解直角三角形的应用举例

解直角三角形的应用举例 一 内容 教学目标教学目标 1 使学生理解仰角 俯角 水平距离 垂直距离和方位角等概念的意义 为解决有关 实际问题扫除障碍 2 使学生能适当的选择锐角三角函数关系式去解决直角三角形问题 3 培养学生将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形 转化为解直角三角形 的能力 4 使学生认识数学来源于实际 又为实际服务 养成用数学的思想意识 教学重点和难点教学重点和难点 将实际问题抽象为数学问题 并能选用适当的锐角三角函数关系式去解答直角三角形 问 题是重点 而将实际问题抽象为数学问题 以及有关名词概念 如仰角 的理解是难点 教学过程设计教学过程设计 一 例题分析 变式练习 采用讨论 练习和讲解方式进行教学 例 1 如图 6 36 厂房屋顶人字架 等腰三角形 的跨度为 10 米 A 26 求中柱 BC C 为底边中点 和上弦 AB 的长 精确到 0 01 米 说明 此例是课本 p 37 的例 2 为什么要先讲此 例呢 其原因是 虽然它也是实际问题 但它已抽象为数学问题 已画出平面图形 且一些 名词 上弦 中柱和跨度等 已在图中得到 直观解释 勿须教师多废喉舌 再说此例归结为解 Rt ACB 也是明显的 且求中柱 BC 和上 弦 A B 也能比较灵活的应用到各种三角函数关系式 所以把它做为首例是非常必要的 教法 为了从分析中选用哪一个锐角三角函数关系式较好 最好让学生讨论 暂时不写 出解答过程 大家确定较好的方法以后 再要求学生用这种方法写出解答过程 或让学生 看 书 如下 解 因为 tan A AC BC 所以 BC AC tan A 5 tan 26 5 0 487 7 2 44 米 因为 cos A AB AC 所以 AB 8988 0 5 26cos 5 cos A AC 5 56 米 答 中柱 BC 2 44 米 上弦 AB 5 56 米 练习 1 如图 6 37 某厂车间的人字屋架为等腰三角形 跨度 AB 12 米 A 22 求 中柱 CD 和上弦 AC 的长 精确到 0 01 米 答 CD 2 42 米 AC 6 47 米 例 2 如图 6 38 线段 AB 和 CD 分别表示甲 乙两幢楼的高 AB BD 于 B CD BD 于 D 从甲 楼 顶部 A 处测得乙楼顶部 C 的仰角 30 测得乙楼底部 D 的俯角 60 已知 AB 24 米 求 CD 此例按以下步骤进行教学 1 教师先把仰角和俯角这两个概念的意义讲清楚 然后引导学生审 题 从整体上理解 条件和结论 把已知条件标在图上 2 分析条件和结论的关系 让学生讨论 因为 DE AB 24 米 60 所以 AE 可求 因为 AE 可求 又 30 所以 CE 可求 所以 CD 可求 3 选用适当的三角函数关系式 让学生讨论 选 cot 求 AE 选 tan 求 CE 这样可避免分母出现未知数 4 写出解答过程如下 解 因为 DE AB 24 米 所以 AE DE cot60 24 38 3 3 米 又 CE AE tan30 3 3 38 8 米 所以 CD CE DE 8 24 32 米 答 乙楼 CD 32 米 练习 2 如图 6 39 某飞机于空中 A 处探测到目标 C 此时飞行高度 AC 1200 米 从飞 机上看地平面控制点 B 的俯角 16 31 求飞机 A 到控制点 B 的距离 精确到 1 米 采取讨论形式 然后让学生板演 解 在在 Rt ABC 中 sinB AB AC 所以 AB 2843 0 1200 sin B AC 4221 米 答 飞机 A 到控制点 B 的距离约为 4221 米 练习 3 如图 6 40 在离铁塔 150 米的 A 处 用测角仪器测得塔顶的仰角为 30 12 已 知测角仪器高 AD 1 52 米 求铁塔高 BE 精确到 0 1 米 采用学生讨论 然后找一个学生板演 答 BE 88 8 米 例 3 如图 6 41 在山坡上种树 要求株距 相邻两树间的水平距离 是 5 5 米 测得斜 坡的倾斜角是 24 求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米 精确到 0 1 米 此例按照以下步骤进行教学 1 先引导学生在理解水平距离和坡面距离的基础上 从整体上分析条件和结论 2 引导学生将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形并写出已知和所求 如图 6 42 作出 BC AC 于 C 已知 AC 5 5 米 BAC 24 求 AB 的长 3 让学生讨论 给出解答如下 解 在 Rt ABC 中 因为 cosA AB AC 所以 AB 9135 0 5 5 cos A AC 6 0 米 答 斜坡上相邻两树间的坡面距离约是 米 练习 如图 沿 方向山修渠 为了加快施工进度 要在小山的另一边同时施工 从 上的一点 取 米 那么开挖点 离 多远 精确到 米 正好能使 成一直线 此题采取让学生讨论后板书的办法进行教学 具体步骤如下 引导学生讨论 理解题意 引导学生将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形 转化为解 t BDE 如图 引导学生根据图 适当选择锐角三角函数关系式 BD ED EDB cos 让学生板演过程 答 米 例 如图 一艘海轮位于灯塔 的北偏东 方向上的 处 它沿正南方向航行 C 海理后 到达位于灯塔 的南偏东 方向上的 处 这时 海轮所在的 处距离灯 塔 有多远 结果不取近似值 此例按照以下步骤进行教学 1 先帮助学生理解方位角的意义 理解正南方向的意义 有必要可以将平面几何第一章中 后面有关的习题做一遍 在此基础上理解条件和结论 2 引导学生将实际问题转化为解 Rt APB 即已知 AB 70 海里 B 30 求 PB 3 引导学生选用适当的锐角三角函数关系式 cosB AB PB 或 sinA AB PB 或据 直角三角形 30 的角所对的边等于斜边的一半 于是设 PA x AB 3x 4 写出解答过程 解 1 在 Rt APB 中 AB 70 所以 PB AB sinA 70 2 3 35 3 海里 答 海轮所在的 处距离灯塔 有 353 海里 解 2 因为 APB 90 B 30 所以设 PA x 则 AB 2x PB 3 由 AB 2x 得 2x 70 所以 x 35 所以 PB 35 3 说明 在解直角三角形过程中 如遇到有特殊角 30 45 和 60 时 也可考虑用第二种方法 练习 5 一个人从 A 点出发向北偏东 60 方向走了一段距离到 B 点 再从 B 点也发向南偏西 15 方向走了一段距离到 C 点 则 ABC 的度数是 教法 让学生画图便得 ABC 45 如图 6 46 练习 6 两灯塔 G 和 F 与海洋观察站 O 的距离相等 灯塔 G 在观察站 O 的北偏东 40 灯塔 F 在观察站 O 的南偏东 60 则灯塔 G 在灯塔 F 的 A A 北偏东 10 B 北偏西 10 C 南偏东 10 D 南偏西 10 教法 引导学生自己画图 经过讲座得到图 6 47 答案是选 B 具体解答如下 作 OE OM 于 E 因为 GOF 80 GO FO 所以 OGF 50 因为 OGE 40 所以 EGF 10 因为 GE FN 所以 GFN 10 二 小结 1 1 先向学生提出问题 运用解直角三角形的知识去解答实际问题 它的主要步骤是 什么 2 2 在学生回答的基础上 教师归纳总结出主要步骤是 1 1 分析实际问题中某些名词概念的意义 正确理解条件和结论的关系 2 2 将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形 转化为解直角三角形 3 3 根据条件的特点 适当选用锐角三角函数的关系式去解直角三角形 4 4 写出解答过程和答案 三 作业 1 课本 p 37 练习 p 40 练习 P 57 复习题六 A 组 10 2 补充作业 如图 6 48 一艘轮船从离 A 观察站的正北 10 3海里处的 B 港处向东航行 观察站第 一次测得该船在 A 地北偏东 30 的 M 处 半小时后 又测得该船在 A 地的北偏东 60 的 N 处 求此船的 速度 略解 因为 cot30 310 BN 所以 BN 30 因为 tan30 310 BM 所以 BM 10 所以 MN 20 所以船的速度 v 20 0 5 40 海里 小时 板书设计 略 课堂教学设计说明 1 这份教案为两课时 2 关于例题选择的一些想法 1 为什么把课本 p 36 p 37 中的例 2