（江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第二篇 函数与基本初等函数《第11讲　函数与方程》理（含解析） 苏教版

1 20132013 高考总复习江苏专用 理科 第二篇高考总复习江苏专用 理科 第二篇 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 第第 1111 讲讲 函数与方程函数与方程 基础达标演练 基础达标演练 综合创新备选 含解析 综合创新备选 含解析 A 级 基础达标演练 时间 45 分钟 满分 80 分 一 填空题 每小题 5 分 共 35 分 1 2011 南通无锡调研 已知方程 2x 10 x的根x k k 1 k Z Z 则k 解析 设f x 2x x 10 则由f 2 4 0 f 3 1 0 所以f x 的零点在 2 3 内 答案 2 2 2011 山东省济宁模拟 已知a是函数f x 2x logx的零点 若 0 x0 a 则f x0 的 1 2 值满足 与零的关系 解析 因为f x 是 0 上的增函数 且f a 0 于是由 0 x0 a 得f x0 f a 0 即f x0 0 答案 f x0 0 3 若函数f x ax b的零点为 2 那么函数g x bx2 ax的零点是 解析 由f x ax b有零点 2 得 2a b 0 a 0 代入g x 得g x 2ax2 ax ax 2x 1 它有零点x 0 和x 1 2 答案 0 1 2 4 设函数y x x ln x x 0 则函数f x 在区间 0 1 1 内的零点个数分 1 3 别为 解析 设y x与y ln x 作图象可知f x 在区间 0 1 内无零点 在 1 内仅有 1 3 两个零点 答案 0 2 2 5 2011 常州模拟 若函数f x x2 ax b的两个零点是 2 和 3 则不等式af 2x 0 的解集是 解析 f x x2 ax b的两个零点是 2 3 2 3 是方程x2 ax b 0 的两根 由根与系数的关系知Error Error f x x2 x 6 不等式af 2x 0 即 4x2 2x 6 0 2x2 x 3 0 解集为Error 答案 Error 6 2011 山东省菏泽测试 设函数f x Error 则函数g x f x log4x的零点个数为 解析 设y f x 与y log4 x 分别画出它们的图象 得恰有 3 个交点 所以函数g x 的零点个数为 3 答案 3 7 2010 南通调研 已知函数f x Error 若函数g x f x m有 3 个零点 则实数m 的取值范围是 解析 画出图象 令g x f x m 0 即f x 与y m的图象的交点有 3 个 0 m 1 答案 0 1 二 解答题 每小题 15 分 共 45 分 8 若函数f x ax2 x 1 有且仅有一个零点 求实数a的取值范围 解 1 当a 0 时 函数f x x 1 为一次函数 则 1 是函数的零点 即函数仅有一 个零点 2 当a 0 时 函数f x ax2 x 1 为二次函数 并且仅有一个零点 则一元二次方程 ax2 x 1 0 有两个相等实根 1 4a 0 解得a 1 4 综上 当a 0 或a 时 函数仅有一个零点 1 4 9 关于x的方程mx2 2 m 3 x 2m 14 0 有两实根 且一个大于 4 一个小于 4 求实 数m的取值范围 解 令f x mx2 2 m 3 x 2m 14 依题意得Error 或Error 即Error 3 或Error 解得 m 0 19 13 即实数m的取值范围是 19 13 0 10 已知函数f x 4x m 2x 1 有且仅有一个零点 求m的取值范围 并求出该零 点 思路分析 由题意可知 方程 4x m 2x 1 0 仅有一个实根 再利用换元法求解 解 f x 4x m 2x 1 有且仅有一个零点 即方程 2x 2 m 2x 1 0 仅有一个实根 设 2x t t 0 则t2 mt 1 0 当 0 时 即m2 4 0 m 2 时 t 1 m 2 时 t 1 不合题意 舍去 2x 1 x 0 符合题意 当 0 时 即m 2 或m 2 时 t2 mt 1 0 有两正或两负根 即f x 有两个零点或没有零点 这种情况不符合题意 综上可知 m 2 时 f x 有唯一零点 该零点为x 0 点评 方程的思想是与函数思想密切相关的 函数问题可以转化为方程问题来解决 方 程问题也可以转化为函数问题来解决 本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题 B 级 综合创新备选 时间 30 分钟 满分 60 分 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 2011 苏州模拟 偶函数f x 在区间为 0 a a 0 上是单调 函数 且f 0 f a 0 则方程f x 0 在区间 a a 内根的个数是 解析 由f 0 f a 0 且f x 在 0 a a 0 上单调 知f x 0 在 0 a 上有一根 又函数f x 为偶函数 f x 0 在 a 0 上也有一根 所以f x 0 在区间 a a 内有 两个根 答案 2 2 2010 南通调研 设函数f x x2 ax a 3 g x ax 2a 若存在x0 R R 使得 f x0 0 与g x0 0 同时成立 则实数a的取值范围是 解析 g x ax 2a a x 2 当a 0 时 x 2 由f 2 0 得 4 2a a 3 0 a 7 舍去 当a 0 时 x 2 由f 2 0 得 4 2a a 3 0 a 7 综上 a 7 4 答案 7 3 2010 南通模拟 如果函数f x x2 mx m 2 的一个零点是 0 则另一个零点是 解析 依题意知 m 2 f x x2 2x 方程x2 2x 0 的另一个根为 2 即另一个零点是 2 答案 2 4 2011 盐城市调研 已知函数f x 1 x g x 1 x x2 2 x3 3 x4 4 x2 011 2 011 设F x f x 3 g x 3 且函数F x 的零点均在区间 x2 2 x3 3 x4 4 x2 011 2 011 a b a b a b Z Z 内 则b a的最小值为 解析 由f x 1 x x2 x3 x2 010 则f x 0 f x 为增函数 1 x2 011 1 x 又f 0 1 0 f 1 0 从而f x 的零点在 1 0 上 同理g x 为减函数 零点在 1 2 上 F x 的零点在 4 3 和 4 5 上 要区间 a b 包含上述区间 b a min 9 答案 9 5 2011 南京模拟 若直角坐标平面内两点P Q满足条件 P Q都在函数f x 的图象上 P Q关于原点对称 则称点对 P Q 是函数f x 的一个 友好点对 点对 P Q 与 Q P 看作同一个 友好点对 已知函数f x Error 则f x 的 友好点对 有 个 解析 根据题意 友好点对 可知 只须作出 函数y 2x2 4x 1 x 0 的图象关于原点对称的图象 看它与函数y x 0 交点个数即可 2 ex 如图 观察图象可得 它们的交点个数是 2 即f x 的 友好点对 有 2 个 答案 2 6 已知函数f x x2 1 k x k的一个零点在 2 3 内 则实数k的取值范围是 解析 因为 1 k 2 4k 1 k 2 0 对一切k R R 恒成立 又k 1 时 f x 的零 点x 1 2 3 故要使函数f x x2 1 k x k的一个零点在 2 3 内 则必有 5 f 2 f 3 0 即 2 k 3 答案 2 3 二 解答题 每小题 15 分 共 30 分 7 已知a是实数 函数f x 2ax2 2x 3 a 如果函数y f x 在区间 1 1 上有零 点 求a的取值范围 解 当a 0 时 函数f x 2x 3 的零点x 1 1 3 2 当a 0 时 函数f x 在 1 1 上的零点可能有一个与两个这两种情况 函数在区间 1 1 上只有一个零点 则有 Error 或 Error 解得 1 a 5 或a 3 7 2 函数在区间 1 1 上有两个零点 则有 Error 或Error 解得a 或a 5 3 7 2 综上 得a的取值范围是 5 3 7 2 8 1 m为何值时 f x x2 2mx 3m 4 有且仅有一个零点 有两个零点且均比 1 大 2 若函数f x 4x x2 a有 4 个零点 求实数a的取值范围 解 1 f x x2 2mx 3m 4 有且仅有一个零点 方程f x 0 有两个相等实根 0 即 4m2 4 3m 4 0 即m2 3m 4 0 m 4 或m 1 法一 设f x 的两个零点分别为x1 x2 则x1 x2 2m x1 x2 3m 4 由题意 知Error Error Error 5 m