上海市格致中学2012届高三数学第三轮复习 第1部分 集合与函数题型整理分析

用心 爱心 专心1 第一部分第一部分 集合与函数集合与函数 1 1 在集合运算中一定要分清代表元的含义 在集合运算中一定要分清代表元的含义 举例举例 1 1 已知集 求 2 2 RxyyQRxxyyP x QP 分析分析 集合 P Q 分别表示函数与在定义域 R 上的值域 所以 2 xy x y2 0 P 0 Q 0 QP 举例举例 2 2 函数 其中 P M 是实数集 R 的两个非空子集 又规定 Mxx Pxx xf 给出下列四个判断 F Py yf x xPF My yf x xM 1 若 则 2 若 则 MP F PF M MP F PF M 3 若则 4 若则 RMP F PF MR RMP F PF MR 其中正确的判断有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 分析分析 这是一道比较难的题 涉及到函数的概念 集合的意义 是函数 F P 的值域 是函数的值域 取 Pxxy F M Mxxy 0 P 可知 1 3 不正确 由函数的定义可知 函数定义域内的任意一个值只 0 M 能与一个函数值对应 所以若 只能是 此时 MP 0 MP 2 正确 对于命题 4 设则且 若 0 F PF M aPM aP aM 显然有且 所以有 若 由0a 0 F P 0 F M F PF MR 0a 则 由 则 若有 则 所以aP aF P aM aF M aF M aM 则 所以 则 同理可证 aP aF P aF PF M F PF MR 若 则有 4 也正确 选 B aF P aF PF M 2 2 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 举例举例 若且 求的取值范围 2 2 xxBaxxA BA a 用心 爱心 专心2 分析分析 集合 A 有可能是空集 当时 此时成立 当时 0 a A BA 0 a 若 则 有 综上知 aaA BA 2 a40 a4 a 注意 在集合运算时要注意学会转化等 BAABA 3 3 充要条件的判定可利用集合包含思想判定 若 充要条件的判定可利用集合包含思想判定 若 则 则A A 是是B B 的充分条件 的充分条件 BA x x 若若 则 则A A 是是B B 的必要条件 若的必要条件 若且且即即 则 则A A 是是B BBA x xBA BA BA x x 的充要条件的充要条件 有时利用有时利用 原命题原命题 与与 逆否命题逆否命题 等价 等价 逆命题逆命题 与与 否命题否命题 等价转换等价转换 去判定也很方便去判定也很方便 充要条件的问题要十分细心地去辨析 充要条件的问题要十分细心地去辨析 哪个命题哪个命题 是是 哪个命题哪个命题 的充分 必要 的充分 必要 条件 注意区分 条件 注意区分 甲是乙的充分条件 甲甲是乙的充分条件 甲乙 乙 与与 甲的充分条件是乙 乙甲的充分条件是乙 乙甲 甲 是两种不同形式的问题 是两种不同形式的问题 举例 举例 设有集合 则点的 2 2 22 xyyxNyxyxMMP 条件是点 点是点的 条件 NP MP NP 分析分析 集合 M 是圆外的所有点的集合 N 是直线上方的点的集合 显2 22 yx2 xy 然有 充分不必要 必要不充分 MN 4 4 掌握命题的四种不同表达形式 会进行命题之间的转化 会正确找出命题的条件与结论 掌握命题的四种不同表达形式 会进行命题之间的转化 会正确找出命题的条件与结论 能能 根据条件与结论判断出命题的真假根据条件与结论判断出命题的真假 举例 举例 命题 若两个实数的积是有理数 则此两实数都是有理数 的否命题是 它是 填真或假 命题 5 5 若函数 若函数的图像关于直线的图像关于直线对称 则有对称 则有或或 xfy ax xafxaf 等 反之亦然等 反之亦然 注意 两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自注意 两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自 2 xfxaf 身的对称问题身的对称问题 函数函数的图像关于直线的图像关于直线的对称曲线是函数的对称曲线是函数的图的图 xfy ax 2 xafy 像 函数像 函数的图像关于点的图像关于点的对称曲线是函数的对称曲线是函数的图像的图像 xfy ba 2 2xafby 举例举例 1 1 若函数是偶函数 则的图像关于 对称 1 xfy xfy 分析分析 由是偶函数 则有 即 1 xfy 1 1 xfxf 1 1 xfxf 所以函数的图像关于直线对称 或函数的图像是由函数 xfy 1 x 1 xfy 用心 爱心 专心3 的图像向右平移一个单位而得到的 的图像关于轴对称 故函数 xfy 1 xfyy 的图像关于直线对称 xfy 1 x 举例举例 2 2 若函数满足对于任意的有 且当时 xfy Rx 2 2 xfxf 2 x 则当时 xxxf 2 2 x xf 分析分析 由知 函数的图像关于直线对称 因而有 2 2 xfxf xfy 2 x 成立 则 所以 4 xfxf 2 x24 x 4 4 4 2 xxxfxf 即时 2 x209 2 xxxf 6 6 若函数 若函数满足 满足 则则是以是以为周期的函数为周期的函数 注注 xfy 0 aaxfaxf xfa2 意 不要和对称性相混淆意 不要和对称性相混淆 若函数若函数满足 满足 则则是以是以 xfy 0 axfaxf xf 为周期的函数为周期的函数 注意 若函数 注意 若函数满足满足 则 则也是周期函数 也是周期函数 a2 xf 1 xf axf xf 举例 举例 已知函数满足 对于任意的有成立 且当 xfy Rx 1 xfxf 时 则 2 0 x12 xxf 2006 3 2 1 ffff 分析分析 由知 所以函数 1 xfxf 1 1 1 2 xfxfxfxf 是以 2 为周期的周期函数 xfy 1 0 2 2004 2006 ffff 故意原式值为 0 1 1 3 2003 2005 ffff 7 7 奇函数对定义域内的任意 奇函数对定义域内的任意满足满足 偶函数对定义域内的任意 偶函数对定义域内的任意满足满足x0 xfxfx 注意 使用函数奇偶性的定义解题时 得到的是关于变量注意 使用函数奇偶性的定义解题时 得到的是关于变量的恒等式的恒等式0 xfxfx 而不是方程而不是方程 奇函数的图像关于原点对称奇函数的图像关于原点对称 偶函数图像关于偶函数图像关于 y y 轴对称 若函数轴对称 若函数是奇是奇 xfy 函数或偶函数 则此函数的定义域必关于原点对称 反之 若一函数的定义域不关于原点函数或偶函数 则此函数的定义域必关于原点对称 反之 若一函数的定义域不关于原点 对称 则该函数既非奇函数也非偶函数对称 则该函数既非奇函数也非偶函数 若若是奇函数且是奇函数且存在 则存在 则 xfy 0 f0 0 f 反之不然反之不然 举例 举例 1 1 若函数是奇函数 则实数 axf x 12 1 a 用心 爱心 专心4 分析 分析 注意到有意义 必有 代入得 这种特值法在解填空 选择题 0 f0 0 f 2 1 a 时若能灵活运用 则事半功倍 举例举例 2 2 若函数是定义在区间上的偶函数 则此3 2 2 xbaxxf 2 12 aa 函数的值域是 分析 分析 函数是偶函数 必有 得 又由是偶函数 0 2 12 aa1 a yf x 因而 即 所以此函数的值域为 2 b 3 3 3 2 xxxf 3 6 8 8 奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致 偶函数在关于原点对称的区间内增减性相 奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致 偶函数在关于原点对称的区间内增减性相 反反 若函数若函数的图像关于直线的图像关于直线对称 则它在对称轴的两侧的增减性相反 此对称 则它在对称轴的两侧的增减性相反 此 xfy ax 时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近 解解 抽象不等式 即函数不等式 抽象不等式 即函数不等式 多用函数多用函数 的单调性 但必须注意定义域的单调性 但必须注意定义域 举例 举例 若函数是定义在区间上的偶函数 且在上单调递增 若实 xfy 3 3 0 3 数满足 求的取值范围 a 12 2 afaf a 分析 分析 因为是偶函数 等价于不等式 xfy 12 2 afaf 12 2 afaf 又此函数在上递增 则在递减 所以 解得 0 3 3 0 2 12 3aa 211 a 9 9 要掌握函数图像几种变换 对称变换 翻折变换 平移变换 要掌握函数图像几种变换 对称变换 翻折变换 平移变换 会根据函数会根据函数的图的图 xfy 像 作出函数像 作出函数的图像的图像 注 注axfyaxfyxfyxfyxfy 意 图像变换的本质在于变量对应关系的变换 要特别关注意 图像变换的本质在于变量对应关系的变换 要特别关注的图的图 xfyxfy 像像 举例 举例 函数的单调递增区间为 1 12 log 2 xxf 分析 分析 函数的图像是由函数的图像经过下列变换得 1 12 log 2 xxfxy 2 log 到的 先将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的 或将函数xy 2 log 2 1 的图像向上平移 1 个单位 得到函数的图像 再将函数xy 2 log xy2log2 的图像作关于轴对称得到函数的图像 再将函数xy2log2 y 2 log2xy 的图像向右平移个单位 得到函数的图像 再将函数 2 log2xy 2 1 12 log2 xy 用心 爱心 专心5 的图像向下平移 1 个单位得到函数 最后将函数 12 log2 xy1 12 log2 xy 的图像在轴下方部分翻折到轴上方得到函数1 12 log2 xyxx 的图像 注意在变化过程中函数图像与坐标轴的交点的变化 尤 1 12 log 2 xxf 其是与轴的交点不要搞错 从图像上可以看出此函数的单调递增区间是与x 1 2 1 2 3 需要注意的是 函数图像变化过程 与变化过 axfyxfyxfy 程 不同 前者是先作关于轴对称后平移 axfyaxfyxfy y 而后者是先平移后再作关于直线对称 ax 1010 研究方程根的个数 超越方程 不等式 的解 特别是含有参量的 二次方程根的 研究方程根的个数 超越方程 不等式 的解 特别是含有参量的 二次方程根的 分布 二次函数的值域 三角函数的性质 包括值域 含有绝对值的函数及分段函数的分布 二次函数的值域 三角函数的性质 包括值域 含有绝对值的函数及分段函数的 性质 包括值域 等问题常利用函数图像来解决性质 包括值域 等问题常利用函数图像来解决 但必须注意的是作出的图形要尽可能准确 但必须注意的是作出的图形要尽可能准确 即找准特殊的点 函数图像与坐标轴的交点 拐点 极值点等 递增递减的区间 最值即找准特殊的点 函数图像与坐标轴的交点 拐点 极值点等 递增递减的区间 最值 等等 举例 举例 1 1 已知函数 若不等式的解集不为空1 12 axxgxxf xgxf 集 则实数的取值范围是 a 分析 分析 不等式的解集不为空集 亦即函数的图像上有点在函数 xgxf xfy 的图像的上方 xgy 函数的图像是轴上方的半12 xxfx 支抛物线 函数的图像是过点1 axxg 斜率为的直线 当时直线与抛物线相切 由图像知 注意 1 0 a21a 12 a 图中的虚线也满足题义 举例举例 2 2 若曲线与直线没有公共点 则应当满足的条件是 1 2 xybkxy bk 分析 分析 曲线是由与组成 它们与轴的1 2 xy 0 1 2 xxy 0 1 2 xxyy 交点为和 图像如图 实线部分 可以看出 1 0 1 0 若直线曲线的图像没有公共点 此bkxy 1 2 xy x y O 2 1 1 1 l 1 1 x y O 用心 爱心 专心6 直线必与轴平行 所以 x0 k11 b 1111 一条曲线可以作为函数图像的充要条件是 曲线与任何平行于 一条曲线可以作为函数图像的充要条件是 曲线与任何平行于 y y 轴的直线至多只有一轴的直线至多只有一 个交点个交点 一个函数存在反函数的充要条件是 定义域与值域中元素须一个函数存在反函数的充要条件是 定义域与值域中元素须一一对应 反应在图像上对应 反应在图像上 平行于平行于轴的直线与图像至多有一个交点轴的直线与图像至多有一个交点 单调函数必存在反函数吗 是的单调函数必存在反函数吗 是的 并且任何函并且任何函x 数在它的每一个单调区间内总有反函数 数在它的每一个单调区间内总有反函数 还应注意的是 有反函数的函数不一定是单调函还应注意的是 有反函数的函数不一定是单调函 数 你能举例吗 数 你能举例吗 举例 举例 函数 若此函数存在反函数 则实数12 2 axxxf 4 3 1 0 x 的取值范围是 a 分析 分析 由函数存在反函数的充要条件是定义域与值域中的元素一一对应 平行于轴的直x 线与函数的图像至多只有一个交点 又由二次函数图像的对称轴为直12 2 axxxf 线知 或必存在反函数 或必不存在反函数 当ax 0 a4 a10 a43 a 时如何讨论 注意到函数在区间上递减 在上递增 所以只要 3 1 a 1 0 4 3 或即可 亦即或 综上知 实数的取值范围 1 4 ff 0 3 ff 3 2 5 a 2 3 1 aa 是 0 4 3 2 5 2 3 1 1212 求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域 反函数的定义域不能单从反函数的表 求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域 反函数的定义域不能单从反函数的表 达式上求解 而是求原函数的值域达式上求解 而是求原函数的值域 求反函数的表达式的过程就是解 关于求反函数的表达式的过程就是解 关于的 方程的过的 方程的过x 程程 注意 函数的反函数是唯一的 尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定注意 函数的反函数是唯一的 尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定 举例 举例 函数的反函数为 2 22 log 2 2 xxxxf 分析 分析 令 则 因为 22 log 2 2 xxy12 1 222 22 yy xxx2 x 所以 则 又原函数的值域为 所11 x121 y x121 y x 1 以原函数的反函数为 若是从反函数表达式得求 1 121 1 xxf x 012 x 得就不是反函数的定义域 0 x 1313 原函数的定义域是反函数的值域 原函数的值域是反函数的定义域 原函数与反函数 原函数的定义域是反函数的值域 原函数的值域是反函数的定义域 原函数与反函数 的图像关于直线的图像关于直线对称 若函数对称 若函数的定义域为的定义域为 A A 值域为 值域为 C C 则则xy xfy CbAa 有有 需要特别注意一些复合函数需要特别注意一些复合函数aaffbbff 11 1 bfaafb 用心 爱心 专心7 的反函数问题的反函数问题 如如反函数不是反函数不是 2 xfy 2 1 xfy 举例 举例 1 1 已知函数的反函数是 则函数的反函 xfy 1 xfy 43 2 1 xfy 数的表达式是 分析 分析 求函数的反函数是解方程的过程 即用表示然后将互换即得反函数的表达y xyx 式 由可得 所 43 2 1 xfy 4 2 3 1 2 43 2 43 1 y fx y fx y xf 以函数的反函数为 43 2 1 xfy 4 2 3 1 x fy 举例举例 2 2 已知 若 则 02 log 0 2 2 xx x xf x 3 1 af a 分析 分析 由得 所以 3 1 af 3 fa 8 a 1414 判断函数的单调性可用有关单调性的性质 如复合函数的单调性 但证明函数单调 判断函数的单调性可用有关单调性的性质 如复合函数的单调性 但证明函数单调 性只能用定义 不能用关于单调性的任何性质 用定义证明函数单调性的关键步骤往往是性只能用定义 不能用关于单调性的任何性质 用定义证明函数单调性的关键步骤往往是 因式分解因式分解 记住并会证明 函数记住并会证明 函数的单调性的单调性 0 ba x b axy 举例举例 已知函数在上是单调增函数 求实数的取值范 0 1 a x axxf 1 xa 围 分析 分析 函数称为 耐克 函数 由基本不等式知 当时 函数 0 ba x b axy0 x 的最小值是 当时等号成立 时 函数递减 时 ab2 a b x 0 a b x a b x 函数递增 记住此结论在解选择 填空等小题时用起来比较方便 函数 在上递增 则 得 但若是大题推理就不能这 0 1 a x axxf 1 1 1 a 1 a 样描述性的说明 必需要按函数单调性的定义有严格的论证 任设且 由函数是单 1 21 xx 21 xx 1 21 2121 xx axxxfxf xf 调增函数 则 而 则 所以对于0 21 xfxf0 21 xx0 1 21 xx a 21 1 xx a 且恒成立 因 故 1 21 xx 21 xx 1 1 21 xx 1 a 需要说明的是 在考试中若 小题大做 则浪费时间 因为 小题 只要结果 而 大题 小做 则失分 因为 大题 需要严格的论证过程 用心 爱心 专心8 1515 一元二次函数是最基本的初等函数 要熟练掌握一元二次函数的有关性质 一元二次函数是最基本的初等函数 要熟练掌握一元二次函数的有关性质 一元二次函一元二次函 数在闭区间上一定存在最大值与最小值 应会结合二次函数的图像求最值数在闭区间上一定存在最大值与最小值 应会结合二次函数的图像求最值 举例 举例 求函数在区间的最值 12 2 axxxf 3 1 分析 分析 求开口向上的二次函数在闭区间上的最小值要根据二次函数的对称轴与区间的位置 关系分三种情况进行讨论 但求开口向上的二次函数在闭区间上的最大值只要根据区间端 点与对称轴之间的距离分两种情况进行讨论即可 1 22 1 610 max aa aa xf 1 610 31 1 1