37. 四边形专项训练（四）

第四章第四章 四边形专项训练 四 四边形专项训练 四 例题精选例题精选 例例 1 已知 如图 7中 AB AC M 为 BC 中点 ABCMG ABG 于 GF DE 交于 H MD ACD 于 DE ABEGF ACF 于 于 求证 四边形 HGMD 是菱形 分析 分析 由已知易证四边形 HGMD 是平行四边形 注意到是等腰三角形 M 是底边中点故可以用 ABC 等腰三角形的性质证明 MG MD 一组邻边相等 证明 证明 MG ABDE AB 垂直于同一直线的两直线平行 MGDE 同理可证 MDGF 四边形是平行四边形 两组对边分HGMD 别平行的四边形是平行四边形 AB AC M 为 BC 中点 M 在的平分线上 三线合一 A MG ABMD AC 角平分线上一点到角的两边的距离相等 MGMD 是菱形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 HGMD 例例 2 已知 如图 8 BC 2AB M N 分别为 AD BC 的中点 ABCD 求证 B60MN AC 分析 分析 菱形的性质 对角线互相垂直 故只 需证明以 AC MN 为对角线的四边形是菱形即可 证明 证明 连结 AN CM M N 为 AD BC 中点ABCD AMNC 四边形 ANCM 是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形 又 BC 2AB AB BN B60 是等边三角形 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 ABN60 AN BN NC 是菱形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ANCM 菱形的对角线互相垂直 AC MN 例例 3 已知 如图 9 矩形 ABCD 的四个内角 的平分线组成四边形 EFGH 求证 四边形 EFGH 是正方形 证明 证明 矩形四个角 DABABC90 都是直角 角平分线定义 12 1 2 45DAB 34 1 2 45ABC HEFAEB90 同理可证 HF90 四边形 EFGH 是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 又 24 ADBC Rt ADFRt BCH AFBH 又 EAEB AFEABHEB EHEF即 矩形 EFGH 是正方形 有一组邻边相等的矩形是正方形 例例 4 已知 如图 10 正方形 ABCD E 是 BC 中点 F 是 DC 上的点 且 CFCD 1 4 求证 EF AE 分析 分析 因为正方形的各边都相等 四个角都是直角 可以采用计算的方法进行证明 这需要运用 勾股定理 及 勾股定理逆定理 证明 证明 连结 AF 正方形 ABCD 正方形各边都相等 四个角都是直角 设 CF a 则 BE EC 2a DF 3a AB AD 4a 在中 根据勾股定理Rt ABE AE2 AB2 BE2 4a 2 2a 2 20a2 同理 在Rt ECFEFECFCa 中 2222 5 在Rt AFDAFADDFa 中 2222 25 AEEFa AEEFAF 222 222 25 根据勾股定理逆定理 是直角三角形 是直角 AEF AEF EF AE 例例 5 已知 如图 11 正方形 ABCD 对角线 AC BD 相交于点 O E 是 OB 上一点 于 G 交 OC 于 FDG CE 求证 OE OF 证明一 证明一 正方形 ABCD 正方形对角线相等且互相AC BDODOC 垂直平分 又 OECECO OECODG 90 90 同角的余角相等 ECOODG OECOFDAAS OE OF 小结 小结 注意到 OB OC 如果 BE CF 则有 OE OF 因此也可以证明 试与证法一比较各自涉及到了正方形的哪些性质 BECCFD 此外 如图 12 能否通过证明 OEFOFEOEOF得 OBCOCB 故只需证 EF BC 证明如下 45 证明二 证明二 连结 EF 并延长交 CD 于 H 在 DECDG ECCO DEDGCOF中 且 交于 由三角形的三条高线交于一点 EH CD EFBC OEFOBCOFEOCB OBCOCB 又 45 OEFOFE45 等角对等边 OEOF 例例 6 简答题 1 中心对称和轴对称有何区别 2 中心对称和中心对称图形有何区别与联系 答 答 1 对称 不同 中心对称有一个对称中心 点 即中心对称 关于点对称 而轴对称有一个对称轴 直线 即轴对称关于直线对称 转法 不同 中心对称是图形绕中心旋转 而轴对称是沿轴对180 折 都重合 中心对称旋转后 与另一图形重合 而轴对称翻折后 与另 一图形也重合 2 区别 中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系 这两个图形 关于一点对称 其中一个图形上的所有点关于对称中心的对称点都在另一个图 形上 而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称 中心对称图形上所有点 关于对称中心的对称点都在这个图形本身上 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体 一个图形 那么这个 图形就是中心对称图形 一个中心对称图形 如果把对称的部分看成是两个图 形 那么它们又是关于中心对称 专项训练专项训练 菱形的判定菱形的判定 1 已知 如图 13 矩形 ABCD 对角线 AC BD 交于 O 作 DE AC CE BD DE CE 交于 E 求证 四边形 OCED 是菱形 2 已知 如图 14 边中点 ABCBCADAB中 是 90CEAB CE BE 交于 E BECD 求证 四边形 CDBE 是菱形 3 已知 如图 15 四边形 ABCD DEBF 都是矩形 AB BF AD BE 交 于 M BC DF 交于 N 求证 四边形 BMDN 是菱形 4 已知 如图 16 在 BD 是角平分线 ABCACB中 90 于 E 交 BD 于 G 于 F 连结 FGCE AB DF AB 求证 四边形 DCGF 是菱形 正方形正方形 一 填空 一 填空 1 对角线 的四边形是正方形 对角线 的平行四 边形是正方形 对角线 的矩形是正方形 对角线 的菱形是正方形 2 如图 17 在正方形 ABCD 的对角线 BD 上取 BE AB 过 E 作 BD 的垂 线与 CD 交于点 F 且 则 ED CF 5 2 3 如图 18 正方形 ABCD 以 BC 为边在内部作等边三角形 BEC 连结 AE DE 则 DAE 4 如图 19 在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上取一点 E 使 CE AC AE 与 CD 交于 F 则 AFC 二 已知 如图 20 ABCACBCDACBABD DE BC中 平分交于 90 于 E 于 FDF AC 求证 四边形 DECF 是正方形 三 已知 如图 21 四边形 ACDE BAFG 是以的边 AC AB 为边向 ABC 外所作的正方形 求证 1 EB FC 2 FC EB 四 已知 如图 22 正方形 ABCD 延长 BC 到 E 在 CD 上截取 CF CE 延长 BF 交 DE 于 G 求证 BG DE 中心对称和中心对称图形中心对称和中心对称图形 一 选择 一 选择 1 下列图形中 是中心对称图形 但不是轴对称图形的是 A 等边三角形B 平行四边形 C 矩形D 菱形 2 下列图形中 既是轴对称图形 又是中心对称图形的是 A 等边三角形B 等腰直角三角形 C 菱形D 平行四边形 3 下列图形中 是轴对称图形但不是中心对称图形的是 A 平行四边形B 线段 C 角D 正方形 二 如图 23 四边形 ABCD 和点 P 求作四边 形 A B C D 使四边形 A B C D 和四