直线 2tx y 2 2t 0 上 圆与直线相交 3 2x y 0 解析 解析 圆的方程可化为 x 1 2 y 2 2 1 可知圆心为 1 2 半径 为 1 设直线方程为y kx 则圆心到直线的距离为d 故有 0 解得k 2 k 2 1 k2 k 2 1 k2 故直线方程为y 2x 即 2x y 0 4 解析 解析 根据空间中两点间的距离