【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第22讲 三角恒等变换分享到： 0教案

用心 爱心 专心1 第第 2222 讲讲 三角恒等变换三角恒等变换 本专题涉及到的知识点是两角和差的正余弦 正切公式 二倍角公式 正用 逆用 创 造条件使用公式是解题的关键 涉及到三种主要的变换 角变换 函数名称的变换 运算 方式的变换 A类例题 例 已知都是钝角 且 求 123 sin cos 135 sin 分析 实施角变换 角变换是三角函数中最重要的一种变换 解 由都是钝角知 0 90 若 则均为锐角 且 0 0 00 90 180 0 312 sin 90 cos 513 0 sinsin 180 由此得与角是钝角矛盾 故只有 000 90 180 90 00 090 所以 54 cos sin 135 从而 12 35416 sinsin 13 513565 说明 抓住了角变换就明确了解题的方向 本题容易产生的失误是解的个数 例 已知 求的值 1tan 2006 1tan sec2tan2 分析 变形的方法是化弦处理和抓住公式结构逆用公式 解 由得 1tan 2006 1tan tan 2006 4 另一方面 sec2tan2 1 cos 2 1 sin2 2 tan cos24 sin 2 2 所以 sec2tan2 2006 说明 抓住公式结构是逆用和创造条件用好公式的前提 类似的问题在三角函数中很多 如求值 在此问题中要抓两点 第一是 0000 3tan18tan18 tan123tan12 与蕴涵在两角和的正切公式结构中 第二是角关系 00 tan18tan12 00 tan18 tan12 000 181230 由展开整理即得其值为 000 tan30tan 1812 00 00 tan18tan12 1tan18 tan12 1 用心 爱心 专心2 例 已知 求 sinsin coscos b a sin cos 分析 本题的解法很多 现用角变换求解 解 由已知条件有sin sin b coscos sin sinsin cos sin cos ab 同理 sin cos aba 联立求出 22 2222 2 sin cos abab abab 情景再现 已知 求证 sin4sin sin tan cos4 求的值 0000 tan202tan404tan10tan70 求值 000 000 sin7cos15 sin8 cos7sin15 sin8 B类例题 例 已知是锐角 是钝角 且成等差数列 求 sec 2 sec sec 2 的值 年上海市数学竞赛 cos cos 分析 化弦降次和运算方法变换 解 由条件化弦得 211 coscos 2 cos 2 2cos 2 cos 2 coscos 2 cos 2 22coscos2 1 cos cos2cos4 2 2 cos2cos42coscos2 cos2cos4 1 cos2 cos2 cos2 1 cos2 cos2cos4 2 cos2 1 cos2 cos22cos 21 用心 爱心 专心3 cos2 1 cos2 1 cos2 2cos21 即 由是锐角 是钝角cos22cos21 22 cos2cos 得 cos 2 cos 例 设 求证 0 2 是成立的充要条件 年第 届希望 2 222 sinsinsin 杯数学赛 分析 运用公式直接展开 解法一 充分性是显然的 下面证必要性 由得 222 sinsinsin 222 sinsin sincoscossin 即化简得 222222 sinsinsincoscossin2sincossincos 22 2sinsin2sinsincoscos 即 由得 sinsincos 0 0 2 2 解法二 构造三角形求解 构造 则 ABCAB 因为 C 222 sinsinsin 即 即 从而知 222 sinsinsin C 222 abc 2 C 即 2 AB 例 求的值 年全国高中联赛 22 cos 10cos 50sin40sin80 分析 本题的基本方法是降次 和差化积 从结构特征构造求解 解法一 注意 且三角式是关于对称 0000 sin40cos50 sin80cos10 00 cos10 cos50 的 所以可以构造二元对称代换求值 设 00 cos10 cos50abab 则 000 13 cos10cos50 cos20 22 a 用心 爱心 专心4 000 11 cos10cos50 sin20 22 b 所以原式 2200 cos 10cos 50cos50 cos10 22 ababab ab 22 3ab 0202 313 cos20 3 sin20 224 解法二 利用 构造对偶模型求解 20202020 cos 10sin 101 cos 50sin 501 设 A 22 cos 10cos 50sin40sin80 则B 22 sin 10sin 50cos40cos80 0 2cos40 AB 从而求出 0000 1 cos20cos100cos120cos40 2 AB 3 4 A 说明 三角式的结构特征分析在解题中的作用很大 往往能揭示问题的本质 本题也可以 通过构造三角形等其它方法求解 例 求的值 24 coscos 55 分析 从基本方法和构造法两个角度求解 解法一 和差化积逆用公式 24 coscos 55 32 2coscos2coscos 5555 分子分母同乘 连续两次逆用二倍角公式得其值为 4sin 5 1 2 解法二 构造对偶式求解 设 2424 coscos coscos 5555 xy 22 241418 coscos 1 cos 1 cos 552525 xy 约去得 1421 coscos 2552 y 0 y y 1 2 x 解法三 自身代换构造方程求解 242 coscoscoscos0 5555 x 平方 222 2424 coscos2coscos 5555 x 48 sinsin 1418 55 1 cos 1 cos 2 24 2525 2sin2sin 55 用心 爱心 专心5 1148 coscos 2255 1142 coscos 2255 1 22 x 得方程 从而解得 2 11 22 xx 1 2 x 解法四 构造同形方程 设 则同时满足该同形方程 24 coscos2coscos 55 xx 24 coscos cos 55 x 由二倍角公式得二次方程 2 24 2coscos 1 coscos 0 55 xx 这表明是方程的两根 而且是全体根 24 cos cos 55 2 24 2 1 coscos 0 55 yy 由根与系数的关系得 241 coscos 552 情景再现 求证 tan5tan3 4 tan5tan3 cos2 cos4 已知 且满足 0 2 22 3sin2sin1 3sin22sin20 求的值 2 C类例题 例 化简 tantan2tan2tan3tan 1 tannn 分析 从结构特征入手 由于每个乘积项中的两个角相差都是 从两角差的正切公式化 简入手 解 由 变形得 tantan 1 tantan 1 1tantan 1 nn nn nn 其中 tantan 1 tantan 1 1 tan nn nn 2 3 4 n 从而原式 tan2tantan3tan2tantan 1 1 1 1 tantantan nn tan tan n n 例 求证 23 tantantan7 777 分析 构造方程求解 解由知是方程的根 设 7 k tan3tan40 7 k 1 2 3k 则 即 tan3tan40 2 tantan22tan2 0 1tantan21tan 2 用心 爱心 专心6 令 对展开整理得tanx 2 tantan22tan2 0 1tantan21tan 2 642 213570 xxx 由是上述方程的三个根 23 tan tan tan 777 那么是方程的三个根 由根与系数的关系 222 23 tan tan tan 777 32 213570ttt 得 222 23 tantantan7 777 开方即得 23 tantantan7 777 例 若均是整数 其中 且使得 a b c090c 求的值 00 98sin50sinabc ab c 分析 角变换 使得为完全平方 0 98sin50 解 0000 98sin5098sin108sin108sin50 0000 98sin108 sin 3020 sin 3020 00020 98sin108cos2098sin108 1 2sin 10 20002 16sin 108sin101 4sin101 所以 1 4 10abc 1 2 ab c 情景再现 6 已知为整数 且满足 求出的所有可能值 a b 00 98sin50csc50ab a b 7 设 且 0 2 sinsin tan coscos 求证 sinsin tan coscos 习题 已知和是方程的两个根 求证 tan tan 4 2 0 xpxq 10pq 已知求的值 tan 3 4 2 sin22cos 已知是锐角 求的值 41 cos tan 53 cos 求值 00 tan204sin20 用心 爱心 专心7 已知 sinsinsin0abc 其中 coscoscos0abc 0a b c 求证 sin sin sin abc 求函数的最小值 33 2 sin3 sincos3 cos sin2 cos 2 xxxx yx x 已知 其中均不等于 sin 2tansin sin 2 k kZ 求的值 sin 2 sin 已知 且 求角 0 3 coscoscos 2 证明 7 cos77cos521cos335cos64cosxxxxx 证明 对任一自然数及任意实数为任一整数 有n 0 1 2 2k m xkn m 111 cotcot2 sin2sin4sin2 n n xx xxx 设是锐角 且 22 sinsinsin 求证 2 已知 1122 coscoscos0 nn AAA 1122 cos 1 cos 1 cos 1 0 nn AAA 求证 对任意的 恒有R 1122 cos cos cos 0 nn AAA 本节 情景再现 解答 解 角变换 由得sinsin sin coscos sin4sin 即sin cos4 cos sin 即 sin tan cos4 用心 爱心 专心8 解 逆用公式和角关系 原式 0000 tan20tan70 2tan404tan10 000000 tan 2070 1tan20 tan70 2tan404tan10 000 tan50 1 1 2tan404tan10 00 2 tan40tan50 4tan10 00000 2tan 4050 1tan40 tan50 4tan10 00 4tan104tan100 解 角变换 原式 0000 0000 sin 158 cos15 sin8 cos 158 sin15 sin8 00 000 00 sin15 cos8 tan15tan 4530 23 cos15 cos8 也可以变换运算方式积化和差 解 左右两边同时化弦 左边 cos3 sin5cos5 sin3 cos5 cos4 cos3 cos2 4sin2 cos2 cos4 cos5 cos4 cos3 cos2 4sin2 cos5 cos3 而右边 sin5sin3sin5 cos3cos5 sin3 4 4 cos5cos3cos5 cos3 所以等式成立 4sin2 cos5 cos3 解 基本方法降次消元 由降次化简得 22 3sin2sin1 2 cos21cos2 3 再由得 3sin22sin20 2 sin2sin2 3 由 两式平方相加消去角 求得代入 中求得 1 cos2 3 1 sin 3 即 由得sincos2sin 2 2 0 2 2 2 6 解 由三倍角公式有 0030 1 sin3 503sin504sin 50 2 从而 300 8sin 506sin5010 即 02002 98sin50 sin 50 3sin501 用心 爱心 专心9 又 所以 0 98sin500 00 98sin503csc50 即满足条件 3 1ab 假设存在另外一组满足条件 则 00 a b 00 00csc50 3csc50ab 解出 从而是有理数 0 0 0 1 sin50 3 b a 0 sin50 设代入 0 sin50 1 p p qp qN q 整理得 0030 1 sin3 503sin504sin 50 2 于是 由知 故又 所以 323 860ppqq 23 8qp 1p q 2 8q2q 1q 此时 只能有 即矛盾 因此满足2q 3 310pp 2 3 0p p 1p 0 1 sin50 2 条件的是唯一的 a b 7 解 构造直角三角形 则由条件知 coscosRt ABCAAC 所以sinsinBC 222 coscos sinsinAB 1 coscos 所以 coscos cos 1 coscos AC AB 将其代入到中去 化简后即得证 sinsin sin 1 coscos BC AB sinsin coscos 习题 解答 解 角变换和逆用公式 由根与系数的关系得 44 tantan tantan 44 pq 所以tantan tan 1tantan 444 p tan 1tantan 44 1 q 所以 10pq 用心 爱心 专心10 解 化成正切 由求得 tan 3 4 1 tan 2 而 2 sin22cos 2 222 sin22cos2tan24 sincostan15 解 角变换 由是锐角得 由是锐角 4 cos 5 3 sin 5 知是第四象限角 所以 1 tan 3 2 13 10 cos 10 1tan 10 sin 10 所以coscos coscos sinsin 9 10 50 解 化弦和角变换 00 tan204sin20 000 0 sin204sin20 cos20 cos20 00 0 sin202sin40 cos20 000 0 sin202sin 6020 cos20 000 0 sin203cos20sin20 3 cos20 证 消元 得cos sin sincoscossin sincoscossin 0ab 即 sin sin 0ab 即 同理可证 sin sin ab sin sin bc 所以 sin sin sin abc 解 降次 3322 sin3 sincos3 cos sin3 sin sin cos3 cos cosxxxxxxxxxx 22 1 cos2cos4 sin cos2cos4 cos 2 xxxxxx 2222 1 sincos cos2 cossin cos4 2 xxxxxx 用心 爱心 专心11 1 cos2cos2 cos4 2 xxx 3 1 cos2 1 cos4 cos 2 2 xxx 所以 其最小值为 cos2sin22sin 2 4 yxxx 2 解 角变换 由得 sin 2tansin sin 2 sin cos2sinsin 即 所以sin cos 1 cos2 sin 1111 sin 2 sin sinsin 2 sin 2 2222 即 所以 3sinsin 2 sin 2 3 sin 解 配方 由条件得 2 3 2coscos 2cos1 2222 即 2 4cos4coscos10 222 即 222 4cos4coscossincos0 22222 配方得 22 2coscos sin0 222 从而得 由得2coscos sin0 222 0 3 证明降次 由 得 从而有 3 cos34cos3cosxxx 3 4cos3coscos3xxx 622 16cosco