42. 相似形专项训练

第五章第五章 相似形专项训练相似形专项训练 例题精选例题精选 例例 1 已知 a b c 2 3 5 求 1 2 ab c abc a abc abc 3 322 2 分析分析 两条线段的比是指在同一长度单位下所得线段的长度的比 在使用 比例性质时要先将使用起来较为方便 a b c abc 2 3 5 235 化为 解解 a b c 2 3 5 abc 235 1 abcabc 235235 等比定理 ab c 5 5 1 2 abcabca 2352352 abc a 4 2 2 3 abc KaK bK cK 235 235 322 2 6610 435 2 6 1 3 abc abc KKK KKK K K 小结 小结 前两问同样可以采用 3 设比例系数的作法 而使用比例性质更简 捷一些 例例 2 已知 边上的中线 Rt ABCACBCDAB 中 是 90CE ABE 于 若 ACDDCEECB 求 的值 CD CE EB 分析分析 求三条线段的比的问题 首先要 确定单位长度 然后把其余线段表示成单位 长度的量数 从而求得它们的比的问题 在 表示其他线段时 需结合几何图形及已知条 件 才能使问题得到解决 解解 设EBaACDDCEECB 而 在中 于 ACBECB Rt CEBCE ABEECBEBa BCaCEaB 9030 30 2360 又在中 于 CDBDCEECBCE ABE DCEBCECDBCa CD CE EB 30 2 23 1 小结 小结 在这里 设较为简便 实际上 设 CE 或设 CD 等于 a 均EBa 能得到同样的答案 你不妨试一下 例例 3 已知 如图 ABCD F 是 BC 延长 线上一点 连 AF 交 DB DC 于 O E 点 求证 OAOEOF 2 分析分析 要证OAOEOF OA OE 2 即证 但三条线段均在一条直线 OF OA OA OE OF 上 因此需要寻找中间比 而已知图形是平行四边形 两组对边分别平行 利 用平行线分线段成比例定理即可证明 证明证明 平行四边形ABCDABCD OA OE BO OD ADBC AO OF OD BO 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 AO OE BO OD OF AO AOOEOF 2 例例 4 如图 延 ABCDEBCABACDEBBFDE中 交 于 过点 作射线交 长线于 F 且 DEEF 求证 AEACEMMC 分析分析 要证仍然是在一AEACEMMC 条直线上四条线段的比例问题 而且还AEAC 是部分与整体的比 因此中间比与有关 DE BC 需要用到平行于三角形的一边 并且和其他两边 相交的直线 所截得的三角形的三边与原三角形 三边对应成比例 证明证明 DEBC AE AC DE BC 平行于三角形的一边 并 且和其他两边相交的直线 所截得的三角形的三边与 原三角形三边对应成比例 DEEF DE BC EF BC DEBC EF BC EM MC AE AC EM MC 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边 的延长线 所得的对应线段成比例 例例 5 已知 如图 菱形 ABCD 分别延长 AB DB AD 交直线 EC 于 E F G 且 AG 2AF 求证 EB BD 分析分析 欲证 EB BD 注意到已知条件中有 AG 2AF 即 考虑 AF AG 1 2 到菱形的对边互相平行且相等的特点 逐渐将图形右边的比的问题转化到图形 的左边来 只要证明 问题就可以得到解决 EB ED 1 2 证明证明 菱形 即ABCDABCDCDAF CD AF DG AG AGAFDGCD CDBCDGBC 而 而 22 2 即 BC DG EB ED 1 2 EBBD 小结小结 由以上三个例题可看出 要证明线段相 等 倍数关系均可以化为比例问题 而要证明线段 成比例问题 需利用平行线分线段成比例定理 因 此要充分利用图形现有的平行线如平行四边形 菱 形等 因此 当图形中没有平行线的已知条件时 可通过添加辅助线来解决问 题 例例 6 已知 如图 上任一点 延长线上的 ABCABACDAB中 是 FAC是 任一点 连结DFBCE交于 求证 CF DBEF DE 分析分析 要证题目中并没有提供现有的比例线段 因此应CF DBEF DE 通过作辅助线把四条线段放在具有平行关系的两个三角形中 问题才能得以解 决 证明证明 过点 D 作 DG AC 交 BC 于点 G DGAC CF DG EF DE ABACDGAC BACBDGB BDDG CF BDEF DE 又 例例 7 如图 点 ABCADBACBCD中 平分交于 求证 AB ACBD DC 证明证明 过点 C 作 CE AD 交 BA 的延长线 于点E ADBAC ADCEE EAEAC ADCE BD DCAB AEAB AC 平分 又 则 而 12 123 3 例例 8 已知 如图 ABCBACBA ADBCDBDDC中 交于点 且 135 求证 ABAD 2 分析分析 由前两个例题可看出有平 行线就有成比例的线段 又可以利用 几何图形的性质 进行等量的代换 以实现所要证明的结论 这个题也不 例外 线段的倍分问题实质上也是线段的比例问题 由已知 BD DC 可知 BC 2BD 2CD 利用平行线分线段成比例的一组定理就可以得到证明 证明证明 过点 作交于点DDEABACE BA ADDEAB BADADEBAC DACAED ADDE DEAB DEABCD BC ABDEAD 90135 4545 1 2 22 而 则 例例 9 已知 如图 ABCDEABACDCBE中 是 上的三分之一点 连 交于 O 点 过点 OOFBCABF作交于 求证 的中点FAB是 分析分析 要证 F 是 AB 的中点 可以证 AF BF 在上一章证线段相等多采用证三角形全 等或使用等角对等边的方法 在这一章里我们要 学习使用比例的方法证线段的相等 可使用比例 的前项相等 比例的后项也相等或中间比的方法 本题可采用将 BF 与 AF 用 DF 表示的方法来证明 连结 DE 以后 可得到 DE BC OF 就有一系列的比例线段存在 证明证明 连结 DE DEABAC 是 上的三分之一点 AD AB AE AC DEBC 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于 三角形的第三边 DE BC AE AC DE BC DO OC 1 3 1 3 而 又 而 即 即 为的中点 OFBC DO OC DF BF BFDFBDDF AD DB DBADADDF AFDFBF AFBFFAB 1 3 34 1 2 22 3 专项训练专项训练 一 选择题 一 选择题 1 已知 那么下列各式中正确的一定是 abcd 10073021 A B a b d c a c d b C D a c b d b c d a 2 已知 的值是20 xy xy x 则 A B 2C 1D 1 2 1 2 3 如图 则下列比例式成立的是DEBC A B C D DA AB AC AE DE BC DA AB EA AB DA AC DA AB AE AC 第 3 题第 4 题 4 如图 则下列各式中成立的是ACBDOABEFCD 交于 点 且 A B C D OA OB OD OC OC OD OE OF OD OA OB OC OE OF OB OA 5 已知在一张比例尺为 1 20000 的地图上 量得 A 与 B 两点间距离是 2 5cm 那么实际距离为 A 250mB 500m C 1000mD 2500m 6 已知 如图 边上的中线 点 ABCADBC中 为FAD AF FD 在上 且 1 3 连结 BF 并延长交 AC 于 E 则的值等于AE EC A B 1 6 1 5 C D 1 4 1 3 7 已知 a b cabcabmcm 1 2 31210且 则 的值等于 A 1B 2C 4D 6 8 由 可以得到的比例式为a b 4 3 A B abb 7 4 abb 3 4 C D abb 4 3 aba 7 4 二 填空题 二 填空题 1 已知线段的比例中项是 acm bcmab 74 那么线段 2 若 的第四比例项为 abcabc 5253 则 3 已知 11 2 33 mn mmnn mmnn 那么 4 若 325 xxx 则 5 如图 ABCBCDE ADcm AB中 2 6cm AEcmCE 3 则 6 如图 在交 AC ABCDEBCABD中交于 于 E 且 则 AD AB EC AC 2 5 7 如图 在 边上的点 ADEBCADAE中 分别为 BCDEBD AD 1 312 BCcm 则DE 8 已知 则 xyz xyz 357 352100 且x y z 9 已知 xyzxyz zxy234 0 32 23 则 10 已知 如图 ADEFABcm AC是菱形 20 则菱形边长 15cm 三 解答题 三 解答题 1 如图 在 ABCDEBCEFABAD DBFCAC中 若 3 226 求 的长DECE及 第 1 题第 2 题 2 已知 如图 在 为边向外作正方形 ABCCBC中 以 90 BCDEAE 连结 于 G 交于 作交BCFFGACAB 求证 FC FG 3 已知 如图 DEBC EFCD 求证 ADAFAB 2 第 3 题第 4 题