高中数学《独立性》教案2 苏教版选修2-3

用心 爱心 专心1 2 32 3 独立性独立性 2 3 22 3 2 事件的独立性事件的独立性 教学目标教学目标 1 理解两个事件相互独立的概念 2 能进行一些与事件独立有关的概率的计算 教学重点 难点 教学重点 难点 理解事件的独立性 会求一些简单问题的概率 教学过程教学过程 一 问题情境一 问题情境 1 情境 抛掷一枚质地均匀的硬币两次 在第一次出现正面向上的条件下 第二次出现正面向上的概率是多少 2 问题 第一次出现正面向上的条件 对第二次出现正面向上的概率是否产生影响 二 学生活动二 学生活动 设B表示事件 第一次正面向上 A表示事件 第二次正面向上 由古典概型知 1 2 P A 1 2 P B 1 4 P AB 所以 1 2 P AB P A B P B 即 P AP A B 这说明事件B的发生不影响事件A发生的概率 三 建构数学三 建构数学 1 两个事件的独立性 一般地 若事件A B满足 P A BP A 则称事件A B独立 当A B独立时 若 0P A 因为 P AB P A BP A P B 所以 P ABP A P B 反过来 P AB P B AP B P A 即B A也独立 这说明A与B独立是相互的 此时事件A和B同时发生的概率等 于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积 即 P ABP A P B 若我们认为任何事件与必然事件相独立 任何事件与不可能事件相独立 那么两个事 件A B相互独立的充要条件是 P ABP A P B 今后我们将遵循此约定 事实上 若B 则 0P B 同时就有 0P AB 此时不论A是什么事件 都 有 式成立 亦即任何事件都与 独立 同理任何事件也与必然事件 独立 2 个事件的独立性可以推广到 2 n n 个事件的独立性 且若事件 12 n A AA 相互独 立 则这n个事件同时发生的概率 1212nn P A AAP A P AP A 用心 爱心 专心2 3 立与互斥 回顾 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件 如果两个互斥事件有一个发 时 另一个必不发生 这样的两个互斥事件叫对立事件 区别 互斥事件和相互独立事件是两个不同概念 两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 事实上 当 0P A 0P B 时 若 A B 互斥 则 AB 从而 0P AB 但 0P A P B 因而等式 P ABP A P B 不成立 即互斥未必独立 若 A B独立 则 0P ABP A P B 从而 A B不互斥 否则 0P AB 导致矛盾 例如从一副扑克牌 张 中任抽一张 设A 抽得老 B 抽的红牌 C 抽到 判断下列事件是否相互独立 是否互斥 是否对立 A与B A与C 4 讨论研究 概率意义 P AB A B同时发生的概率 P AB A不发生B发生的概率 P AB A发生B不发生的概率 P AB A B都不发生的概率 P ABAB A B中恰有一个发生的概率 1P AB A B中至少有一个发生的概率 1P AB A B中至多有一个发生的概率 四 数学运用四 数学运用 1 例题 例 1 求证 若事件A与B相互独立 则事件A与B也相互独立 证 因为 P ABP ABP A 所以 P ABP AP AB 因为A B相互独立 所以 P ABP A P B 于是 P ABP AP A P B 用心 爱心 专心3 图 2 3 2 1P AP B P A P B 因此 事件A与B相互独立 结论 若事件A与B独立则A与B B与A A与 B都独立 例 2 如图232 用 X Y Z三类不同的元 件连接成系统N 当元件 X Y Z都正常工作 时 系统N正常工 作 已知元件 X Y Z正常工作的概率依次为0 80 0 90 0 90 求系统N正常工 作的概率P 解 若将元件 X Y Z正常工作分别记为事件 A B C 则系统N正常工作为事件 ABC 根据题意 有 0 80P A 0 90P B 0 90P C 因为事件 A B C是相互独立的 所以系统N正常工作的概率 PP ABC P A P B P C 0 80 0 90 0 90 0 648 即系统N正常工作的概率为0 648P 例 3 加工某一零件共需两道工序 若第一 二道工序的不合格品率分别为 3 5 假定各道工序是互不影响的 问 加工出来的零件是不合格品的概率是多少 分析 解决问题的过程可用流程图表示 图234 图 2 3 4 用心 爱心 专心4 解法 1 设A表示事件 加工出来的零件是不合格品 12 A A分别表示事件 第一道 工序出现不合格品 和 第二道工序出现不合格品 因为依常理 第一道工序为不合 格品 则该产品为不合格品 所以 112 AAA A 因为各道工序互不影响 所以 112 P AP AA A 112 P AP A A 112 P AP A P A 0 030 97 0 05 0 0785 解法 2 因为 12 AA A 所以 12 P AP A A 12 P A P A 12 11P AP A 1 0 03 1 0 05 0 9215 11 0 92150 0785P AP A 答 加工出来的零件是不合格品的概率是7 85 思考 如果A和B是两个相互独立的事件 那么 1P A P B 表示什么 2 练习 第59页练习第1 2 3题 五 回顾小结 五 回顾小结