【龙门亮剑】2011高三数学一轮理数 第十三章 第一节 数学归纳法及其应用(课时提能精练) 全国版

专心 爱心 用心1 本栏目内容 学生用书中以活页形式单独装订成册 一 选择题 每小题 6 分 共 36 分 1 对于不等式 n 1 n N 某同学用数学归纳法的证明过程如下 n2 n 1 当 n 1 时 1 1 不等式成立 12 1 2 假设当 n k k N 时 不等式成立 即 k 1 k2 k 则当 n k 1 时 k 1 1 k 1 2 k 1 k2 3k 2 k2 3k 2 k 2 k 2 2 当 n k 1 时 不等式成立 则上述证法 A 过程全部正确 B n 1 验得不正确 C 归纳假设不正确 D 从 n k 到 n k 1 的推理不正确 解析 在 n k 1 时 没有应用 n k 时的假设 不是数学归纳法 答案 D 2 用数学归纳法证明 当 n 为正奇数时 xn yn能被 x y 整除 的第二步是 A 假使 n 2k 1 时正确 再推 n 2k 3 正确 k N B 假使 n 2k 1 时正确 再推 n 2k 1 正确 k N C 假使 n k 时正确 再推 n k 1 正确 k N D 假使 n k k 1 时正确 再推 n k 2 时正确 k N 解析 因为 n 为正奇数 根据数学归纳法证题的步骤 第二步应先假设第 k 个正奇 数也成立 本题即假设 n 2k 1 正确 再推第 k 1 个正奇数 即 n 2k 1 正确 答案 B 3 某个命题与自然数 n 有关 若 n k k N 时命题成立 那么可推得当 n k 1 时 该命题也成立 现已知当 n 5 时 该命题不成立 那么可推得 A 当 n 6 时 该命题不成立 B 当 n 6 时 该命题成立 C 当 n 4 时 该命题不成立 D 当 n 4 时 该命题成立 解析 因为当 n k 时 命题成立可推出 n k 1 时成立 所以 n 5 时命题不成立 则 n 4 时命题也一定不成立 答案 C 4 用数学归纳法证明等式 1 3 5 2n 1 n2 n N 的过程中 第二步假设 n k 时等式成立 则当 n k 1 时应得到 A 1 3 5 2k 1 k2 B 1 3 5 2k 1 k 1 2 C 1 3 5 2k 1 k 2 2 D 1 3 5 2k 1 k 3 2 解析 n k 1 时 等式左边 1 3 5 2k 1 2k 1 k2 2k 1 k 1 2 故选 B 答案 B 5 已知 1 2 3 3 32 4 33 n 3n 1 3n na b c 对一切 n N 都成立 则 a b c 的值为 A a b c B a b c 1 2 1 4 1 4 C a 0 b c D 不存在这样的 a b c 1 4 专心 爱心 用心2 解析 等式对一切 n N 均成立 n 1 2 3 时等式成立 即 Error Error 整理得Error Error 解得 a b c 1 2 1 4 答案 A 6 在数列 an 中 a1 且 Sn n 2n 1 an 通过求 a2 a3 a4 猜想 an的表达式为 1 3 A B 1 n 1 n 1 1 2n 2n 1 C D 1 2n 1 2n 1 1 2n 1 2n 2 解析 由 a1 Sn n 2n 1 an 1 3 得 S2 2 2 2 1 a2 即 a1 a2 6a2 a2 S3 3 2 3 1 a3 1 15 1 3 5 即 a3 15a3 1 3 1 15 a3 a4 故选 C 1 35 1 5 7 1 7 9 答案 C 二 填空题 每小题 6 分 共 18 分 7 若 f n 12 22 32 2n 2 则 f k 1 与 f k 的递推关系式是 解析 f k 12 22 2k 2 f k 1 12 22 2k 2 2k 1 2 2k 2 2 f k 1 f k 2k 1 2 2k 2 2 答案 f k 1 f k 2k 1 2 2k 2 2 8 如图 第 n 个图形是由正 n 2 边形 扩展 而来 n 1 2 3 则第 n 2 n 3 n N 个图形中共有 个顶点 解析 当 n 1 时 顶点共有 12 3 4 个 n 2 时 顶点共有 20 4 5 个 n 3 时 顶点共有 30 5 6 个 n 4 时 顶点共有 42 6 7 个 故第 n 个图形共有顶点 n 2 n 3 个 第 n 2 个图形共有顶点 n n 1 个 答案 n n 1 9 下面三个判断中 正确的是 专心 爱心 用心3 f n 1 k k2 kn n N 当 n 1 时 f n 1 f n 1 n N 当 n 1 时 1 2 1 3 1 2n 1 f n 1 1 2 1 3 f n n N 则 1 n 1 1 n 2 1 3n 1 f k 1 f k 1 3k 2 1 3k 3 1 3k 4 解析 中 n 1 时 f n f 1 1 k 不一定等于 1 故 不正确 中 n 1 时 f 1 1 故 正确 1 2 1 3 中 f k 1 f k 1 3k 2 1 3k 3 1 3k 4 1 k 1 故 不正确 答案 三 解答题 10 11 每题 15 分 12 题 16 分 共 46 分 10 2010 年平顶山模拟 已知数列 an 中 a1 an 1 sin an n N 1 2 2 证明 0 an an 1 1 证明 n 1 时 a1 1 2 a2 sin a1 sin 2 4 2 2 0 a1 a2 1 故结论成立 假设 n k 时结论成立 即 0 ak ak 1 1 则 0 ak ak 1 2 2 2 0 sin ak sin ak 1 1 2 2 即 0 ak 1 ak 2 1 也就是说 n k 1 时 结论也成立 由 可知 对一切 n N 均有 0 an an 1 1 11 数列 an 满足 an 0 Sn an 求 S1 S2 猜想 Sn 并用数学归纳法证明 1 2 1 an 解析 an 0 Sn 0 由 S1 a1 变形整理得 S 1 1 2 1 a12 1 取正根得 S1 1 由 S2 a2 及 a2 S2 S1 S2 1 得 1 2 1 a2 S2 S2 1 1 2 1 S2 1 变形整理得 S 2 取正根得 S2 2 22 同理可求得 S3 3 专心 爱心 用心4 由此猜想 Sn n 用数学归纳法证明如下 1 当 n 1 时 上面已求出 S1 1 结论成立 2 假设当 n k 时 结论成立 即 Sk k 那么 当 n k 1 时 Sk 1 ak 1 1 2 1 ak 1 Sk 1 Sk 1 2 1 Sk 1 Sk Sk 1 1 2k 1 Sk 1 k 整理得 S k 1 取正根得 Sk 1 2k 1k 1 故当 n k 1 时 结论成立 由 可知 对一切 n N Sn 成立 n 12 平面内有 n 个圆 其中每两个圆都交于两点 且无三个圆交于一点 求证 这 n 个圆将平面分成 n2 n 2 个部分 证明 1 n 1 时 1 个圆将平面分成 2 部分 显然命题成立 2 假设 n k k N 时 k 个圆将平面分成 k2 k 2 个部分 当 n k 1 时 第 k 1 个圆 Ck