上海市2012年高考数学压轴卷试题 理

1 绝密 启用前 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 上海上海 理科数学试卷理科数学试卷 考生注意 1 本考试设试卷和答题纸两部分 试卷包括试题与答题要求 所有答题必须涂 选择题 或写 非选择题 在答题纸上 做在试卷上一律不得分 2 答题前 务必在答题纸上填写准考证号和姓名 并将核对后的条形码贴在指定位置上 3 答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的 答题时应特别注意 不能错位 4 本试卷共有 23 道试题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 一 填空题 56 分 本大题共有 14 题 要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果 每 个空格填对得 4 分 否则一律得零分 1 已知复数 为虚数单位 则 2 i z i iz z 2 计算 n n n n 4 1 3 2 lim 3 函数的反函数为 则 xfy 0 1 1 log2 xxy xf 4 若以为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解 则实数的取值范围为 14 31 a a a 5 的二项展开式中 常数项的值是 5 3 2 2 3 x x 6 从一堆苹果中任取 5 只 称得它们的质量如下 单位 克 125 124 121 123 127 则该样本的标准差 克 s 7 已知曲线的极坐标方程分别为 12 CC 4cos0 0 2 cos3 2 则曲线与交点的极坐标为 1 C 2 C 8 设定点 动点满足 则动点的轨迹方 2 1 A 2 1 B yxP52 PBPAP 程为 9 设直线与平面相交但不垂直 则下列所有正确的命题序号是 m 在平面内有且只有一条直线与直线垂直 m 过直线有且只有一个平面与平面垂直 m 与直线平行的直线不可能与平面垂直 m 与直线垂直的直线不可能与平面平行 m 与直线平行的平面不可能与平面垂直 m 10 某校学生在上学路上要经过 2 个路口 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的 遇到 红灯的概率都是 遇到红灯时停留的时间都是 2 分钟 则该校某个学生在上学路上因 1 3 遇到红灯停留的总时间的均值等于 分钟 11 若关于的不等式的解集为 则的取值范围为 x 1 2 xbax 1 xxb 12 某城区从某年开始的绿化总面积 万平方米 与时间 年 的关系yx 为 则该城区绿化总面积从 4 万平方米到 12 万平方米所用的时间为 x y15 1 年 四舍五入取整 13 若对任意实数恒成立 则实数的取值范围为 212 axxxa 14 对于任意的平面向量 定义新运算 2211 yxbyxa 若为平面向量 则下列运算性质一定成立的所有 2121 yyxxba cba R k 序号是 baab bkabak bkakbak cbacba cabacba 二 选择题 20 分 本大题共有4 题 每题都给出四个结论 其中有且只有一个结论 是正确的 必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑 选对得 5 分 否则一律得零分 15 如果命题 曲线上的点的坐标都是方程的解 是正确的 则下列命题中正C 0f x y 3 确的是 A 曲线是方程的曲线 C 0f x y B 方程的每一组解对应的点都在曲线上 0f x y C C 不满足方程的点不在曲线上 0f x y x yC D 方程是曲线的方程 0f x y C 16 若框图所给的程序运行的结果为 那么判断框中应填入的关于的 90S k 判断条件错误的是 A B C D 8k 8k 9k 9k 17 将若干水倒入底面半径为的圆柱器皿中 底面水平放置 量得水面的高度为 若将cm2cm6 这些水倒入轴截面是正三角形的倒置的圆锥形器皿中 则水面的高度是 A B C D cm36cm6cm1823cm1233 18 设是公比为的等比数列 首项 对于 当且仅当 n aq 64 1 1 a Nn nn ab 2 1 log 时 数列的前项和取得最大值 则的取值范围为 4 n n bnq A B C D 32 3 4 3 4 22 23 22 三 解答题 本题满分 74 分 本大题共有 5 题 解答下列各题必须在答题纸的规定区域 对 应的题号 内写出必要的步骤 19 本小题满分 12 分 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 6 分 如图 菱形中 ABCD1 ACAB 其对角线的交点为 现将沿对角线OADC 向上翻折 使得 在四面体ACOBOD 中 在上移动 点在ABCDEABFDC 上移动 且 10 aaCFAE 1 求线段的最大值与最小值 EF 2 当线段的长最小时 求异面EF 直线与所成角的大小 ACEF 第第 16 题图题图 4 20 本小题满分 14 分 第 1 小题满分 7 分 第 2 小题满分 7 分 已知函数 2 cos 12 f xx 1 1sin2 2 g xx 1 设是函数的一个零点 求的值 0 x yf x 0 g x 2 求函数的单调递增区间 h xf xg x 21 本小题满分 14 分 第 1 小题满分 7 分 第 2 小题满分 7 分 某市一家庭一月份 二月份 三月份天然气用量和支付费用如下表所示 月份用气量 立方米 支付费用 元 一 48 二 2038 三 2650 该市的家用天然气收费方法是 天然气费 基本费超额费保险费 现已知 在每月用气量不超过立方米时 只交基本费 6 元 每户的保险费是每月元AC 用气量超过立方米时 超过部分每立方米付元 5 CAB 设当该家庭每月用气量立方米时 所支付费用为元 求关于的函数解析式 xyyx 22 本小题满分 16 分 第 1 小题满分 8 分 第 2 小题满分 8 分 设椭圆 常数 的左右焦 222 22 byxC 0 b 点分别为 是直线上的两个动点 12 F F M Nbxl2 12 0FM F N 1 若 求的值 12 2 5FMF N b 2 求的最小值 MN 5 23 本小题满分 18 分 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 8 分 第 2 小题满分 6 分 如图 是曲线上的 111 yxP 222 yxP nnn yxP 0 2 1 2 yxyC 点 0 11 aA 0 22 aA 0 nn aA 是轴正半轴上的点 且 x 110 PAA 221 PAA 均为斜边在轴上的等腰直角 nnn PAA 1 x 三角形 为坐标原点 0 A 1 写出 和之间的等量关系 1 n a n a n x 以及 和之间的等量关系 1 n a n a n y 2 猜测并证明数列的通项公式 n a 3 设 集合 nnnn n aaaa b 2321 1111 321n bbbbB 若 求实常数的取值范围 R012 22 xaaxxxA BA a 6 理科数学 答案 一 1 2 3 51 1 12 1 x x 4 5 1080 6 2 1 3 7 8 9 2 3 6 1 2 xxy 10 11 12 8 3 4 2 13 14 3 1 二 15 C 16 D 17 B 18 C 三 19 解一 1 以为坐标原点 如图建立空间直角坐标系 1 分OxyzO 由已知可求得 2 分 0 2 1 2 3 a aE 2 3 2 1 0 a a F 222 2 3 2 1 2 1 a a aa a EF 2 5 3 5 2 2 5 2 a 所以 当时 线段的最小值为 1 分 5 2 aEF 5 15 2 2 分 5 3 5 3 5 3 EF 0 1 0 AC 3 分 5 15 1 5 15 5 3 cos ACEF ACEF 所以 1 分 5 15 arccos 解二 1 如图 过点作 则 2 分FDOFM aFM 2 3 在中 由余弦定理 得AEM 7 3 分 5 3 5 2 2 5 60cos2 2222 aAMAEAMAEEM 所以 当时 线段的最小值为 1 分 5 2 aEF 5 15 2 过点作 在中 可求得 由余弦定理可求 EACEN EFN 5 3 EN 5 6 FN 20 解 1 由题设知 1 1 cos 2 26 f xx 2 1 因为是函数的一个零点 所以 2 分 0 xx yf x 0 6 2cos1 x 即 3 分1 6 2cos x 12 5 kxk Z 所以 2 分 4 5 6 5 2sin 2 1 1sin 2 1 1 00 kxxg 2 1 1 1 cos 21sin2 262 h xf xg xxx 1 31313 cos 2sin2cos2sin2 2622222 xxxx 5 分 1 3 sin 2 232 x 当 即 时 2 22 232 kxk 5 1212 kxk k Z 函数是增函数 1 3 sin 2 232 h xx 故函数的单调递增区间是 2 分 h x 5 1212 kk k Z 21 解 根据题意 2 分 2 6 1 0 6 A xCAxB AxC y 因为 所以 50 C116 C 由表格知 二 三月份的费用大于 11 因此 二 三月份的用气量均超过基本量 于A 是有 8 4 分 CAB CAB 26 650 20 638 解得 3 2 分 82 2CAB 假设一月份用气量超过了基本量 即 A 4 将代入 2 得与 3 矛盾 2 分4 xCA 62 所以 所以 2 分A 486 C2 C 因此 5 A2 B2 C 所以 2 分 5 22 50 8 x x x y 22 解 设 1 分 1 ybM 2 ybN 则 3 2211 ybNFybMF 由得 2 分 12 0FM F N 2 21 3byy 1 由 得 12 2 5FMF N 1 分52 3 2 1 2 yb 1 分52 2 2 2 yb 由 三式 消去 并求得 3 分 12 y y2 b 2 易求椭圆的标准方程为 2 分C1 24 22 yx 解法一 4 分 2 21212121 2 2 2 1 2 21 2 124222 byyyyyyyyyyyyMN 所以 当且仅当或时 取最小值 2 分byy3 21 byy3 12 MNb32 解法二 4 分 22 2 1 4 2 1 2 21 2 126 9 bb y b yyyMN 所以 当且仅当或时 取最小值 2 分byy3 21 byy3 12 MNb32 23 解 1 依题意 有 4 分 2 1nn n aa x 2 1 nn n aa y 9 2 由得 nn xy 2 1 2 2 1 2 nn aa 22 1 1nn aa 即 nnnn aaaa 1 2 1 猜测 2 分 2 1 nn an 证明 当时 可求得 命题成立 1 分1 n 2 21 2 1 a 假设当时 命题成立 即有 1 分kn 2 1 kk ak 则当时 由归纳假设及 1 kn kkkk aaaa 1 2 1 得 1 2 1 2 1 2 1 nk a kkkk a 即0 2 2 1 2 1 1 1 22 1 kkkk akka kk 解得 不合题意 舍去 2 2 1 1 kk ak kk a kk a 2 1 1 即当时 命题成立 3