【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 阶段检测四 立体几何初步　空间向量在立体几何中的应用试题 理（含解析）新人教A版

1 阶段检测四阶段检测四 立体几何初步立体几何初步 空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 如图为长方体木块堆成的几何体的三视图 则组成此几何体的长方体木块共有 A 3 块 B 4 块 C 5 块 D 6 块 2 2012 株洲模拟 已知三条不重合的直线m n l 两个不重合的平面 有 下列命题 若l m 且 则l m 若l m 且l m 则 若m n m n 则 若 m n n m 则n 其中真命题的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 3 2012 广州模拟 若空间中有两条直线 则 这两条直线为异面直线 是 这两条 直线没有公共点 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分又不必要条件 4 如图所示为一平面图形的直观图 则此平面图形可能是 5 若圆锥的侧面展开图是圆心角为 120 半径为l的扇形 则这个圆锥的表面积与 侧面积之比是 A 3 2 B 2 1C 5 3 D 4 3 6 如图 下列四个正方体图形中 A B为正方体的两个顶点 M N P分别为其所在 棱的中点 能得出AB 平面MNP的图形的序号是 2 A B C D 7 设有如下三个命题 甲 相交直线l m都在平面 内 并且都不在平面 内 乙 直线l m中至少有一条与平面 相交 丙 平面 与平面 相交 当甲成立时 A 乙是丙的充分而不必要条件 B 乙是丙的必要而不充分条件 C 乙是丙的充分且必要条件 D 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 8 如图为棱长是 1 的正方体的表面展开图 在原正方体中 给出下列三个命题 点M到AB的距离为 2 2 三棱锥C DNE的体积是 1 6 AB与EF所成的角是 2 其中正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 9 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切 已知这个球的体积是 32 3 那么这个三棱柱的体积是 A 96 B 16 C 24 D 48 3333 10 在正四面体P ABC中 点D E F分别是AB BC CA的中点 则下面四个结论不 成立的是 A BC 平面PDF B DF 平面PAE C 平面PDF 平面ABC D 平面PDF 平面PAE 11 2012 北京模拟 如图 四边形ABCD中 AB AD CD 1 BD BD CD 将四 2 边形ABCD沿对角线BD折成四面体A BCD 使平面A BD 平面BCD 则下列结论正确的 是 3 A A C BD B BA C 90 C CA 与平面A BD所成的角为 30 D 四面体A BCD的体积为 1 3 12 在正方体ABCD A1B1C1D1中 点M N分别在线段AB1 BC1上 且AM BN 以下结 论 AA1 MN A1C1 MN MN 平面A1B1C1D1 MN与A1C1异面 其中有可能成立的 个数为 A 4 B 3 C 2 D 1 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 将答案填在题中横线上 13 已知圆锥的母线长为 2 高为 则该圆锥的侧面积是 3 14 2012 辽宁高考 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 15 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是棱A1B1 A1D1的中点 则A1B与EF所成 角的大小为 16 某几何体的三视图如图 则该几何体体积的最大值为 4 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 10 分 如图 在四面体ABCD中 E G分别为BC AB的中点 F在CD上 H在 AD上 且有DF FC DH HA 2 3 求证 EF GH BD交于一点 18 12 分 如图 在四棱台ABCD A1B1C1D1中 D1D 平面ABCD 底面ABCD是平行四 边形 AB 2AD AD A1B1 BAD 60 1 证明 AA1 BD 2 证明 CC1 平面A1BD 19 12 分 2012 上海高考改编 如图 在三棱锥P ABC中 PA 底面ABC D是PC的 中点 已知 BAC AB 2 AC 2 PA 2 求 23 1 三棱锥P ABC的体积 2 异面直线BC与AD所成的角的余弦值 20 12 分 如图 四棱锥S ABCD中 底面ABCD是边长为 4 的正方形 O是AC与BD 的交点 SO 平面ABCD E是侧棱SC的中点 直线SA和AO所成角的大小是 45 5 1 求证 直线SA 平面BDE 2 求直线BD与平面SBC所成角的正弦值 21 12 分 已知如图所示的 ABCD中 BC 2 BD CD 正方形ADEF所在平面与平面 ABCD垂直 G H分别是DF BE的中点 1 求证 GH 平面CDE 2 记CD x V x 表示四棱锥F ABCD的体积 求V x 的表达式 3 当V x 取最大值时 求平面ECF与平面ABCD所成二面角的平面角的正弦值 22 12 分 如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图 俯视图 在直观图中 M是BD的中点 侧视图是直角梯形 俯视图是等腰直角三角形 有关数据如 图所示 1 求出该几何体的体积 2 若N是BC的中点 求证 AN 平面CME 3 求证 平面BDE 平面BCD 6 参考答案参考答案 1 B 2 C 解析 解析 中l与m可能相交 对 中要求m与n为两相交直线时才成立 为面面垂直的性质定理 正确 3 A 解析 解析 若两直线为异面直线 则两直线无公共点 反之不一定成立 4 C 解析 解析 根据斜二测画法规则将直观图还原 可知选 C 5 D 解析 解析 设圆锥的底面半径为r 依题意可得扇形的弧长为 l 2 3 从而圆锥的底面半径为r l 2 l 2 3 1 3 圆锥的高为 l l2 1 3l 2 2 2 3 所以圆锥的侧面积S侧 l 圆锥的表面积S表 2 l2 l 3 l2 3 l2 3 l 3 4 9 所以 表面积与侧面积的比值为 4 3 6 D 解析 解析 中面MNP 面AB AB 面MNP 中MP AB AB 面MNP 7 C 解析 解析 当甲成立 即 相交直线l m都在平面 内 并且都不在平面 内 时 若 l m中至少有一条与平面 相交 则 平面 与平面 相交 成立 若 平 面 与平面 相交 则 l m中至少有一条与平面 相交 也成立 故选 C 8 D 解析 解析 将展开图还原到正方体 如图所示 则M到AB的距离为MC 正确 VC DNE 1 正确 1 2 2 2 1 3 1 2 1 6 EF MC MC AB AB与EF所成的角为 正确 2 9 D 解析 解析 由题意可知 球的直径就是三棱柱的高 正三棱柱底面内切圆就是球的 大圆 又 V球 r3 r 2 2r 4 h 4 3 32 3 如图 OD r 2 OB 4 BE 6 BD 2 BC 4 33 V三棱柱 Sh 4 6 4 48 1 233 10 C 解析 解析 P点到平面ABC上的射影为 ABC的中心 它不在DF上 故平面PDF不 垂直于平面ABC 11 B 解析 解析 A B A D 1 BD 2 7 BA DA 又 面A BD 面BCD 且CD BD CD 面A BD CD A B BA 面A CD BA A C 即 BA C 90 12 A 解析 解析 取特殊值 使M N分别为线段AB1 BC1上的中点 取B1B的中点为 E 连接NE EM 则NE B1C1 ME A1B1 又NE ME E B1C1 A1B1 B1 故平面MNE 平面 A1B1C1D1 对 又A1A 平面A1B1C1D1 故A1A 平面MNE 对 连接A1B M是A1B的 中点 M在A1B上 MN是 A1C1B的中位线 MN A1C1 对 当N与B重合 M与A重合 此时MN与A1C1异面 对 13 2 解析 解析 圆锥底面半径为 1 则圆锥侧面积S rl 2 14 12 解析 解析 如图所示 由已知得该几何体为一组合体 上面是底面圆半径为 1 高为 1 的圆柱 下面是长为 4 宽为 3 高为 1 的长方体 如图所示 故所求体积V 12 1 4 3 1 12 15 解析 解析 连接B1D1 D1C B1C 3 由题意EF是 A1B1D1的中位线 所以EF B1D1 又A1B D1C 所以A1B与EF所成的角等于B1D1与D1C所成的角 因为 D1B1C为等边三角形 所以 B1D1C 3 故A1B与EF所成角的大小为 3 16 解析 解析 由三视图知该几何体为三棱锥 记为S ABC 其中SA 面ABC 底面ABC 1 2 为直角三角形 BAC 90 设AB 1 SA x AC y 则x2 y2 6 8 利用不等式得x2 y2 6 2xy xy 3 又体积V AB AC SA 1 3 1 2 xy 3 1 6 1 6 1 2 17 证明 连接GE FH 因为E G分别为BC AB的中点 所以GE AC 又因为DF FC DH HA 2 3 所以FH AC 所以FH GE GH EF不平行 所以E F H G四点共面 所以四边形EFHG是一个梯形 设GH和EF交于一点O 因为O在平面ABD内 又在平面BCD内 所以O在这两个平面的交线上 因为这两个平面的交线是BD 且交线只有这一条 所以点O在直线BD上 这就证明了GH和EF的交点也在BD上 所以EF GH BD交于一点 18 证明 1 因为AB 2AD 所以设AD a 则AB 2a 又因为 BAD 60 所以在 ABD中 由余弦定理得 BD2 2a 2 a2 2a 2a cos 60 3a2 所以BD a 3 所以AD2 BD2 AB2 故BD AD 又因为D1D 平面ABCD 所以D1D BD 又因为AD D1D D 所以BD 平面ADD1A1 故AA1 BD 2 连接AC 设AC BD O 连接A1O 由底面ABCD是平行四边形得 O是AC的中点 由四棱台ABCD A1B1C1D1知 平面ABCD 平面A1B1C1D1 因为这两个平面同时都和平面ACC1A1相交 交线分别为AC A1C1 故AC A1C1 设AD a 则AB 2a BC a ABC 120 所以可由余弦定理计算得AC a 7 又因为A1B1 a B1C1 a A1B1C1 120 1 2 所以可由余弦定理计算得A1C1 a 7 2 所以A1C1 OC且A1C1 OC 故四边形OCC1A1是平行四边形 9 所以CC1 A1O 又CC1平面A1BD A1O平面A1BD 所以CC1 平面A1BD 19 解 1 S ABC 2 2 2 三棱锥P ABC的体积为V S 1 233 1 3 ABC PA 2 2 1 33 4 3 3 2 取PB的中点E 连接DE AE 则ED BC 所以 ADE 或其补角 是异面直线BC与AD所成的角 在 ADE中 DE 2 AE AD 2 2 cos ADE 22 22 2 2 2 2 3 4 因此 异面直线BC与AD所成的角的余弦值是 3 4 20 解 1 连接OE 四边形ABCD是正方形 O是AC的中点 又 E是侧棱SC的中点 OE SA 又OE平面BDE SA平面BDE 直线SA 平面BDE 2 建立如图所示的空间直角坐标系 则D 0 2 0 2 B 0 2 0 S 0 0 2 C 2 0 0 222 0 4 0 2 2 0 BD uuu r 2 BC uu u r 22 0 2 2 SB uu r 22 10 设平面SBC的法向量为n n x y 1 则有即 0 0 SB BC n n uu r uu u r 2 22 20 2 22 20 y xy 解得 n n 1 1 1 1 1 y x 直线BD与平面SBC所成的角记为 则 sin BD BD n n uuu r uuu r 4 2 3 4 2 3 3 21 1 证法 1 EF AD AD BC EF BC且EF AD BC 四边形EFBC是平行四边形 H为FC的中点 又 G是FD的中点 HG CD HG平面CDE CD平面CDE GH 平面CDE 证法 2 连接EA ADEF是正方形 G是AE的中点 在 EAB中 GH AB 又 AB CD GH CD HG平面CDE CD平面CDE GH 平面CDE 2 解 平面ADEF 平面ABCD 交线为AD 且FA AD FA 平面ABCD BD CD BC 2 CD x FA 2 BD 0 x 2 4 x2 S ABCD CD BD x Y 4 x2 V x S ABCD FA x 0 x 2 1 3 Y 2 34 x2 3 解 要使V x 取得最大值 即使x 0 x 2 取得最大值 4 x2x2 4 x2 x2 4 x2 2 4 当且仅当x2 4 x2 x2 4 x2 2 即x 时V x 取得最大值 2 解法 1 在平面DBC内过点D作DM BC于M 连接EM 11 BC ED BC 平面EMD BC EM EMD是平面ECF与平面ABCD所成二面角的平面角 当V x 取得最大值时 CD DB 22 DM BC 1 EM 1 2ED2 DM25 sin EMD ED EM 2 5 5 即平面ECF与平面ABCD所成二面角的平面角的正弦值为 2 5 5 解法 2 以点D为坐标原点 DC所在的直线为x轴建