51[1].平面几何综合复习(四)

平面几何综合复习平面几何综合复习 四四 例题精选例题精选 例 1 已知 如图圆内接 ABC 中 AB BC PA 是圆的切线 PB 与圆相交 于 D 点 连结 CD 求证 ACPBCD 2 分析 本题考查 圆中证相似 首先将要证的结论等 积式 化成等比式 即求证 化为在 横 找或 竖 找这四ACPBCD 2 AC BP CD AC 条线段是否可构造两个三角形 通过 横 找发现了 ADC 又因为已知 AC AB 所以通过代替比例式化为 接着 横 找到 ABP 只要证出 ADC PAB 即可 AC BP CD AB 证法一 连结 AD PA 是圆的切线 PAB ACB AB AC ACB ABC 又 ABC ADC PAB ADC 易知 PBA ACD PAB ADC 即 PB AC AB CD ACABPBCD ACBPCD 2 证法二 连结 AD AB AC ACB ABC 又 PA 是圆的切线 PAB ACB PAB ABC PA BC APB PBC 180 又 DAC PBC 180 APB DAC 易知 PBA ACD APB DAC 以下同证法一 证法三 连结 AD 同证法一证得 PAB ADC 同证法二证得 APB DAC 直至证得 PAB ADC 以下同证法一 例 2 已知 如图 AB 是 O 的直径 弦 CD AB 于 P 弦 AF 交 CD 于 E 求证 ADAEAF 2 分析 此题有直径与弦互相垂直 因此垂径定理的一垂直三平分要得到 充分的发挥 要证的结论 转化成比例式是 易发ADAEAF 2 AD AE AF AD 现该题利用共线 共角的两个三角形相似即可 连结 DF 则成功 证明 连结 DF AB 是 O 的直径 且 AB CD ADC F 又 DAE FAD ADE AFD 即 AD AF AE AD ADAEAF 2 例例 3 已知 如图 O 中弦 AB CD B 是 的中点 OB 交 AD 于 G 点 过 B 点的切线与 CD 的延长线交于 E 点 求证 2AG AD BD CE 分析 分析 由题目 B 是的中点 及 OB 是 O 的 半径 易由垂径定理得到 同时利用有切线联想弦切角即ADAG 2 从而得到 BE AD 已知 AB CD 得到四边形 ADEB 是平 EBDAADB 行四边形 再由边等及切割线定理得结论 证明 B 为的中点 OB 为半径 ADB A AD 2AG AB BD EB 切 O 于 B BEEDCEEBDAADB 2 BE AD AB CD ADEB 是平行四边形 AD BE DE AB BD ADEDEC 2 2AGADBDCE 例例 4 已知 如图 DB 为 O 的直径 A 为 BD 延长线上的一点 AC 与 O 的相 切于点 E CB AB 若 AE EC 2 1 DE BE 4 2 2 求 ABC 的面积 分析 分析 题目考查圆中证相似 并且体 现了在解题过程中利用方程思想将线段 AE EC 2 1 设 ED x 则 AE 2x 由基 本图形得到 再由勾股定理可 再由 ADE AEBBCECx ABx 2 2 找出 DE 与 BE 的比值关系 与已知联立分别解出 DE BEDEBE 42 2 的值 从而得到 x 的值 并求出结论 解 设 AE EC 2 1 AE 2xCEx 又 DB 是直径 CD DB CB 是 O 的切线 CB CE x 在 Rt ABC 中 由勾股定理得ACBCAB 222 ABxxx 92 2 22 AEDABEAA ADE AEB AD AE AE AB DE EB AD x x x DE EB2 2 2 2 ADx 2 DE EB DEEB DEBE 2 2 42 2 2 24 在 Rt BED 中 由勾股定理得BD 2 6 ABADxx ABBC S ABC 22 62 3 4 62 3 1 2 4 62 312 2 例例 5 已知 如图 BC 是 O 的直径 PA 切 O 于 A 交 CB 的延长线于 P AD 是弦 且 PA PB 3 1 BC 20 BADP 求 BD 的长 分析 分析 此题是发散思维方法的题目 由已知联 想 由图形联想是题设和结论相结合探索解决问题 的体现 由切线和已知可得 PCA PAB 再由切割线定定理 BADP 联立比例式 通过已知构成 并由直径构成 Rt 利用勾股定理 AC AB PA PB 3 1 求出 AB 和 AC 再由切割定理求出 PB 和 PA 从而易得 BAD APC 求得 BD 长 解法一 连结 AC PA 是 O 切线 PAB C P P PCA PAB AC AB PC PA 由切割线定理得 PA PB PC PA 即 AC AB PA PB 3 1 ACABPAPB 33 BC 是直径 BAC90 ABACBC 222 即 ABAB 2 2 2 320 ABAC 2 106 10 PAPBPC 2 320 2 PBPBPB PBPA 5 2 15 2 在和中 APC BAD 又 即 PBADCD BADAPC AB PA BD AC BD ABAC AP 2 106 10 15 2 16 解法二 连 OA CD PA 切 O 于 A PAPBPC 2 PA PB 3 1设 PA 3K PB K 920 2 KK K 解得KK 12 5 2 0 舍去 PA 是切线 PAPB 15 2 5 2 PAO90 又 BC 是 O 的直径 BDC90 PBADC PAOCDB OA BD PO BCBD BD 10 10 5 2 20 16 例例 6 已知 如图 O1和 O2切于 P 点 经 过 P 点作直线 AB 和 CD AB 交 O1于 A 点 交 O2于 B 点 CD 交 O1于 C 点 交 O2于 D 点 求证 APPDPBPC 分析 分析 两圆相切 内 外 时 作两圆的公切 线往往是勾通两圆相关条件的桥梁 所以要证只要证 APPDPBPC 这样将转化证的问题 易看出只要作两圆的公切线 MN AP PB PC PD PCAPBD 即可 证明 作内公切线 MN 连结 AC BD 则 1 A 2 B 1 2 A B 3 4 CPA DPB AP BP CP DP 即 AP PD PB PC 例例 7 如图 已知 O1和 O2相交于点 A 和 B 且 O1在 O2上 过 A 点的直线 CD 分别与 O1和 O2相交于点 C D 过点 B 的直线 EF 分别与 O1和 O2交于点 E F O2的弦 O1D 交 AB 于 P 求证 1 CE DF 2 O AO PO D 1 2 11 分析 分析 要证 CE DF 须找出一对相关的角 利用圆内接四边形的性质和 公共弦 AB 易证出 E F 180 故 CE DF 证明 1 ACEB 是 O1的内接四边形 DAB E ABFD 为 O2的内接四边形 DAB F 180 E F 180 CE DF 2 连结 O1B O1A O1B O1AB O1BA O1BA ADP O1AB ADP O1 O1 A O1P DO1A O A O D O P O P O AO PO D 1 1 1 1 1 2 11 即 本题充分体现了相交两圆的公共弦的作用 所以当两圆有相交关系时 连 结两圆的公共弦可作为创造解决总是的关键之一 例例 8 已知 O1和 O2相交于 B C AB 是 O1的直径 AB AC 的延 长线分别交 O2于 D E 过 B 点作 O1的切线交 AE 于 F 1 求证 BF DE 2 若 BAC 30 AC AD 1 2 求 SS ABFADE 分析 分析 1 两圆相交 桥梁是公共弦 连结 BC 由 AB 是 O1的直径知 ACB 90 再由 BCED 是 O2的内接四边形 则 D ACB 90 由 BF 是 O1的切线知 ABF 90 故 BF DE 2 由 BF DE 知 ABF ADE 要求面积比 须知相似比 由 AC AD 1 2 可设 AC K AD 2K 利用 BAC 30 可求出 BA 的长 则即为相似比 相似比的平方就是所求的面积比 AB AD 证明 1 连结 BC AB 是 O1的直径 ACB 90 四边形 BCED 是圆内接四边形 D ACB 90 BF 切 O1于 B ABF 90 ABF D BF DE 解 2 BF DE ABF ADE AD AD 1 2 设 AC K AD 2K 在 Rt ACB 中 ACB 90 BAC 30 AB ACKK cos303 2 2 3 S S AB AD K K ABF ADE 2 2 2 3 2 1 3 即 SS ABFADE 13 说明 说明 这是一道综合性较强的题 考题运用了圆周角的性质 圆内接四边 形性质 切线的性质 相似三角形的性质及判定 平行线的判定及锐角三角函 数等知识 所以任何一个知识点的疏漏都会导致解题的失败 综合练习综合练习 一 选择题 1 在圆 O 中 40 的弧所对的圆周角的度数 A 20 B 40 C 80 D 160 2 如图 AB 是半圆 O 的直径 BAC 20 D 是 上的任意一点 则 D 等于 A 120 B 110 C 100 D 90 3 如图 在 O 中 CD 是直径 AB 是弦 AB CD 于 E AB 8 CD 10 则 CE 的长 A 8B 6 C 3D 2 4 正五边形的内角和为 A 540 B 720 C 900 D 1080 5 如果大圆的周长是小圆的周长的 2 倍 那么大圆的面积是小圆的面积的 A 2 倍B 4 倍C 8 倍D 8 6 已知正六边形的边长为 2 那么它的边心距为 A 2B 1C D 2 33 7 如图已知 PA 切 O 于 A PBC 是 O 的割 线 且 PB 2 PA 4 则 PC 的长 A 6B 2 C 4D 8 8 若圆柱底面直径是 6 母线长为 10 则圆柱的侧面积为 A 30B 60 C 90D 120 9 两圆半径分别为 5cm 和 3cm 如果两圆内切 那么这两个圆的圆心距是 A 8cmB 2cmC 11cmD 1cm 10 若两圆外切于 A BC 是两圆的一条外公切线 B C 是切点 则 BAC 是 A 锐角B 直角C 钝角D 平角 二 计算与证明 1 已知 如图 1 CDF 内接于 O AB 为 O 的直径 且 AB CD FC 的 延长线与过点 B 的 AB 的垂线相交于点 E 求证 1 BE 为 O 的切线 2 BFFDEF 2 2 已知 如图 2 AB 为 O 的直径 AC 与 O 相切于点 A CE AB 交 O 于 D E 求证 EBCDAB 2 3 已知 如图 3 O 中弦 AB CD B 是 的中点 OB 交 AD 于 D 过 B 点的切线与 CD 的延 长线交于 E 求证 2AGADBDCE 4 已知 如图 4 在 O 中 直径 AB 与弦 CD 相交于点 M 且 M 是 CD 的中点 点 P 在 DC 的延长 线上 PE 是 O 的切线 E 是切点 AE 与 CD 相交于 点 F 求证 PFPCPD 2 5 已知 如图 AB 是 O 的直径 C 为 O 上一 点 D 是的中点 CD 交 AB 于 E 求证 1 ADCDDE 2 2 若ACBC 63 求 BD 的长 答案答案 一 1 A2 B3 A4 A5 B 6 D7 D8 B9 B10 B 二 1 1 直接利用切线的判定定理即可 2 连结 BF BD 证明 DFE DFB 2 连结 AD DB 证 ACD BDA AD EB 代换后可证出 3 提示 先由切割线定理证出 再由 B 是中点证得BEDECE 2 AD 2AG 易证四边形 ADEB 是平行四边形 可得结论 ADBDCE 2 4 连结 BE 先证 PF PE 利用等量代换即可 PEPCPD 2 5 1 证明 D 是的中点 1 2 2 3 1 3 在 ADE 和 CDA 中 1 3 ADE ADC ADE CDA AD CD DE AD ADCDDE 即 2 2 解 连结 BD AB 是直径 ADB ACB 90 ABACBC 222 6393 AD BD ABD 是等腰直角三角形 2 22 BDAB BDAB 2 2 2 2 3 3 2 2 综合练习二综合练习二 1 已知 ABC 中 ACB 90 D 为 BC 上 一点 以 DC 为直径作半圆 交 AB 于 M N 两点 且 M N 把 AB 三等分 连结 MC NC ND 如果 BND 的面积是 14 21 求 MC NC 的长 2 如图已知 PA 为 O 的切线 A 为切点 PBC 是过点 O 的割线 PA 10 PB 5 BAC 的 平分线与 BC 和 O 分别相交于点 D 和 E 求 1 O 的半径 2 的值sin BAP 3 AD AE 的值 3 已知 在圆的内接四边形 ABCD 中 A 90 AB CD 的延长线相交于 P 且 AB 4 BC 1 求 D AD 2 3 4 已知 AB 是 O 的直径 BC 切 O 于 B OC AD AD 交 O 于 D 1 求证 DC 是 O 的切线 2 若 O 的半径为 5cm 且 BC AB 求 EA 的长 5 已知 AB 是 O 的弦 CD 是直径 且 CD AB E 是 CD 的延长线上的一点 BE 交 O 于 F AF 交 CD 于 G 求证 EG OG FG AG 6 已知 如图 D 为 O 上一点 弦 AB 与过 D 点的切线 DM 平行 过点 DA 过点 B 作 BC AD 交 O 于点 C 连结 AC 并延长 交 DM 于 P 点 求证 ABPCBC 2 7 已知 以矩形 ABCD 的 AB 为直径画半圆 且 使半圆与 CD 边相切于 M 连结 DB 交关圆于 P 若 AB 长为 10 厘米 求 P 点到 AB 的距离 PN 的长 8 已知 如图 O1与 O2内切于点 A ABC 内 接于 O AB AC 分别交于 O1于点 E 和 F BD 切 O1于点 D FD 是 O1的直径 延长 FE 交 BD 于点 H 1 求证 EF BC 2 若 DBC 60 DH HB 4 5 求 的值 AE AB 答案答案 1 解 设AMMNNBx AC 是 O 切线 ACAMAN 2 ACxACB 290 得BCABACBCx 222 7 由割线定理得 BD BC BN BM 由 BDxCDx S S DB BC SS SS ACBCxx DNB CNB CNBDNB ABCCNB 2 7 7 5 7 7 2 7 7 2 7 2 14 21 14 6 33 14 6 17 2 1 2 1 2 27 17 2 解得 舍去 xx 12 11 设 ACMMNCAA ACMANC NC CM AN AC DNBMCBBB BDNBMC DN MC BD BM CMyCNyDNy CD 2 7 7 2 7 7 5 7 7 在 Rt CND 中 CNDNCDyy 22222 2 1 7 25 7 即 解得 舍去 yy CMCN 12 15 3 15 3 15 3 30 3 2 解 1 由切割线定理得 PAPBPCBC 22 105 5 BC 15 O 半径为 15 2 可证 PBA PAC 得则 AB CA AP CP AP CP 10 515 1 2 设 在 Rt CBA 中 AB CA 1 2 ABxACx 2 由勾股定理得 BCx 5 sin ACB AB BC x x5 5 5 BAPACBBAPsin 5 5 3 连结 CE 可证 ACE ADB 即 AE AB AC AD ADAEABAC 由 2 可知 AB BC BC 5 5 15 ABACAB ADAE 5 5 153 526 15 3 56 590 3 解 设BPx ABC DP90 得 AP AD CP BC xx 即 4 2 3 1 1 2 化简得 118280 2 xx 解得 xx 2 14 11 舍去 由此 得BPAPABBP 26 tgD AP AD 6 2 3 3 D 60 4 1 证明 连结 OD 则 AO DO OAD ODA OC AD BOC COD BOCOAD CODODA 可证 BOC DOC BC 是 QO 的切线 ODC OBC 90 DC OD DC 是 O 的切线 2 解 设 EA xcm x 0 由已知可知 CD CB AB 1