20.函数及图象专项训练（三）

第十三章函数及图象第十三章函数及图象 例题精选例题精选 例例 1 1 正方形的边长是之间的函数关系如 x cmy cmx 面积与边长 2 何表示 2 农机厂第一个月产量为 30 台 以后每月递增 第三个月的产量 台 y 与月平均增长率之间的函数关系如何表示 x 解 解 1 yxx 2 0 2 yxx 30 10 2 也可以写作 yxx 306030 2 小结 小结 这两个函数解析式均为整式 这与一次函数有相同之处 但是的最x 高次项是 2 次 而不是 1 一般地 如果 是yaxbxc 2 a 0abc 常数 那么 叫做的二次函数 yx 例例 2 篱笆墙长 30m 靠墙围成一个矩形花坛 写出花坛面积 之间的函数关系式 并指出自y mx m 2 与长 变量的取值范围 分析 分析 这是一个实际问题 先要弄清楚它 的意义是什么 可以画图帮助理解 解解 设花坛长为 x m 则花坛的宽为 30 2 x m 面积yx x xx 30 2 1 2 15 2 自变量的取值范围为 030 x 和二次函数 0 加以对照 会发现这里的 yaxbxc 2 a a 1 2 bc 150 例例 3 画出函数的图象 yx 2 分析 分析 因为不知道二次函数图象的形状 所以仍然要用描点法 点取得越 多越精确 在可能条件下 要尽可能地多取几个点 解 解 列表 x 3 2 10123 yx 2 9410149 描点 连线 小结 小结 由以上三步 我们得到了二 次函数的图象 它的形状如同物yx 2 体抛射时所经过的路线 我们称它为抛 物线 从表中或图象上都可以发现 是关于轴对称 与 xyxyy 的点 这条抛物线关于轴对称 轴就yy 叫做抛物线的对称轴 对称轴和yx 2 抛物线的交点是抛物线的顶点 抛线物 的顶点是坐标原点 yx 2 例例 4 在同一坐标系内画出函数的图象 yxyxyx 1 2 2 222 解解 列三个表 x 4 3 2 101234 yx 1 2 2 8 9 2 2 1 2 0 1 2 2 9 2 8 x 2 3 2 1 1 2 0 1 2 1 3 2 2 yx 2 2 8 9 2 2 1 2 0 1 2 2 9 2 8 x 3 2 10123 yx 2 9 4 10 1 4 9 分析 分析 认真观察在同一坐标系下所画出的 三个图象 会发现抛物线对称轴都是yax 2 轴 顶点是原点 当时 抛物线ya 0 的开口向上 当时 抛物线yax 2 a 0 的开口向下 比较和yax 2 yx 1 2 2 会发现越大 抛物线越靠近轴 yx 2 2 ay 开口越小 而越小 开口反而越大 a 时抛物线从左右两边向上无限伸展 a 0 时抛物线从左右两边向下无限伸展 a 0 因此画抛物线时不要直然而上 要用光滑曲线 延伸下去 抛物线的对称轴是轴 对称轴方程为 顶点是坐标原点 坐yax 2 yx 0 标为 0 0 当时在对称轴的左侧 抛物线的值随值的增大而减小 a 0yx 2 在对称轴右侧 值随值的增大而增大 顶点是抛物线的最低点 也就是当yx 时 函数值最小 同样地当时 在对称轴左侧 值随x 0yy 0a 0y 值的增大而增大 在对称轴右侧 值随值的增大而减小 顶点是抛物线的xyx 最高点 当时 函数值最大 x 0yy 0 例例 5 在同一坐标系内画出函数的图象yxyx 22 22 与 解 解 列表 x 3 2 10123 yx 2 2 116323611 yx 2 2 72 1 2 127 描点 连线 分析 分析 观察图象可发现 与的图象仍是抛物线 与yx 2 2yx 2 2 的抛物线形状相同 只是位置不同 对称轴仍为轴 而顶点改变了位yx 2 y 置 的顶点坐标为 0 2 的顶点坐标为 0 2 yx 2 2yx 2 2 例例 6 在同一坐标系下画出函数的图象 yxyx 1 2 1 1 2 1 22 与 解 解 列表 x 3 2 10123 yx 1 2 1 2 2 1 2 0 1 2 2 9 2 yx 1 2 1 2 9 2 2 1 2 0 1 2 2 描点 连线 分析分析 中间虚线为的图象 观yx 1 2 2 察和比较这三条抛物线会发现 抛物线 yx 1 2 1 2 与抛物线的形状相同 只是位置不同 抛物线yx 1 2 1 2 yx 1 2 2 的开口向下 由的正负决定 对称轴是过 1 0 点且平yx 1 2 1 2 a 行于轴的一条直线 它的方程为 顶点为 1 0 yx 1 抛物线的开口向下 对称轴是直线 顶点为 1 0 yx 1 2 1 2 x 1 在对称轴左侧 抛物线与都是值随值的增大而增yx 1 2 1 2 yx 1 2 1 2 yx 大 而在对称轴右侧 值随值的增大而减小 1 0 和 1 0 均yx 为两条抛物线的最高点 即函数在此取得最大值 例例 7 在同一坐标系内画出一函数 的图象 yxyxyx 1 2 1 2 1 1 2 11 222 解解 列表 x 4 3 2 101234 yx 1 2 2 8 9 2 2 1 2 0 1 2 2 9 2 8 yx 1 2 1 2 9 11 2 3 3 2 1 3 2 3 11 2 9 yx 1 2 11 2 11 2 3 3 2 1 3 2 3 11 2 9 27 2 描点 连线 分析 分析 观察抛物线 yx 1 2 2 它们的形状yx 1 2 1 2 yx 1 2 11 2 相同 只是位置不同 它们的开口都向上 对称轴和顶点如下表所示 抛物线对称轴顶点坐标 yx 1 2 2 x 0 0 0 yx 1 2 1 2 x 0 0 1 yx 1 2 11 2 x 1 1 1 由于抛物线 形状相同 位置不同 yx 1 2 2 yx 1 2 1 2 yx 1 2 11 2 我们也可以认为抛物线是由向上移动一个单位再向左yx 1 2 11 2 yx 1 2 2 平移一个单位而得到的 或者先向左平移一个单位再向上移动一个单位而得到 一般地 抛物线形状相同 位置不同 抛物线ya xhkyax 2 2 与 有如下特征 ya xhk 2 1 时 抛物线开口向上 时 开口向下 a 0a 0 2 对称轴是直线 顶点坐标是 xh hk 3 抛物线是由抛物线向右平移个单位 ya xhk 2yax 2 h h 0 再向上平移个单位而得到 k k 0 4 当时 抛物线开口向上 在对称轴左侧值随值的增大而减小 a 0yx 在对称轴右侧值随值的增大而增大 当时 情况正好相反 yxa 0 5 当时 顶点 是抛物线的最低点 即当时函数有a 0hk xh y 最小值 当时 函数则有最大值 a 0y 例例 8 用配方法把函数化为的形式 yxx 1 2 3 5 2 2 ya xhk 2 画出图象 并求出顶点坐标 对称轴 解 解 yxx 1 2 3 5 2 2 1 2 65 1 2 6995 1 2 32 2 2 2 xx xx x 抛物线的顶点坐标为 3 2 对称轴 yxx 1 2 3 5 2 2 x 3 图象如图所示 列表 x 6 5 4 3 yxx 1 2 3 5 2 2 5 2 0 3 2 2 将对称轴左侧的点列出 右侧根据对称 性即可以描点 小结 小结 一般地 对于二次函数 通过配方 写成yaxbxca 2 0 的形式 就可以了解和掌握ya xhk 2 一般二次函数的特征和性质了 yaxbxc a x b a x c a a x b a x b a b a c a ax b a acb a a x b a acb a 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22 2 4 4 2 4 4 二次函数配方得 yaxbxca 2 0 有如下特征 ya x b a acb a 2 4 4 2 2 1 当时抛物线开口向上 抛物线开口向下 a 0a 0 2 抛物线的对称轴是的平行于轴的一条直线 顶点坐标为x b a 2 y b a acb a2 4 4 2 3 抛物线由抛物线向左移动个单位ya x b a acb a 2 4 4 2 2 yax 2 b a2 向上平移个单位而得到 b a2 0 4 4 2 acb a 4 4 0 2 acb a 4 抛物线轴的交点坐标为 0 与轴交点坐标为yaxbxcy 2 与cx 二次方程的两个实数根 axbxc 2 0 5 当时在对称轴左侧 值随值的增大而减小 在对称轴右侧 a 0yx 值随值的增大而增大 当时 情况正好相反 yxa 0 6 时 当 时有最小值 最小值为 当时a 0 x b a2 yy 4 4 2 acb a a 0 有最大值 最大值为 x b a2 yy 4 4 2 acb a 例例 9 用两种方法求函数图象的顶点坐标和对称轴 yxx 2 24 解 解 配方法 yxxxx yx 22 2 24213 13 对称轴 顶点坐标 1 3 x 1 公式法 对称轴 x b a 2 顶点坐标 b a acb a2 4 4 2 yxxabc x acb a x 2 22 24124 2 21 1 4 4 4142 41 164 4 3 113 代入公式 对称轴为 顶点坐标 例例 10 求二次函数的最大值或最小值 yxx 281 2 解 解 抛物线开口向上 a 20 函数有最小值 yxx xx x 281 24 1 2 227 2 2 2 当时 最小 xy 27 抛物线的顶点在时是最低点 所以这一点的函数值最小 因此 a 0 也可以用顶点坐标公式去求最值 x b a y acb a 2 8 22 2 4 4 4218 42 864 8 7 22 最小 小结 小结 两种方法均应熟练掌握 例例 11 已知函数为何值时 函数值随自变量的值的yxxx 1 2 3 1 2 2 当 增大而减小 分析 分析 抛物线开口向下 要回答为何值时 函数值随自变量的a 1 2 x 值的增大而减小 只要确定抛物线的对称轴即可 解 解 yxx 1 2 3 1 2 2 1 2 61 1 2 6910 1 2 35 2 2 2 xx xx x 对称轴是直线x 3 所以当时 值随值的增大而减小 x 3yx 例例 12 已知抛物线yxx 12 1 2 2 1 把它配方成的形式 ya xhk 2 2 写出抛物线的开口方向 顶点的坐标 对称轴方程 M 3 求出与轴交点坐标及与轴的交点的坐标 yxAB 4 作出函数图象 5 当取何值时 函数值 y 随增大而增大 随值的增大而减小 xxyx 6 观察图象 当取何值时 xyyy 000 7 求的面积 AMB 解 解 1 yxx 12 1 2 2 1 2 21 1 2 4442 1 2 23 2 2 2 xx xx x 2 抛物线开口向下 顶点 2 3 对称轴是直 a 1 2 0 M 线 x 2 3 令 抛物线与轴交点坐标为 0 1 xy 01 y 令 解之得 抛物线与 轴的交点坐标为 yxx xx x AB 012 1 2 0 2626 260260 2 12 4 图象如图所示 列表 x 1012 yxx 12 1 2 2 3 2 1 5 2 3 画抛物线的图象时 关键的点一定要画 准确 如顶点 和轴 轴的交点 以及与xy 它们对称的点等等 5 当的增大而增xyx 2时 函数值 随 大 当时 函数值随值的增大而减x 2yx 小 6 抛物线开口向下 和轴有两个交点 a 1 2 0 x 时 2626xy 0 当和时 当或时 xxy xxy 26260 26260 7 SABM AMBy 1 2 AB 26262 6 S AMB 1 2 2 633 6 专项训练专项训练 一 选择题 在下面每题所给出的四个选择中只有一个是正确的 一 选择题 在下面每题所给出的四个选择中只有一个是正确的 1 函数的图象经过点 yxx 231 2 A 1 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 2 抛物线轴的交点坐标是 yxxx 2 56与 A 1 0 和 6 0 B 2 0 和 3 0 C 1 0 和 6 0 D 2 0 和 3 0 3 在下列二次函数中 抛物线的开口向下的共有 yxxyxx 13 1 2 1 22 yxyx 443 22 A 1B 2C 3D 4 4 函数的最大值 或最小值 是 yx 243 2 A 最大值是 3B 最小值是 3C 最大值是 1 D 最小值是 1 5 二次函数图象的顶点坐标是 yx 11 2 A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 0 6 二次函数的顶点坐标和对称轴分别是 yxx 163 2 A 顶点 1 4 对称轴1x B 顶点 1 4 对称轴 1x C 顶点 1 4 对称轴4x D 顶点 1 4 对称轴4x 7 要从的图象 则必须把的图象 yxyx 1 3 1 3 4 22 的图象得到 yx 1 3 2 A 向上平移 4 个单位B 向下平移 4 个单位 C 向右平移 4 个单位D 向左平移 4 个单位 8 抛物线 则抛物线的顶点在 yaxbxcabc 2 000中 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 9 二次函数的图象不经过第二象限 则的取值范围是yaxbxc 2 abc A B abc 000 abc 000 C D abc 000 abc 000 10 抛物线 的顶点在轴上方的条件是 yaxbxc 2 a 0 x A B bac 2 40 bac 2 40 C D bac 2 40 bac 2 40 二 填空题 二 填空题 1 将抛物线向右平移 1 个单位 再向上平移 3 个单位 那么所得抛物yx 2 2 线是 2 抛物线用配方法化为的形式是yxx 1 2 22 2 ya xhk 2 它的顶点坐标是 对称轴是 开口向 当x 时随值的增大而增大 当时 有最值 其值yxxy 为 抛物线与轴的交点坐标是 抛物线与轴的交点坐标是xy 3 若抛物线经过原点 则 若其顶yxmxm 2 13 m 点在轴上 则 ym 4 抛物线轴的交点坐标为 与轴yxx 1 2 14 2 与y 的交点坐标为 5 二次函数最小值是 0 则 yxmxm 22 211 m 6 已知抛物线经过点 2 0 则抛物线的顶点到原点的距离为y