02. 一元二次方程专项训练(二)

第十二章第十二章 一元二次方程专项训练一元二次方程专项训练 二二 例题精选例题精选 例 1 不解方程 判断以下各方程根的情况 1 2201 2 xx 2 310 2 xx 3 xx 34 30 2 分析 此例给出的方程都是一元二次方程 要判断其根的情况 首先应 将所给方程化成为标准形式 然后不必求出方程的根 也不必求出 的具体数值 只要能判定 值的符号就可以了 bac 2 4 解 1 移项 原方程化为 22010 2 xx bac 22 4204210 原方程有两个不相等的实数根 2 bac 22 414310 原方程无实数根 3 原方程可化为 xx 2 2 330 bac 22 42 34130 原方程有两个相等的实数根 例 2 不解方程 判断下列关于 x 的方程根的情况 1 mxmx 22 2210 2 xpxp 2 310 分析 此例与例 1 的不同之处在于这是含参数关于的一元二次方程 解题x 过程除按例 1 所述方法外 还应注意二次项系数a 0这个隐含条件 解 1 m220 原方程是一元二次方程 原方程无实数根 bacmm 222 4242180 2 bac 2 4 pp pp 3411 25 2 2 配方 p140 2 原方程有两个不相等的实根 说明 要判断含字母的二次式的正 负等情况时 配方是一种有效的方法 如例 2 的 2 例 3 已知关于的方程x axaxa 2210 2 有两个不相等的实根 求a的取值范围 分析 这是一个关于的含参数的一元二次方程 根据已知条件 可列出关x 于参数 a 的不等式 但必须要注意题目的隐含条件a 20 解 bac 2 4 2142 121 2 aaa a 又原方程有两个不相等的实根 有 且 a a aa 20 1210 1 12 2 即 当原方程有两个不相等的实根 aa 1 12 2且时 例 4 已知为实数 求证关于 x 的方程k 2410 22 xkxkk 有两个不相等的实数根 证明 bac 2 4 4142 418 2410 22 22 2 kkk kkk k 方程有两个不相等的实根 例 5 关于的一元二次方程若有一个根为 2 xxtx 2 20 求 求另一个根和t 的值 分析 此例已知方程的一个根 可利用这个根 先确定 t 的值 再求另一个 根 也可利用根与系数的关系来求 t 的值及另一个根 解法一 x 2是方程的根 把代入方程得 把代入方程得 xt t txx 22220 3 3320 2 2 一元二次方程为 其根 所以方程的另一个根为 且 xx xx t 2 12 320 21 13 解法二 设方程的另一个根是 由根与系数的关系 x1 2 22 1 1 xt x xt 1 13 例 6 求作一个一元二次方程 使它的两个根分别是方程两根的5610 2 xx 相反数 解 设所求的方程为 xpxqxxx x 22 12 05610 且方程的两根为 由根与系数关系有 xx xx 12 12 6 5 1 5 pxxxx p 1212 6 5 6 5 qxxxx 1212 1 5 所求方程为xx 2 6 5 1 5 0 即 5610 2 xx 例 7 已知一个一元二次方程的两根差为 4 且两根积为 3 求此一元二次方 程 分析 由已知得方程两根之积为 3 那么确定方程的关键是确定两根之和 设所求方程为其根为由于xpxq 2 0 x x 12 xxxx 11 2 12 2 4 12 x x 所以可求出xx 12 的值 进而得方程 注意此题有两解 解 设所求一元二次方程为xpxqx xxx 2 1212 0 其两根为 由题意 xxxx 1212 43 xxxxx xxx 12 2 12 2 1212 442 由根与系数关系 pxx q 12 2 3 p q xx 2 3 230 2 所求一元二次方程为 或xx 2 230 前面 我们只是应用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系解决了一 些简单的问题 实际上 在确定方程参数 以及许多综合问题中 它们也起着 关键性的作用 例 8 关于有两个实数根 且这两个根的平方xxmxm的方程 22 2240 和比两根的积大 21 求m的值 分析 先要求出方程有实根的范围 这是前提条件 也是隐含条件 必须 注意到 在列出表示 两根的平方和比两根之积大 21 的一个等式 解出 m 的 值 然后在方程有实根的条件下 归纳出 m 的允许取值 解 方程有两个实数根 224140 0 22 mm m得 设方程的两个根为xmxmx x 22 12 2240 由根与系数的关系 得 xxmxxm 1212 2 224 根据题意 得 xxxx 1 2 2 2 12 21 即 xxx x 12 2 12 321 223421 22 mm 解这个方程 得mm 12 171 m m m 0 17 1 不合题意 舍去 专项训练专项训练 一 填空 本题共 8 个小题 每小题 3 分 共 24 分 1 一元二次方程是否有实数根 由式子axbxca 2 00 的值决定 当时 有实数根 当 时 没有实数 根 2 关于 x 的一元二次方程 0 有相等的实数根时 a 3 3 2 2 xax 3 关于有不相等的实数根时 k的取值范围是xxkx的方程 2 40 4 关于没有实数根时 m的取值范围是xxmxm m的方程22 231 2 5 设 是方程的两个实数根 那么320 2 xx 6 关于 x 的方程的两个实根互为相反数 则b xbx 2 30 这两个实根是和 7 关于 x 的方程的两个实根互为倒数 则 xx 2 30 这两个实根是和 8 若关于 x 的方程的一个根是 2 则m 230 2 xxm 另一个根是 二 解答下列各题 本题 5 小题 每题 8 分 共 40 分 1 关于有相等的实数根时 求k的值 xkxkxk的方程 2 210 2 关于 yyyyyyy的方程的两个实根为 和求的值2530 2 121 3 2 3 3 关于有两个不相等的实根 求p的取xpxpxp的方程 2 2110 值范围 4 不解方程 求作一个新方程 使新方程的根分别为方程 的两个根的倒数 6320 2 xx 5 已知关于 x 的方程的两个实数根为 求式子pxqxrp 2 00 和 11的值 三 证明下列各题 本题共 2 题 每题 7 分 共 14 分 1 关于必有实根 xmxmn xn的方程 2 220 2 关于必有相异的实根 xxaxab的方程 1 四 本题 20 分 已知关于 x 的方程的两个实根的平方和是7 1 4 求 m 的2210 2 xmxm 值 答案答案 一 填空 1 2 bac 2 400 a 3 2 3 4 5 kk 44或m 1 3 1 3 2 3 6 b 0 两实根是7 33和 1 35 2 35 2 两根是和 8 m 2 另一根是 1 2 二 解答下列各题 1 k 1 4 2 yyyy 1212 5 2 3 2 yyyyyy yyyyyyy y yy 1 3 2 3 121 2 122 2 1212 2 12 1 3 2 3 2 3 5 2 5 2 3 3 2 215 8 3 提示 由 810 1 8 pp得 但由于方程为一元二次方程 p0 ppp的取值范围为 或 1