高中数学《合情推理与演绎推理》文字素材2 新人教A版选修2-2

用心 爱心 专心1 推理与证明知识回顾推理与证明知识回顾 对于数学的学习 应具备 能力 其中本章的 推理与证明 就是一种重要的 逻辑 思维 能力 通过本章的复习 培养推理 论证能力 以增强对问题的敏锐的观察 深刻 的理解 领悟能力 一 推理部分 1 知识结构框图 2 合情推理 与 统称为合情推理 归纳推理 类比推理 定义特点 归纳推理是由特殊到一般 由具体到抽象的推理 而类比推理是由特殊到 特殊的推理 两者都能由已知推测 猜想未知 从而推出结论 但是结论的可靠性有待证 明 推理过程 从具体问题出发 归纳类比 3 演绎推理 定义特点 演绎推理是由一般到特殊的推理 学习要点 演绎推理是数学中证明的基本推理形式 推理模式 三段论 大前提 小前提 结论 集合简述 大前提 xM 且x具有性质P 小前提 yS 且SM 结论 y也具有性质P 合情推理与演绎推理的关系 合情推理中的归纳推理是由特殊到一般的推理 演绎推理是由一般到特殊的推理 它们又是相辅相成的 前者是后者的前提 后者论证前者的可靠性 二 证明部分 知识结构框图 综合法与分析法 用心 爱心 专心2 综合法 分析法 学习要点 在解决问题时 经常把综合法与分析法合起来使用 使用分析法寻找成立 的条件 再用综合法写出证明过程 反证法 学习要点 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与 或 等矛盾 3 数学归纳法 一般地 证明一个与正整数 有关的命题的步骤如下 1 归纳奠基 2 归纳递推 其证明的方法叫做数学归纳 法 学习要点 理解第一步是推理的基础 第二步是推理的依据 两者缺一不可 特别地 在证明第二步1nk 时命题成立 一定要用上归纳假设nk 时命题成立 另外在证明第 二步时首先要有明确的目标式 即确定证题方向 数学归纳法常和合情推理综合应用 特 别常以归纳推理为前提 三 考查要求 合情推理 是一种重要的归纳 猜想的推理 它是发现问题和继续推理的基础 逻 辑思维能力主要体现为对演绎推理的考查 试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大 命 题时既考虑使用选择题 填空题的形式进行考查 又考虑如何使用解答题 以证明题的形 式 突出进行考查 立体几何是考查演绎推理的最好素材 数学归纳法很少单独考查 由于数列是和自然数有关的 因此 经常和数列一起考查 常与归纳猜想相结合进行综合考查 推理与证明复习指导 对于数学的学习 应具备 能力 其中本章的 推理与证明 就是一种重要 的 逻辑思维 能力形式 通过本章的复习 要有着扎实的推理 论证能力 以增 强对问题的敏锐的观察 深刻的理解 领悟能力 一 推理部分一 推理部分 1 1 知识结构 知识结构 推理归纳 和情推理 类比 2 2 和情推理 和情推理 归纳推理与类比推理统称为和情推理 归纳推理 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对 演绎推 理 用心 爱心 专心3 象都具有这些特征的推理 或有个别事实概括出一般结论的推理 称为归纳推 理 类比推理 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 定义特点定义特点 归纳推理是由特殊到一般 由部分到整体的推理 而类比推理 是由特殊到特殊的推理 都能由已知推测 猜想未知 从而推理结论 但是结论 的可靠性有待证明 例如 已知 2 53f nnn 可以 1 10f 2 30 f 3 30 4 10ff 于是推出 对入任何nN 都有 0f n 而这个结论是错误的 显然有当5n 时 5 30f 因此 归纳法得到的 结论有待证明 例如 在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行 类比线与线得到 在空间与同一条直线垂直的两条直线平行 显然此 结论是错误的 类比线与面得到 在空间与同一个平面垂直的两个平面平行 显然此结论 是错误的 推理过程 推理过程 从具体问题出发 观察 分析 比较 联想 归纳 类比 猜 想 3 3 演绎推理 演绎推理 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 这种推理 称为演绎推理 逻辑推理 定义特点 定义特点 演绎推理是由一般到特殊的推理 数学应用 数学应用 演绎推理是数学中证明的基本推理形式 推理模式 三段论 大前提 已知的一般原理 M是P 小前提 所研究的特殊情况 S是M 结论 由一般原理对特殊情况作出判断 S是P 集合简述 大前提 x M且x具有性质P 小前提 y S且S M 结论 y也具有性质P 例题例题 1 1 若定义在区间 D 上的函数 f x对于 D 上的n个值 12 n x xx 总满足 12 12 1 n n xxx f xf xf xf nn 称函数 f x为 D 上的凸函数 现已知 sinf xx 在 0 上是凸函数 则ABC 中 sinsinsinABC 的最大值是 解答 由 12 12 1 n n xxx f xf xf xf nn 大前 用心 爱心 专心4 提 因为 sinf xx 在 0 上是凸函数 小前提 得 3 3 ABC f Af Bf Cf 结论 即 3 3 sinsinsin3sin 32 ABC 因此 sinsinsinABC 的最大值是 3 3 2 注 此题是一典型的演绎推理 三段论 题型 和情推理与演绎推理的关系 和情推理与演绎推理的关系 和情推理是由特殊到一般的推理 演绎推理是由一般到特殊的推理 它们又是相辅相成的 前者是后者的前提 后者论证前者的可靠性 例 例 设 2 xx aa f x 2 xx aa g x 其中0a 且1a 1 请你推测 5 g能否用 2 3 2 3 ffgg来表示 2 如果 1 中获得了一个结论 请你推测能否将其推广 解答 1 由 3 2 3 2 fggf 33 2 aa 22 2 aa 33 2 aa 22 2 aa 55 2 aa 又 5 g 55 2 aa 因此 5 g 3 2 3 2 fggf 2 由 5 g 3 2 3 2 fggf 即 23 g 3 2 3 2 fggf 于是推测 g xy f x g yg x f y 证明 因为 2 xx aa f x 2 xx aa g x 大前提 所以 g xy 2 x yx y aa 用心 爱心 专心5 g y 2 yy aa f y 2 yy aa 小前提及结论 所以 f x g yg x f y 2 xx aa 2 yy aa 2 xx aa 2 yy aa 2 x yx y aa g xy 解题评注 此题是一典型的由特殊到一般的推理 构造 23 g 3 2 3 2 fggf 是此题的一大难点 要经过观察 分析 比较 联想 而得到 从而归纳推出一般结论 g xy f x g yg x f y 二 证明部分二 证明部分 知识结构 知识结构 综合法 证明直接证法 分析法 综合法与分析法 综合法与分析法 综合法 综合法 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等出发 经过 一系列推理论证 推导出所要证明的结论成立 分析法分析法 从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件 直至 把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止 综合应用 综合应用 在解决问题时 经常把综合法与分析法和起来使用 使 用分析法寻找成立的条件 再用综合法写出证明过程 例 例 已知 0ab 求证 22 828 ababab ab ab 证明 因为0ab 所以 22 828 ababab ab ab 数学归纳 法 间接证法反证法 用心 爱心 专心6 22 2 44 abab ab ab 22 abab ab ab 2 abab ab 121 ba ab 1 ba ab 又由已知0ab 因此 1 ba ab 成立 成立 由于以上分析步步等价 因此步步可逆 故结论成立 解题评注 1 以上解答采用恒等变形 其实质从上往下属于分 析法 反之属于综合法 2 这里表示了1 ba ab 0ab 是结论成立的充要 条件 当然找到了结论成立的充分条件就可以了 例例 4 4 求证抛物线 2 2 0 ypx p 以过焦点的弦为直径的圆必与 2 p x 相切 证明 如图 作 AA BB 垂直 准线 取 AB 的中点 M 作 MM 垂直 准线 要证明以 AB 为 直径的圆与准线相切 只需证 MM 1 2 AB 由抛物线的定义 AA AF BB BF 所以 AB AA BB 因此只需证 MM 1 2 AA BB 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的 所以以过焦点的弦为直径的圆必与 2 p x 相切 x o A B M B M A y F 用心 爱心 专心7 以上解法同学们不难以综合法作出解答 解题评注 分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法 特别是题设和结论相结合 即综合法与分析法相结合 可使很多较为复杂 的问题得到解决 3 3 数学归纳法数学归纳法 一般地 证明一个与正整数 有关的命题的步骤如下 1 归纳奠基 证明当 取第一个值 0时命题成立 2 归纳递推 假设 k 0 kn kn 时命题成立 证明当 1nk 时命题也成立 就可以断定对从 0开始的所有正整数 都 成立 其证明的方法叫数学归纳法 3 学习要点 理解第一步是推理的基础 第二步是推理的依据 两者 缺 一不可 特别地 在证明第二步1nk 时命题成立 一定要用上归纳 假设 k时命题成立 另外在证明第二步时首先要有明确的目标式 即 确定证题方向 数学归纳法常和和情推理综合应用 特别常以归纳推理为前提 例 已知数列 n a的前n和为 n S 其中 21 n n S a nn 且 1 1 3 a 1 求 23 a a 2 猜想数列 n a的通项公式 并用数学归纳法加以证明 解答 1 212 2 2 2 2 1 6 Saa a 又 1 1 3 a 则 2 1 15 a 类似地求得 3 1 35 a 2 由 1 1 1 3 a 2 1 3 5 a 3 1 5 7 a 猜得 1 21 21 n a nn 以数学归纳法证明如下 当1n 时 由 1 可知等式成立 假设当nk 时猜想成立 即 1 21 21 k a kk 那么 当1nk 时 由题设 21 n n S a nn 得 用心 爱心 专心8 21 k k S a kk 1 1 1 21 k k S a kk 所以 21 k Skk k a 21 kk 1 21 21 kk 21 k k 11 1 21 kk Skka 11kKK aSS 1 1 21 k kka 21 k k 因此 1 23 21 k k kka k 所以 1 1 21 23 k a kk 1 2 1 1 2 1 1 kk 这就证明了当1nk 时命题成立 由 可知命题对任何nN 都成立 解题评注 1 本题首先采用了归纳推理 即由特殊到一般的推理 2 解题时注意已知式 21 n n S a nn 对任何nN 都成立 因此要 注意其变形应用 归纳假设已用上 在上面的横线处