不等式的证明

不等式的证明不等式的证明 重点重点 正确使用不等式的基本性质与定理 理解并掌握证 明不等式的常用方法 难点难点 据所证不等式的结构特征选择证明方法以及把握不 等式证明过程的基本过程及格式的规范主要内容及重点例题参考 1 1 不等式证明的理论依据 不等式证明的理论依据 不等式的概念和性质 实数的性质 以及一些基本的不等式 1 若 a R 则 a 0 a2 0 2 若 a b R 则 a2 b2 2ab 3 若 a b R 则 4 若 a b 同号 则 2 5 若 a b c R 则 6 若 a b R 则 a b a b a b 2 2 证明不等式的基本方法 证明不等式的基本方法 比较法 作差 作商 综合法 分 析法 数学归纳法及反证法 另外还有如换元法 放缩法等 3 3 例题分析 例题分析 例例 1 a b c R 求证 a3 b3 c3 3abc 分析与解答分析与解答 证法一证法一 比较法 a3 b3 c3 3abc a b 3 c3 3a2b 3ab2 3abc a b c a2 2ab b2 ac bc c2 3ab a b c a b c a2 b2 c2 ab ac bc a b c a b 2 b c 2 c a 2 0 a3 b3 c3 3abc 证法二证法二 综合法 a3 b3 a b a2 b2 ab a b ab 当且仅当 a b 时 成立 b3 c3 b c b2 c2 bc b c bc 当且仅当 b c 时 成立 c3 a3 a c c2 a2 ca c a ca 当且仅当 c a 时 成立 2 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 b a2 c2 a b2 c2 c a2 b2 2abc 2abc 2abc 6abc 当且仅当 a b c 时 成立 a3 b3 c3 3abc 例例 2 已知 a b c 为不等正数 求证 a2ab2bc2c ab cbc aca b 分析分析 由于所证不等式两端都是幂和积的形式 且 a b c 为正 数 可选用商值比较法 证明证明 a b c 为不等正数 不失一般性 设 a b c 0 这时 a2ab2bc2c 0 ab cbc aca b 0 a a b a c b b c b a c c b c a a b b c c a a b c 0 1 a b 0 1 b c 0 0 1 c a1 b c 1 c a 1 1 即 a2ab2bc2c ab cbc aca b 评述评述 例 1 的证法一与例 2 都是应用比较法证明不等式 求差 比较法的基本步骤是 作差 变形 判定差式的正负 求商 比较法的基本步骤是 作商 变形 判定商式大于 1 或小于 1 应注意 求商比较法一般用于各字母均为正数的不等式的证明 例例 3 已知 a b c R 求证 a b c 分析分析 不等式的左端是根式 而右端是整式 应设法通过适当 的放缩变换将左式各根式的被开方式转化为完全平方式 证明证明 a2 b2 2ab 2 a2 b2 a2 2ab b2 a b 2 即 a2 b2 两边开方 得 a b a b 同理可得 b c c a 三式相加 得 a b c 例例 4 已知 a b c R 且 a b c 1 求证 1 9 2 a2 b2 c2 分析分析 利用基本不等式 采用综合法解决问题 1 证法一证法一 3 3 2 2 2 9 证法二证法二 1 a b c 3 abc 27 3 3 9 2 1 a b c 1 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 c2 3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 评述评述 利用综合法由因导果证明不等式 就要揭示出条件与结 论之间的因果关系 为此要着力分析已知与求证之间的差异与联系 不等式左右两端的差异和联系 如例 4 是个条件不等式的证明问题 给出的特定条件是 a b c 1 在分析所证不等式左右两端的差异后 合理应用已知条件 进行有效的变换就是证明不等式的关键 例例 5 已知 a 1 b 1 求证 1 分析分析 利用分析法证明 证明证明 要证 1 成立 只要证 a b 1 ab 只要证 a b 2 1 ab 2 即 a2 b2 2ab 1 2ab a2b2 只要证 a2 b2 1 a2b2 0 只要证 a2 1 1 b2 0 a 1 b 1 a2 1 b20 成立 1 例例 6 已知 a b 是不等正数 且 a3 b3 a2 b2 求证 1 A Ba2 ab b2 a b a b 1 a b 3 a b 4 3 a b 2 4 a b 3 a2 2ab b2 0 a b 2 0 即 a b 2 0 一定成立 故 a b1 采用的是 综合法 证明 a b 1 b c 1 c a a b c 0 1 1 a 1 b 1 c 0 1 三式相加 得 由平均值定理可知 与上式相矛盾 故假设不成立 1 a b 1 b c 1 c a 中至少有一个不小于 评述评述 反证法 基本思路是 假设 矛盾 肯定 采用 反证法证明不等式时 从与结论相反的假设出发 推出矛盾的过程 中 每一步推理都必须是正确的 由于本题 例 7 题目的结论是 三个数中 至少有一个不大于 情况比较复杂 会出现多个由 异向不等式组成的不等式组 一一证明十分繁杂 而对结论的否定 是三个数 都大于 结构简单明了 为推出矛盾提供了方便 故采用反证法是适宜的 4 4 课后练习 课后练习 1 已知 x R 求证 1 2x4 x2 2x3 2 已知 a b R a b 求证 a2 ab b2 0 3 求证 log56 log54 1 提示 提示 先化成常用对数 然后用均 值不等式 有 4 设 x 0 求证 x 2 或 x 2 测试测试 选择题选择题 1 q 0 是实系数一元二次方程 x2 qx q 0 有两个异号实根的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 2 若 a c b a b c 均为不等于零的实数 则下列不等 式成立的是 A a B C B a c b C a b c 3 设 a 1 方程 x logax x logax 的解是 A 0 x 1 B x 1 C x a D 0 4 设 x y z n N 且 恒成立 则 n 的最大 值是 A 2 B 3 C 4 D 5 5 设 a b c R 且 a b c 不全相等 则不等式 a3 b3 c3 3abc 成立的一个充要条件是 A a b c 全为正数 B a b c 全为非负实数 C a b c 0 D a b c 0 答案与解析答案与解析 答案 答案 1 C 2 C 3 B 4 C 5 C 解析 解析 1 分析分析 我们先由 q0 且两根之积小于 0 故方程有两个相异的实根 同样地 可以由方程有两个相异的实根得到 q0 有 logax 0 即 x 1 4 分析分析 原不等式变形为 n x z 此不等式 恒成立的充要条件是 n 右式的最小值 令 a x y b y z 则 a 0 b 0 且 x z a b 易证 a b 4 即 x z 4 所以 n 4 5 分析分析 将 a3 b3 c3 3abc 分解因式得 a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab ac bc a b c a b 2 b c 2 a c 2 而 a b c 不全相等 a b 2 b c 2 a c 2 0 则 a3 b3 c3 3abc 0 a b c 0 变用重要不等式举例变用重要不等式举例 一 变用一 变用 a a2 2 b b2 2 2ab 2ab 我们在学习了课内知识后 应该通过 正用 逆用 变用 诸多方式来加深理解 提高应用本领 现在就以此最基本 且重要的不等式 看看它有什么变形 以及如何利用它的变式快速 解一些较难的数学试题 公式中的 a b R 当且仅当 a b 时 公 式取等号 本公式的变形大致有 1 a2 b2 2 ab a b 2 4ab 等式成立条件都是 a b R 2 2 a2 b2 a b 2 a b R 当且仅当 a b 时取等号 3 a b R 且 ab 0 4 即 a b R 当且仅当 a b 时取 等号 a b R 当且仅当 a b 时 等式成立 5 a b c R a b b c c a 8abc 6 a2 b2 c2 ab bc ca a2 b2 c2 d2 ab bc cd da a b c d R 7 a b c 2 3 ab bc ca a b c R a b c R 说明 说明 式中未注等式成立条件的式子 都是当且仅当所涉及字 母取值相等时成立 二 典例二 典例 例例 1 1 判断 logn n 1 logn n 1 与 1 的大小关系 其中 n N 且 n 3 证明 证明 逆用 这里 a b R 且 a b 就发现 可见欲求关系是 logn n 1 logn n 1 1 n N 且 n 3 例例 2 2 设 ABC 内切圆半径为 r 求证 证明 证明 由于 形似 我们联想到公式 a2 b2 c2 ab bc ca 于是有 继续 联想 三角形面积公式及内切圆半径公式 及 就有 从而证明了本题 例例 3 3 如图 ABC 及其内接 DEF 分原三角形所得 AEF BDF CDE 中 至少有一个三角形的面积不大于原 ABC 面积的 这里所指 ABC 的内接三角形 DEF 是顶点 D E F 分别在 ABC 三条边上的三角形 证明 证明 如图 设 ABC 三边 BC a CA b AB c 且 AE e AF f BD m BF n DC p EC q 逆用公式 并注意到 于是有 又由 若 S CDE S AEF S BDF皆大于 S ABC的 式不可能成立 故所给四个三角形面积中 至少有一个不大于 例例 4 4 证明 ABC 中 有以下关系成立 证明 证明 注意到余弦定理 于是 即原命题成立 注 注 给出这个课外拓展的目的是希望大家参照这个例子 在以 后学习其它公式时懂得逆用 变型公式 从而更深刻的理解公式 更灵活的应用公式 解不等式总结解不等式总结 二二 5 5 含绝对值的不等式的解法 含绝对值的不等式的解法 这类不等式的同解变形有 或 或 有时 也可用分段讨论法 去掉绝对值来求解 15 不等式 的解集是 A x 5 X 16 B x 6 X 18 C x 7 X 20 D x 8 X 解 解 选 B 因为 x 18 不是原不等式的解 从而否定 C D x 6 也不是原不等式的解 从而否定 A 评注 评注 本例也可以直接求解 16 不等式组 的解集是 全国高考试题 A x 0 X 2 B x 0 X 2 5 C x 0 X u1 shapes x0000 i1031 v shapes x0000 i1219 D x 0 X 解 解 C 评注 评注 本题通过取特殊值法排除 A B D 较易 直接求解较繁 琐 17 解不等式组 略解 略解 1 先解不等式 1 当 x 3 时 解得 x 3 当 3 xag x 当 a 1 时 等价于 f x g x 当 0 A 1时 等价于 f x G X 有些指数不等式 还可用换元法求解 18 解不等式 1 2 解 解 1 原不等式 原不等式的解集为 2 1 2 原不等式 原不等式的解集为 2 4 19 解关于 x 的不等式 1 2 解 解 1 令 t 2x 原不等式变为 t2 2t 3 0 解得 t3 t 0 t 3 即 2x 3 x log23 原不等式解集为 log23 2 原不等式 1 当 a 1 时 原不等式 可得原不等式的解集为 2 4 2 当 0 A 1时 原不等式 故原不等式的解 集为 2 4 20 解关于 x 的不等式 1 2 解 解 1 原不等式 原不等式的解集为 4 2 原不等式 当 a 1 时 不等式 4 4a21 时 原不等式解集为 当 0 A 1时 不等式 4 4a2 0 不等式 不等式 4 不等式 5 当 0 A 1时 原不等式的解集为 7 7 对数不等式的解法 对数不等式的解法 对数不等式的主要同解变形为 logaf x logag x 当 a 1 时 等价于 f x g x 0 当 0 A 1时 等价于 0 F X G X 有时 解对数不等式也可能用到换元法 21 设全集 I R 集合 那么 A x x 2 B x x 2 或 x 3 C x x 3 D x 2 x 3 解 解 选 B M 2 2 N 1 3 x x0 2 a 0 a 1 解 解 1 当 a 1 时 原不等式 因为 1 a 0 x1 时 原不等式的解集为 0 当 0 A 1时 原不等式 由于 当 0 A 1时 原不等式的解集为 1 2 原不等式 当 a 1 时 原不等式的解集为 a 当 0 A 1时 原不等式的解集为 0 a 23 解关于 x 的不等式 1 2 其中 0 A 1 解 解 1 原不等式 令 原不等式 原不等式解集为 2 5 2 原不等式 令 t logax 则 原不等式 a1 2t 4 t2 1 2t 0 A0 t3 logax3 x 或 0 X A3 原不等式的解集为 0 a3 8 函数不等式的解法 解函数不等式通常是用图象法或利用函 数的单调性求解 24 解不等式 1 0 SINX COSX u1 shapes x0000 i1106 v shapes x0000 i1287 2 ctg2