不等式选讲复习及参考答案

1 2010 2011 学年第二学期屏东中学高二数学期中复习提纲 不等式 班级 姓名 座号 一 知识归纳 1 1 不等式的性质 不等式的性质 abba cacbba cbcaba dcba dbca bdaccba 0 bcaccba 0 0 ba0cd acbd 00 Nnbaba nn 0ba Nnba nn 2 2 含有绝对值的不等式的解法含有绝对值的不等式的解法 1 当时 有 0 a f xaaf xa f xaf xaf xa 或 2 f xg xg xf xg x f xg xf xg xf xg x 或 3 22 f xg xfxgx 22 f xg xfxgx 4 根据的零点分类讨论 脱掉绝对值符号 0 f xg xa a f xg x 把转化成分段函数 利用绝对值三角不等式 f xg xa 3 3 均值不等式 均值不等式 当且仅当时取等号 0 2 ab ab a b ab 注意 一正二定三相等 变形 2 2 2 ab ababab 均值不等式的应用 均值不等式的应用 已知都是正数 则有 yx 1 如果积是定值 那么当时和有最小值 xypyx yx p2 2 如果和是定值 那么当时积有最大值 yx syx xy 2 4 1 s 均值不等式的推广 均值不等式的推广 当且仅当时取等号 a b cR 3 3 abc abc abc 4 4 柯西不等式 柯西不等式 当且仅当时取等号 22222 a b c dR abcdacbd adbc 2222222 12121 122 1 2 iinnnn a bR inaaabbba ba ba b 当且仅当或者存在时等号成立0 i b i i a kRk b 5 5 排序不等式 排序不等式 设为两组实数 是的任 1212 nn aaa bbb 12n cc c 12n bbb 一排列 那么 当且 12111 1221 122nnnnnnn aba ba ba ca ca caba ba b 仅当时 反序和等于顺序和 1212 nn aaa bbb 6 6 贝努利不等式 贝努利不等式 如果是实数 且为大于 1 的自然数 那么有x1 0 xxn 1 1 n xnx 2 7 7 绝对值不等式 绝对值不等式 0 ababa b 当且仅当时等号成立 二 常见题型 1 不等式的基本性质 例 1 若 则 0 0abc A B C D acbc cc ab cc ab acbc 例 2 设 则 M 与 N 的大小关系为 22 42 2 1 5Mxyxy xyN A M NB M1 时 1 12 2 1 iiiii i 从而 例 5 已知 求证 12 1 a babx x RR 121212 axbxbxaxx x 例 6 设为实数 证明 其中 12 n a aa 222 1 12212nnn a ca ca caaa 是的任一排列 12 n c cc 12 n a aa 例 7 已知1 2 1 x 1 2 2 x I 求证 62 21 xx 2 21 xx II 若1 2 xxxf 求证 5 212121 xxxfxfxx 例 8 对于一切大于 1 的自然数 n 证明 111121 1 1 1 1 357212 n n 4 不等式的应用 例 1 1 求函数的最小值 2 求函数 16 4 4 yxx x 的最大值 15 42 454 yxx x 4 3 求函数的最大值 4 求函数的最小值 83 02 yxxx 2 1 3 x yx x 例 2 1 求函数的最小值 2 求函数的最大 2 4 0 yxx x 2 3 03 yxxx 值 例 3 1 已知 求的最小值 19 1x y xy Rxy 2 已知 求的取值范围 22 10 x yxy R2xy 3 已知 求的最大值 1x yxy R4141xy 例 4 已知 求 1 求的最小值 2 若恒成立 25f xxx f x f xm 求 m 的取值范围 例 5 某小区欲建一面积为 640 平方米的矩形绿地 四周有小路 绿地长边外小路宽 5 米 短边外小路宽 8 米 如图所示 求怎样设计绿地的长宽使绿地和小路总占地面积最小 5 2010 2011 学年第二学期屏东中学高二数学期中复习练习 不等式 班级 姓名 座号 1 已知 c d a b 0 下列不等式中必定成立的一个是 A a c b d B a c b d C ad bcD d b c a 2 下列各式中 最小值等于的是 2 A B C D x y y x 1 0 xx x 1 sin 0 sin2 22 xx 3 函数的最大值是 2 8 0 2 x yx x A B C D 681018 4 若且满足 则的最小值是 x yR 32xy 3271 xy A B C D 3 3 912 2 67 5 已知函数 f x 2x 1 对于任意正数 使得 f x1 f x2 成立的一个充分但 不必要条件是 A x1 x2 B x1 x2 C x1 x2 2 4 4 6 代数式与的大小关系为 3 13 a 1 19 3 a a A B C D 3 13 19aa 3 13 19aa 3 13 19aa 3 13 19aa 7 已知 则有 22 1x yxy R 1 1 xyxy A 有最大值 1 和最小值 0 75 B 最小值 0 75 无最大值 C 最小值 1 无最大值 D 最小值 0 5 和最大值 1 8 已知 A x 2x 1 3 B x x x 6 0 则 A B 等于 2 A B C D 2 3 1 2 12 3 2 12 3 2 13 9 不等式的解集是 221 xx 2x 1 1 x3 不等式的解集为 不等式 解集为 0 32 23 2 2 xx xx 10 若 则 2a b 的取值范围是 14a 24b 11 函数的最小值为 2 20 5 0 f xxx x 12 用数学归纳法证明等式 当时 等式左端比当 42 2 123 2 nn n 1nk 时增加了 项nk 13 小红要买三种不同的花束分别是 1 束 2 束 3 束 单价分别为 8 元 10 元 15 元 她最多花钱 元 14 下列四个不等式 其中使 1 0 2 0 3 0 4 0abbababa 6 成立的充分条件有 只填序号 11 ab 15 若关于 x 的不等式的解集不是空集 则 a 的取值范围 34xxa 若关于 x 的不等式对一切恒成立 则 a 的取值范围 43xxa xR 16 用不等号填空 1 2 3 2 5 7 6 xxx lg9 lg11 1 22 62 4 abcbac 5 0 2 abcd a b c d abdbcacdbdac 17 已知 a b x y 均为正实数 且 x y 求证 a 1 b 1 ax x by y 18 已知 求证 a b R abba a ba b 19 求证 2222 abcdabbccdda 20 已知 求证 a b c R 222 9abc abcabc 21 已知 求证 22 1ab cossin1ab 22 已知 求证 222 21 1a b cabcabc R 2 1 3 c 23 已知 求证 x y z R 111 y xz yzzxxyxyz 7 24 已知 求证 x y z R 333222 2 abca bcb cacab 25 求证 Nn 13 2 2 1 2 1 1 1 n n nnn 26 已知 且 求的最小值 x y z R3xyz 222 xyz 27 已知 求的最小值 并求出取得最小值时的数对 2310 x yxy R 83 xy x y 28 求的最大值142yxx 29 已知函数 4 12 xxxf 1 作出函数 y f x 的图像 2 求不等式 2 xf 的解集 3 求函数 xf 的最小值 30 设函数 2 1 axxxf 1 当5 a时 求函数 xf的定义域 2 若函数 xf的定义域为 R 试求a的取值范围 8 参考答案 一 例题部分 1 例 1 B 例 2 A 例 3 例 4 15 515 82 53 a abab b 54210ab 2 例 1 1 2 3 1052 1 333 xxx 或 1 2 x x 324x xx 或 4 5 1 2 x x 02xx 3 证明略 4 例 1 1 2 3 min 8 12xy 当时 max 1 1xy 当时 max 44 3 33 xy 当时 4 min 10 3 3 xy 当时 例 2 1 2 33 min 2 3 4xy 当时 min 2 4xy 当时 例 3 1 2 min 4 12 16xyxy 当时5 225 2xy 3 max 11 4141 2 3 22 xyxy 当时 例 4 1 2 min 52 7xf x 当时7m 例 5 长边为 32 米 宽边长为 20 米时 绿地和小路总占地面积最小 二 练习部分 1 8 BDAD CAAC 9 1 5 2 2 3 4 1 1 2 3 10 11 15 1