【师说系列】2014届高考数学一轮练之乐 1.8.6双曲线 文

1 师说系列师说系列 2014 2014 届高考数学一轮练之乐届高考数学一轮练之乐 1 8 61 8 6 双曲线双曲线 文文 一 选择题 1 与双曲线 1 共焦点 且过点 3 2 的双曲线方程为 x2 16 y2 42 A 1 B 1 x2 8 y2 12 x 8 y2 12 C 1 D 1 x2 12 y2 8 x2 12 y2 8 解析 本题考查待定系数法求双曲线方程 由题意知 c2 16 4 20 设双曲线方程为 1 则 a2 b2 20 且 1 解得 a2 12 b2 8 所以双曲线方程为 x2 a2 y2 b2 18 a2 4 b2 1 x2 12 y2 8 答案 D 2 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点 且与 C 的一条对称轴垂直 l 与 C 交于 A B 两点 AB 为 C 的实轴长的 2 倍 则 C 的离心率为 A B 23 C 2 D 3 解析 设双曲线 C 的方程为 1 焦点 F c 0 将 x c 代入 1 可得 x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 y2 所以 AB 2 2 2a b2 2a2 c2 a2 b2 3a2 e b4 a2 b2 a c a3 答案 B 3 过双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点 F 作圆 x2 y2 a2 的切线 FM 切点为 M 交 x2 a2 y2 b2 y 轴于点 P 若 M 为线段 FP 的中点则双曲线的离心率是 A B 23 C 2 D 5 解析 如图所示 在 Rt OPF 中 OM PF 且 M 为 PF 的中点 所以 OMF 也是等腰直角三角形 所以有 OF OM 即 c a 22 所以 e c a2 答案 A 4 已知双曲线 1 a 0 b 0 的两条渐近线均和圆 C x2 y2 6x 5 0 相切 x2 a2 y2 b2 2 且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心 则该双曲线的方程为 A 1 B 1 x2 5 y2 4 x2 4 y2 5 C 1 D 1 x2 3 y2 6 x2 6 y2 3 解析 圆心的坐标是 3 0 圆的半径是 2 双曲线的渐近线方程是 bx ay 0 根据已知 得 2 即 2 解得 b 2 则 a2 5 故所求的双曲线方程是 1 3b a2 b2 3b 3 x2 5 y2 4 答案 A 5 已知双曲线 1 b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 其一条渐近线方程为 x2 2 y2 b2 y x 点 P y0 在该双曲线上 则 3 PF1 PF2 A 12 B 2 C 0 D 4 解析 双曲线的一条渐近线方程为 y x 1 即 b 双曲线方程为 b 22 1 焦点 F1 2 0 F2 2 0 点 P y0 在双曲线上 y 1 x2 2 y2 232 0 PF1 2 y0 2 y0 y 1 0 选 C PF2 332 0 答案 C 6 设圆锥曲线 T 的两个焦点分别为 F1 F2 若曲线 T 上存在点 P 满足 PF1 F1F2 PF2 4 3 2 则曲线 T 的离心率等于 A 或 B 或 2 1 2 3 2 2 3 C 或 2 D 或 1 2 2 3 3 2 解析 由题意可设 PF1 4m F1F2 3m PF2 2m 当圆锥曲线是椭圆时 长轴长 为 2a PF1 PF2 4m 2m 6m 焦距为 2c F1F2 3m 所以离心率 e 当圆锥曲线是双曲线时 实轴长为 2a PF1 PF2 4m 2m 2m c a 2c 2a 3m 6m 1 2 焦距为 2c F1F2 3m 所以离心率 e 故选 A c a 2c 2a 3m 2m 3 2 答案 A 二 填空题 7 已知点 2 3 在双曲线 C 1 a 0 b 0 上 C 的焦距为 4 则它的离心率为 x2 a2 y2 b2 解析 根据点 2 3 在双曲线上 可以很容易建立一个关于 a b 的等式 即 1 4 a2 9 b2 考虑到焦距为 4 这也是一个关于 c 的等式 2c 4 即 c 2 再由双曲线自身的一个等式 a2 b2 c2 这样 三个方程 三个未知量 可以解出 a 1 b c 2 所以 离心 3 率 e 2 3 答案 2 8 A B 是双曲线 C 的两个顶点 直线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 P Q 且与实轴所在 直线垂直 若 0 则双曲线 C 的离心率 e PB AQ 解析 如图所示 设双曲线方程为 1 取其上一点 P m n 则 Q m n x2 a2 y2 b2 由 0 可得 a m n m a n 0 化简得 1 PB AQ m2 a2 n2 a2 又 1 可得 b a 因此双曲线的离心率为 e m2 a2 n2 b22 答案 2 9 已知 F1 F2 分别为双曲线 C 1 的左 右焦点 点 A C 点 M 的坐标为 2 0 x2 9 y2 27 AM 为 F1AF2 的平分线 则 AF2 解析 依题意得知 点 F1 6 0 F2 6 0 F1M 8 F2M 4 由三角形的内角平分 线定理得 2 F1A 2 F2A 又点 A 在双曲线上 因此有 F1M F2M F1A F2A F1A F2A 2 3 6 2 F2A F2A F2A 6 答案 6 三 解答题 10 已知双曲线 C y2 1 P 为 C 上的任意点 x2 4 1 求证 点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 2 设点 A 的坐标为 3 0 求 PA 的最小值 解析 1 证明 设 P x1 y1 是双曲线上任意一点 则 x 4y 4 2 12 1 该双曲线的两条渐近线方程分别是 x 2y 0 和 x 2y 0 点 P x1 y1 到两条渐近线的距离分别是和 x1 2y1 5 x1 2y1 5 它们的乘积是 x1 2y1 5 x1 2y1 5 x2 1 4y2 1 5 4 5 点 P 到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 2 设点 P 的坐标为 x y 则 PA 2 x 3 2 y2 x 3 2 1 x2 4 2 5 4 x 12 5 4 5 x 2 当 x 时 PA 2 的最小值为 即 PA 的最小值为 12 5 4 5 25 5 11 已知双曲线的中心在原点 焦点 F1 F2 在坐标轴上 离心率为 且过点 4 2 4 10 1 求双曲线方程 2 若点 M 3 m 在双曲线上 求证 0 MF1 MF2 3 求 F1MF2 的面积 解析 1 解 因为 e 2 所以可设双曲线方程为 x2 y2 因为双曲线过点 4 10 所以 16 10 即 6 所以双曲线方程为 x2 y2 6 2 证明 由 1 可知 双曲线中 a b 所以 c 2 63 所以 F1 2 0 F2 2 0 33 所以 1 MF k 2 MF k m 3 23 m 3 23 1 MF k 2 MF k m2 9 12 m2 3 因为点 3 m 在双曲线上 所以 9 m2 6 即 m2 3 故 1 MF k 2 MF k 1 所以 MF1 MF2 所以 0 MF1 MF2 3 解 F1MF2 的底边 F1F2 4 3 F1MF2 的高 h m 所以 12 F MF SA 6 3 12 已知点 M 2 0 N 2 0 动点 P 满足条件 PM PN 2 记动点 P 的轨迹为 W 2 1 求 W 的方程 2 若 A 和 B 是 W 上的不同两点 O 是坐标原点 求 的最小值 OA OB 解析 1 由 PM PN 2知动点 P 的轨迹是以 M N 为焦点的双曲线的右支 实半轴 2 长 a 又半焦距 c 2 2 故虚半轴长 b c2 a22 所以 W 的方程为 1 x x2 2 y2 22 2 设 A B 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 当 AB x 轴时 x1 x2 y1 y2 从而 x1x2 y1y2 x y 2 OA OB 2 12 1 当 AB 与 x 轴不垂直时 设直线 AB 的方程为 y kx m 与 W 的方程联立 消去 y 得 1 k2 x2 2kmx m2 2 0 故 x1 x2 x1x2 2km 1 k2 m2 2