2014届高三理科数学一轮复习课时训练：九第4课《椭圆》（北师大版）

椭 圆 A 级 基础演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 椭圆 y2 1 的两个焦点为 F1 F2 过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交 x2 4 一个交点为 P 则 PF2 A B C D 4 7 2 3 23 解析 a2 4 b2 1 所以 a 2 b 1 c 不妨设 F1为左焦点 P 在 x 3 轴上方 则 F1 0 设 P m m 0 则 m2 1 解得 33 3 2 4 m 所以 PF1 根据椭圆定义 PF1 PF2 2a 所以 1 2 1 2 PF2 2a PF1 2 2 1 2 7 2 答案 A 2 2012 江西 椭圆 1 a b 0 的左 右顶点分别是 A B 左 右焦点分 x2 a2 y2 b2 别是 F1 F2 若 AF1 F1F2 F1B 成等比数列 则此椭圆的离心率为 A B C D 2 1 4 5 5 1 25 解析 因为 A B 为左 右顶点 F1 F2为左 右焦点 所以 AF1 a c F1F2 2c F1B a c 又因为 AF1 F1F2 F1B 成等比数列 所以 a c a c 4c2 即 a2 5c2 所以离心率 e 故选 B c a 5 5 答案 B 3 2013 榆林模拟 已知椭圆 x2 my2 1 的离心率 e 则实数 m 的取值 1 2 1 范围是 A B 0 3 4 4 3 C D 0 3 4 4 3 3 4 1 解析 椭圆标准方程为 x2 1 当 m 1 时 e2 1 解得 1 m m 当 0 m 1 时 e2 1 m 解得 0 mb 0 的中心为 O 左焦点为 F A 是椭 x2 a2 y2 b2 圆上的一点 0 且 2 则该椭圆的离心率是 OA AF OA OF 1 2OF A B C 3 D 3 55 解析 因为 0 且 所以 2 所以 OA AF OA AF OA OF OA OA OF OA c 所以 c 且 AOF 45 设椭圆的右焦点 OA OF AF 是 F 在 AOF 中 由余弦定理可得 AF c 由椭圆定义可得 AF AF c c 2a 即 1 c 2a 故离心率 52 e c a 答案 A 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 2013 青岛模拟 设椭圆 1 m 0 n 0 的右焦点与抛物线 y2 8x 的焦 x2 m2 y2 n2 点相同 离心率为 则此椭圆的方程为 1 2 解析 抛物线 y2 8x 的焦点为 2 0 m2 n2 4 e m 4 代 1 2 2 m 入 得 n2 12 椭圆方程为 1 x2 16 y2 12 答案 1 x2 16 y2 12 6 2013 佛山模拟 在等差数列 an 中 a2 a3 11 a2 a3 a4 21 则椭圆 C 1 的离心率为 x2 a6 y2 a5 解析 由题意 得 a4 10 设公差为 d 则 a3 a2 10 d 10 2d 20 3d 11 d 3 a5 a4 d 13 a6 a4 2d 16 a5 e 答案 三 解答题 共 25 分 7 12 分 已知 F1 F2分别是椭圆 1 a b 0 的左 右焦点 A 是椭圆上 x2 a2 y2 b2 位于第一象限内的一点 0 若椭圆的离心率等于 AF2 F1F2 1 求直线 AO 的方程 O 为坐标原点 2 直线 AO 交椭圆于点 B 若三角形 ABF2的面积等于 4 求椭圆的方程 2 解 1 由 0 知 AF2 F1F2 AF2 F1F2 椭圆的离心率等于 c a 可得 b2 a2 1 2 设椭圆方程为 x2 2y2 a2 设 A x0 y0 由 0 知 x0 c AF2 F1F2 A c y0 代入椭圆方程可得 y0 a 1 2 A 故直线 AO 的斜率 k 直线 AO 的方程为 y x 2 连接 AF1 BF1 AF2 BF2 由椭圆的对称性可知 S ABF2 S ABF1 S AF1F2 2c a 4 1 2 1 22 又由 c a 解得 a2 16 b2 16 8 8 故椭圆方程为 1 x2 16 y2 8 8 13 分 设 F1 F2分别为椭圆 C 1 a b 0 的左 右焦点 过 F2的直 x2 a2 y2 b2 线 l 与椭圆 C 相交于 A B 两点 直线 l 的倾斜角为 60 F1到直线 l 的距离 为 2 3 1 求椭圆 C 的焦距 2 如果 2 求椭圆 C 的方程 AF2 F2B 解 1 设椭圆 C 的焦距为 2c 由已知可得 F1到直线 l 的距离c 2 故 33 c 2 所以椭圆 C 的焦距为 4 2 设 A x1 y1 B x2 y2 由 2及 l 的倾斜角为 60 知 AF2 F2B y10 直线 l 的方程为 y x 2 3 由消去 x 整理得 3a2 b2 y2 4b2y 3b4 0 3 解得 y1 y2 因为 2 所以 y1 2y2 AF2 F2B 即 2 解得 a 3 而 a2 b2 4 所以 b2 5 故椭圆 C 的方程为 1 x2 9 y2 5 B 级 能力突破 时间 30 分钟 满分 45 分 一 选择题 每小题 5 分 共 10 分 1 2013 厦门质检 已知 F 是椭圆 C 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 的右焦点 点 P 在椭圆 C 上 线段 PF 与圆 2 y2 相切于点 Q 且 2Q 则椭圆 C b2 9 PQ F 的离心率等于 A B C D 2 3 1 2 解析 记椭圆的左焦点为 F 圆 2 y2 的 b2 9 圆心为 E 连接 PF QE EF OF OE c 2Q c 3 2c 3 PQ F PF QE EF F F 1 3 QF PF 且 PF PF QE PF 1 3 又 QE 圆的半径长 PF b b 3 据椭圆的定义知 PF PF 2a PF 2a b PF PF PF 2 PF 2 F F 2 b2 2a b 2 2c 2 2 a2 c2 b2 2ab 3b2 2ab b c a 2a 3a2 b2 c a 椭圆的离心率为 答案 A 2 2012 山东 已知椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 双曲线 x2 a2 y2 b2 x2 y2 1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点 以这四个交点为顶点的四边形的面 积为 16 则椭圆 C 的方程为 A 1 B 1 x2 8 y2 2 x2 12 y2 6 C 1 D 1 x2 16 y2 4 x2 20 y2 5 解析 因为椭圆的离心率为 所以 e c2 a2 c2 a2 a2 b2 所以 b2 a2 即 a2 4b2 双曲线的 c a 3 4 3 4 1 4 渐近线方程为 y x 代入椭圆方程得 1 即 1 所以 x2 a2 x2 b2 x2 4b2 x2 b2 5x2 4b2 x2 b2 x b y2 b2 y b 则在第一象限双曲线的渐近线与 4 5 4 5 椭圆 C 的交点坐标为 所以四边形的面积为 4 b b b2 16 所以 b2 5 所以椭圆方程为 1 16 5 x2 20 y2 5 答案 D 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 3 2012 泰安一模 F1 F2为双曲线 C 1 a 0 b 0 的焦点 A B 分 x2 a2 y2 b2 别为双曲线的左 右顶点 以 F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限 的交点为 M 且满足 MAB 30 则该双曲线的离心率为 解析 如图 以 F1F2为直径的圆为 x2 y2 c2 双 曲线的渐近线为 y x b a 由得 M a b MAB 为直角三角形 在 Rt MAB 中 tan 30 MB AB b 2a e b a 答案 4 如图 OFB ABF 的面积为 2 则以 OA 为长 63 半轴 OB 为短半轴 F 为一个焦点的椭圆方程为 解析 设标准方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 由题可知 OF c OB b BF a OFB a 2b 6 b c S ABF AF BO a c b 1 2 1 2 2b b b 2 1 233 b2 2 b a 2 椭圆的方程为 1 22 x2 8 y2 2 答案 1 x2 8 y2 2 三 解答题 共 25 分 5 12 分 2012 南京二模 如图 在平面直角 坐标系 xOy 中 椭圆 C 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 的离心率为 以原点为圆心 椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x y 2 0 相切 1 求椭圆 C 的方程 2 已知点 P 0 1 Q 0 2 设 M N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点 直线 PM 与 QN 相交于点 T 求证 点 T 在椭圆 C 上 1 解 由题意知 b 2 因为离心率 e 所以 c a b a 1 2 所以 a 2 2 所以椭圆 C 的方程为 1 x2 8 y2 2 2 证明 由题意可设 M N 的坐标分别为 x0 y0 x0 y0 则直线 PM 的方程为 y x 1 y0 1 x0 直线 QN 的方程为 y x 2 y0 2 x0 法一 联立 解得 x y x0 2y0 3 3y0 4 2y0 3 即 T 由 1 可得 x 8 4y 2 02 0 因为 2 2 1 8 1 2 1 8 2y0 3 2 8 2y0 3 2 所以点 T 的坐标满足椭圆 C 的方程 即点 T 在椭圆 C 上 法二 设 T x y 联立 解得 x0 y0 x 2y 3 3y 4 2y 3 因为 1 所以 2 2 1 1 8 1 2 整理得 2y 3 2 x2 8 3y 4 2 2 所以 12y 8 4y2 12y 9 即 1 x2 8 9y2 2 x2 8 y2 2 所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程 即点 T 在椭圆 C 上 6 13 分 2012 重庆 如图 设椭圆的中心为 原点 O 长轴在 x 轴上 上顶点为 A 左 右焦点分别为 F1 F2 线段 OF1 OF2的 中点分别为 B1 B2 且 AB1B2是面积为 4 的直角三角形 1 求该椭圆的离心率和标准方程 2 过 B1作直线 l 交椭圆于 P Q 两点 使 PB2 QB2 求直线 l 的方程 解 1 如图 设所求椭圆的标准方程为 1 a b 0 右焦点为 F2 c 0 x2 a2 y2 b2 因 AB1B2是直角三角形 又 AB1 AB2 故 B1AB2为直角 因此 OA OB2 得 b c 2 结合 c2 a2 b2得 4b2 a2 b2 故 a2 5b2 c2 4b2 所以离心率 e c a 2 5 5 在 Rt AB1B2中 OA B1B2 故 S AB1B2 B1B2 OA OB2 OA b b2 由题设条件 S AB1B2 4 得 1 2 c 2 b2 4 从而 a2 5b2 20 因此所求椭圆的标准方程为 1 x2 20 y2 4 2 由 1 知 B1 2 0 B2 2 0 由题意知直线 l 的倾斜角不为 0 故可设直线 l 的方程为 x my 2 代入椭圆方程得 m2 5 y2 4my 16 0 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 y1 y2是上面方程的两根