【步步高】2014届高考数学一轮复习 §3.4 导数在实际生活中的应用备考练习 苏教版

1 3 4 3 4 导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用 一 基础过关 1 炼油厂某分厂将原油精炼为汽油 需对原油进行冷却和加热 如果第x小时 原油 温度 单位 为f x x3 x2 8 0 x 5 那么 原油温度的瞬时变化率的最 1 3 小值是 2 设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V 那么其表面积最小时底面边长为 3 从边长为 10 cm 16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形 作成一个无盖 的盒子 则盒子容积的最大值为 cm3 4 用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱 先在四角分别截去一个小正方形 然后把四边翻转 90 角 再焊接成水箱 则水箱最大容积为 5 要做一个圆锥形的漏斗 其母线长为 20 cm 要使其体积最大 则其高为 cm 6 如图所示 某工厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场 一边可以利用原有的墙壁 其他三边需要砌新的墙壁 当砌壁所 用的材料最省时 堆料场的长和宽分别为 二 能力提升 7 某公司租地建仓库 每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比 而每月库存货 物的运费y2与到车站的距离成正比 如果在距离车站 10 千米处建仓库 这两项费用 y1和y2分别为 2 万元和 8 万元 那么 要使这两项费用之和最小 仓库应建在离车 站 千米处 8 为处理含有某种杂质的污水 要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉 淀箱 污水从A孔流入 经沉淀后从B孔流出 设箱体的长为a米 高为b米 已知流出的水中该杂质的质量分数与a b的乘积ab成 反比 现有制箱材料 60 平方米 问当a b 时 经沉淀后流出 的水中该杂质的质量分数最小 A B孔的面积忽略不计 9 如图 要设计一张矩形广告 该广告含有大小相等的左右两个矩 形栏目 即图中阴影部分 这两栏的面积之和为 18 000 cm2 四 周 空白的宽度为 10 cm 两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm 怎样确 定广告的高与宽的尺寸 单位 cm 能使矩形广告面积最小 2 10 某商场预计 2010 年从 1 月份起前x个月 顾客对某种商品的需求总量p x 件与月 份x的近似关系是 p x x x 1 39 2x x N N 且x 12 1 2 该商品的进价q x 元与月份x的近似关系是 q x 150 2x x N N 且x 12 1 写出今年第x月的需求量f x 件与月份x的函数关系式 2 该商品每件的售价为 185 元 若不计其他费用且每月都能满足市场需求 则此 商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元 11 一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比 已知当速度为 20 km h 时 每小时消耗的煤价值 40 元 其他费用每小时需 200 元 火车的最高速度为 100 km h 火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少 三 探究与拓展 12 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中间为圆柱 形 左右两端均为半球形 按照设计要求容器的容积为立方米 且l 2r 假设 80 3 该容器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元 半球形部分每平方米建造费用为c c 3 千元 设该容器的建造费用为y千元 1 写出y关于r的函数表达式 并求该函数的定义域 2 求该容器的建造费用最小时的r 3 答案答案 1 1 2 3 4V 3 144 4 128 000 cm3 5 20 3 3 6 32 米 16 米 7 5 8 6 3 9 解 设广告的高和宽分别为x cm y cm 则每栏的高和宽分别为x 20 其 y 25 2 中x 20 y 25 两栏面积之和为 2 x 20 18 000 y 25 2 由此得y 25 18 000 x 20 广告的面积S xy x 25 25x 18 000 x 20 18 000 x x 20 S 25 25 18 000 x 20 x x 20 2 360 000 x 20 2 令S 0 得x 140 令S 0 得 20 x 140 函数在 140 上单调递增 在 20 140 上单调递减 S x 的最小值为S 140 当x 140 时 y 175 即当x 140 y 175 时 S取得最小值为 24 500 故当广告的高为 140 cm 宽为 175 cm 时 可使广告的面积最小 10 解 1 当x 1 时 f 1 p 1 37 当 2 x 12 时 f x p x p x 1 x x 1 39 2x 1 2 x 1 x 41 2x 1 2 3x2 40 x x N N 且 2 x 12 验证x 1 符合f x 3x2 40 x 4 f x 3x2 40 x x N N 且 1 x 12 2 该商场预计销售该商品的月利润为 g x 3x2 40 x 185 150 2x 6x3 185x2 1 400 x x N N 1 x 12 g x 18x2 370 x 1 400 令g x 0 解得x 5 x 舍去 140 9 当 1 x0 当 5 x 12 时 g x 0 当x 5 时 g x max g 5 3 125 元 综上 5 月份的月利润最大是 3 125 元 11 解 设速度为x km h 甲 乙两城距离为a km 则总费用f x kx3 200 a x a kx2 200 x 由已知条件 得 40 k 203 k 1 200 f x a x2 1 200 200 x 令f x 0 a x3 20 000 100 x2 得x 10 3 20 当 0 x 10时 f x 0 3 20 当 10 x0 3 20 当x 10时 f x 有最小值 3 20 即速度为 10 km h 时 总费用最少 3 20 12 解 1 设容器的容积为V 由题意知V r2l r3 又V 4 3 80 3 故l r r V 4 3 r3 r2 80 3r2 4 3 4 3 20 r2 由于l 2r 因此 0 r 2 所以建造费用y 2 rl 3 4 r2c 2 r r 3 4 r2c 4 3 20 r2 5 因此y 4 c 2 r2 0 r 2 160 r 2 由 1 得y 8 c 2 r 160 r2 r3 03 所以c 2 0 当r3 0 时 r 20 c 2 3 20 c 2 令 m 则m 0 3 20 c 2 所以y r m r2 rm m2 8 c 2 r2 当