2014届高一数学课时教案：1.1《任意角和弧度制》（新人教A版必修4）

1 11 1 任意角和弧度制任意角和弧度制 教学目标教学目标 1 理解任意角的概念 2 学会建立直角坐标系讨论任意角 判断象限角 掌握终边相同角的集合的书写 3 了解弧度制 能进行弧度与角度的换算 4 认识弧长公式 能进行简单应用 对弧长公式只要求了解 会进行简单应用 不必在应用 方面加深 5 了解角的集合与实数集建立了一一对应关系 培养学生学会用函数的观点分析 解决问 题 导入新课导入新课 复习初中学习过的知识 角的度量 圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系 提出问题 1 初中所学角的概念 2 实际生活中出现一系列关于角的问题 3 初中的角是如何度量的 度量单位是什么 4 1 的角是如何定义的 弧长公式是什么 5 角的范围是什么 如何分类的 新授课阶段新授课阶段 一 角的定义与范围的扩大一 角的定义与范围的扩大 1 角的定义 一条射线绕着它的端点 从起始位置旋转到终止位置 形成OOAOB 一个角 点是角的顶点 射线分别是角的终边 始边 O OA OB 说明 在不引起混淆的前提下 角 或 可以简记为 2 角的分类 正角 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角 负角 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角 零角 如果一条射线没有做任何旋转 我们称它为零角 说明 零角的始边和终边重合 3 象限角 在直角坐标系中 使角的顶点与坐标原点重合 角的始边与轴的非负轴重合 则x 1 象限角 若角的终边 端点除外 在第几象限 我们就说这个角是第几象限角 例如 都是第一象限角 是第四象限角 30 390 330 300 60 2 非象限角 也称象限间角 轴线角 如角的终边在坐标轴上 就认为这个角不 属于任何象限 例如 等等 90 180 270 说明 角的始边 与轴的非负半轴重合 不能说成是 与轴的正半轴重合 因xx 为 轴的正半轴不包括原点 就不完全包括角的始边 角的始边是以角的顶点为其端点x 的射线 4 终边相同的角的集合 由特殊角看出 所有与角终边相同的角 连同30 30 角自身在内 都可以写成的形式 反之 所有形如30 30360k kZ 的角都与角的终边相同 从而得出一般规律 30360k kZ 30 所有与角终边相同的角 连同角在内 可构成一个集合 360 SkkZ 即 任一与角终边相同的角 都可以表示成角与整数个周角的和 说明 终边相同的角不一定相等 相等的角终边一定相同 例 1 在与范围内 找出与下列各角终边相同的角 并判断它们是第几象限角 0 360 1 2 3 120 640 95012 解 1 120240360 所以 与角终边相同的角是 它是第三象限角 120 240 2 640280360 所以 与角终边相同的角是角 它是第四象限角 640 280 3 95012129 483 360 所以 角终边相同的角是角 它是第二象限角 95012 129 48 例 2 若 试判断角所在象限 3601575 kkZ 解 3601575 5 360225 kk 5 kZ 与终边相同 所以 在第三象限 225 例 3写出下列各边相同的角的集合 并把中适合不等式的元素SS360720 写出来 1 2 3 60 21 36314 解 1 60360 SkkZ 中适合的元素是S360720 601 360300 600 36060 601 360420 2 21360 SkkZ S 中适合的元素是360720 210 36021 211 360339 212 260699 3 36314360 SkkZ S中适合的元素是360720 363142 360356 46 363141 360314 363140 36036314 例 4 写出第一象限角的集合 M 分析 1 在内第一象限角可表示为 360 090 2 与终边相同的角分别为 0 90 0360 90360 kkkZ 3 第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合 我们表示为 36090360 MkkkZ 学生讨论 归纳出第二 三 四象限角的集合的表示法 90360180360 PkkkZ 90360180360 NkkkZ 270360360360 QkkkZ 说明 区间角的集合的表示不唯一 例 5 写出所夹区域内的角的集合 0 yx x 解 当终边落在上时 角的集合为 0 yx x 45360 kkZ 当终边落在上时 角的集合为 0 yx x 45360 kkZ 所以 按逆时针方向旋转有集合 4536045360 SkkkZ 二 弧度制与弧长公式二 弧度制与弧长公式 1 角度制与弧度制的换算 360 2 rad 180 rad 1 0 01745 180 radrad 180 157 3057 18 rad 2 弧长公式 rl 由公式 比公式简单 r l rl 180 rn l 弧长等于弧所对的圆心角 的弧度数 的绝对值与半径的积 3 扇形面积公式 其中 是扇形弧长 是圆的半径 lRS 2 1 l R 注意几点 1 今后在具体运算时 弧度 二字和单位符号 rad 可以省略 如 3 表示 3rad sin 表示 rad 角的正弦 o R S l 2 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住 角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 弧度 角度 210 225 240 270 300 315 330 360 弧度 3 应确立如下的概念 角的概念推广之后 无论用角度制还是弧度制都能在角的集合 与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 任意角的集合 实数集 R 例 6 把下列各角从度化为弧度 1 2 0 11 15 3 0 30 4 3067 252 解 1 2 3 4 5 7 0625 0 6 1 375 0 变式练习 把下列各角从度化为弧度 1 22 30 2 210 3 1200 解 1 2 3 8 1 6 7 3 20 例 7 把下列各角从弧度化为度 1 3 5 2 3 5 3 2 4 4 解 1 108 2 200 5 3 114 6 4 45 变式练习 把下列各角从弧度化为度 1 12 2 3 4 3 10 3 解 1 15 2 240 3 54 例 8 知扇形的周长为 8cm 圆心角 为 2rad 求该扇形的面积 解 因为 2R 2R 8 所以 R 2 S 4 正角 零角 负角 正实数 零 负实数 课堂小结课堂小结 1 弧度制的定义 2 弧度制与角度制的转换与区别 3 牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 并灵活运用 4 象限角与相衔接集奥的写法 终边相同的角的写法 作业作业 习题习题 A A 组组 1 1 3 3 5 5 见见 同步练习同步练习 拓展提升拓展提升 1 若时针走过 2 小时 40 分 则分针走过的角是多少 2 下列命题正确的是 A 终边相同的角一定相等 B 第一象限的角都是锐角 C 锐角都是第一象限的角 D 小于的角都是锐角 0 90 3 若 a 是第一象限的角 则是第 象限角 2 a 4 一角为 其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为 5 集合 M k k Z 中 各角的终边都在 o 90 A 轴正半轴上 B 轴正半轴上 C 轴或 轴上 D 轴正半轴或 轴正半轴上 6 设 第一象限的角 锐角 的角 小于 G F90 o E 那么有 A B C D 7 设 C k180o 45o k Z 则相等的角集合为 8 在ABC 中 若 3 5 7ABC 求A B C弧度数 9 直径为 20cm 的滑轮 每秒钟旋转45 则滑轮上一点经过 5 秒钟转过的弧长是多少 10 选做题 如图 扇形OAB的面积是 2 4cm 它的周长是8cm 求扇形的中心角及弦AB的 长 11 在 间 找出与下列各角终边相同的角 并判定它们是第几象限角 1 2 3 参考答案 1 解 2 小时 40 分 小时 故分针走过的角