高中数学 二项式定理问题的三大热点、五大方法素材 新人教版

用心 爱心 专心1 二项式定理问题的三大热点 五大方法二项式定理问题的三大热点 五大方法 学习二项式定理 应对二项式定理问题的三大热点 五大方法倍加关注 其具体内容 是 一 三大热点 1 通项运用型 2 系数和差型 3 综合应用型 二 五大方法 1 常规问题通项分析法 例 1 如果在 n的展开式中 前三项系数成等差数列 求展开式中的有x 4 2 1 x 理项 解 展开式中前三项的系数分别为 1 由题意得 2 1 2 n 8 1 nn 2 n 8 1 nn 得 n 8 设第 r 1 项为有理项 T C x 则 r 是 4 的倍数 所以 r 0 4 8 1 r r 8 r 2 1 4 316r 有理项为 T1 x4 T5 x T9 8 35 2 256 1 x 评述 求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式 用待定系数法确定r 通项公式 Tr 1 C an rbr n N r 0 1 2 2 n 中含有a b n r Tr 1五个元素 只要知道其中的四个 r n 元素 就可以求出第五个元素 在有关二项式定理的问题中 常常遇到已知这五个元素中 的若干个 求另外几个元素的问题 如判断和计算二项展开式中的特殊项 这类问题一 般是正确使用通项公式 要清楚其中的相关字母的意义 利用等价转化的思想方法把问题 归结为解方程 组 2 系数和差型赋值法 例 2 已知 x 8展开式中常数项为 1120 其中实数 a 是常数 则展开式中各项 x a 系数的和是 A 28B 38C 1 或 38D 1 或 28 解析 T C x8 r ax 1 r a rC x8 2r 1 r r 8 r 8 令 8 2r 0 r 4 a 4C 1120 a 2 4 8 当 a 2 时 令 x 1 则 1 2 8 1 当 a 2 时 令 x 1 则 1 2 8 38 答案 C 例 3 若 1 x 6 1 2x 5 a0 a1x a2x2 a11x11 用心 爱心 专心2 求 1 a1 a2 a3 a11 2 a0 a2 a4 a10 解 1 1 x 6 1 2x 5 a0 a1x a2x2 a11x11 令 x 1 得 a0 a1 a2 a11 26 又 a0 1 所以 a1 a2 a11 26 1 65 2 再令 x 1 得 a0 a1 a2 a3 a11 0 得 a0 a2 a10 26 0 32 2 1 评述 在解决此类奇数项系数的和 偶数项系数的和的问题中常用赋值法 令其中的 字母等于 1 或 1 3 近似问题截项法 例4 求 2 999 10的近似值 精确到0 001 解 2 999 10 3 0 001 10 310 10 39 0 001 45 38 0 0012 120 37 0 0013 210 36 0 0014 59049 196 83 0 295245 0 00026244 58852 465 评述 用二项展开式作近似计算 注意底数的变形 以及考查对精确度有影响的某些 项 4 整除 或余数 问题展开法 例5 求证 2n 2 3n 5n 4能被25整除 思路点拨 25 52 而2n 2 3n 4 6 n 4 5 1 n 将此二项式展开后就会出现5r 解 原式 4 5 1 n 5n 4 4 C 5n C 5n 1 C 5n 2 C 5n 4 0 n 1 n 2 n n n 4 C 5n C 5n 1 C 5n 2 C52 25n 0 n 1 n 2 n 2n n 以上各项均为25的整数倍 故得证 5 最值问题不等式法 例 6 在二项式 axm bxn 12 a 0 b 0 m n 0 中有 2m n 0 如果它的展开 式里最大系数项恰是常数项 1 求它是第几项 2 求的最值 b a 解 1 设 T C axm 12 r bxn r Ca12 rbrxm 12 r nr为常数项 则有 1 r r 12 r 12 m 12 r nr 0 即 m 12 r 2mr 0 r 4 它是第 5 项 2 第 5 项又是系数最大的项 Ca8b4 Ca9b3 4 12 3 12 Ca8b4 Ca7b5 4 12 5 12 由 得a8b4 a9b3 234 9101112 23 1