17.解直角三角形 综合练习

解直角三角形解直角三角形 综合练习综合练习 例题精选例题精选 例 1 在ABC 中 C 90 求 ctgB sin A 2 3 解 方法一 设 A 对边 BC 2a 斜边 AB 为 3a 由勾股定理 AC 由5a 三角函数的定义 ctg B BC AC B a a 即ctg 2 5 2 5 5 方法二 由同角三角函数关系式 得sin A 2 3 sincos 22 1AA 则 又 A 与 B 互为余角 cos A 1 2 3 5 3 2 tgA A A sin cos 2 3 5 3 2 5 5 sinA cosB tgA ctgB ctgB tgA 2 5 5 说明 当直角三角形中已知一个三角函数求其它三角函数值时 用小三角形 法 即方法一是比较简单的 因为三角函数的定义是比值 因此可设一份为一个 常量 设出比值 再去计算 用同角三角函数关系式计算也应当会 只是计算起 来麻烦一些 例 2 在ABC 中 C 90 tgA的周长为 45cm 求 BC 的长 12 5 ABC 解 设 BC 12x AC 5x 则 AB 13x 则题意 12x 5x 13x 45cm 30 x 45 x BC cm 3 2 12 3 2 18 例 3 在ABC 中 C 90 求 A 及 ab 153 5 S ABC 解 C 90 ab 153 5 tgA 又 A 为锐角 A 30 15 3 5 3 3 Sab ABC 1 2 1 2 153 5 15 2 3 说明 当已知边求角时 可利用三角函数的定义 这里已知两直角边 可以 求锐角的正切或余切值 再去求角 例 4 求值 coscos 22 37151548534245 tgctgtgctgtg 分析 所给的三角函数中 只有 45 的三角函数是特殊角的三角函数值 其 它都不是特殊的三角函数值 应当分析这些三角函数值之间的关系 由分析可以 看出 37 与 53 角互为余角 因为互为余角的余函数相等 因此 tg48 与 ctg42 也 相等 再进行计算就可以了 解 cos 37tg15ctg15tg48cos 53ctg42tg45 cos 37cos 53tg15ctg15tg48ctg42tg45 cos 37sin 37tg15ctg15tg48tg48tg45 22 22 22 111 3 说明 互为余角余函数相等的结论 可用于角的转化 通过转化 才能找到 解题的思路 才能找到解决问题的突破口 这也是提高自己解题能力的一个重要 方面 因此运用数学思想解决数学问题应当自觉的去做 例 5 在ABC 中 ACB 90 AB 6 CD AB 于 D AD 2 求 A 的正弦值 分析 由已知 ACB 90 CD AB 于 D 这在 几何中是个很典型的几何图形 这个图形中 有 ACD CDB ACD ACB 还有 BCD A ACD B 等 因此求 A 的正弦值 可以用 CDB ACB 角的代换 即求 BCD 的正弦 或通过相似求边再求 A 的正弦 解 方法一 ACB 90 CD AB 于 D AC2 AD AB AC2 2 6 ACD ABC AC 2 3 CD 2 321242 2 2 2 sin A CD AC 2 2 2 3 6 3 方法二 A 与 BCD 同为 ACD 的余角 A BCD BD 6 2 4 BCD ABC BC2 4 6 BC 2 6 sinsinABCD BD BC 4 2 6 6 3 例 6 已知 a sin20 b sin40 则下列正确的是 A 2a 1 1 2b C 1 2a 2bD 1 2a 2b 分析 从已知出发思考不太好想 但换个角度 从结论出发去想 看 a b 间 的联系 将各项除以 2 结论为 A B C D ab 1 2 ab 1 2 1 2 ab 因为 a sin20 b sin40 因此可想成 sin30 由正弦函数当角从 1 2 ab 1 2 0 到 90 间是函数随角的增加而增加 从而确定要选定的结果 解 由正弦函数的增减性 得 即 sinsinsin203040 sinsin20 1 2 40 2a 1 2b 应选 A 说明 思考问题的方法 可以从已知去想 也可以从结论倒推去想 只有不 断变化转化各种思考问题的方式 才不会死板的解决问题 而变得更加灵活了 例 7 等腰三角形两边长分别为 10 13 求底角的余弦 分析 等腰三角形两边长为 10 13 没有具体指明是腰还是底 通过分析 10 可以做腰 10 也可以做底 这样区分两种情况分别求底角的余弦 辅助线可以做 底边上的高 这样就构造出直角三角形了 解 情况一 若腰为 10 底为 13 做底边上的高后 将底边分为各为 6 5 的 两部分 设底角为 cos 则 65 10 065 若情况二 腰为 13 底为 10 做底边上的高以后 将底边分为各为 5 的两部 分 则底角余弦为 cos 5 13 说明 由于题目中所给的条件不明确 所以应当分两种情况进行讨论 分类 讨论的思想 也是很重要的一种数学思想 它要求我们思考问题应当全面 不可 以重复也不可以漏掉 有关等腰三角形的问题 底边上的高是常加的辅助线之一 因为等腰三角形 底边上的高也是底边的中线 也是顶角的平分线 这样可以把等腰三角形的问题 转化为直角三角形的问题去解决 例 8 从 1 5 米高的侧高仪上 测得塔顶仰角为 45 向塔前进 10 米 又测得塔顶仰角为 60 求塔 高 分析 由实际测量问题画出示意图 即已知 ABC 45 ADC 60 BD 10 ACB 90 塔 高即 AC CE CE 为 1 5 米 解 设 AC 为 x ABC 45 AC BC x 又 ADC 60 ctg60 DC x DCx 3 3 由题意xx 3 3 10 x 1 3 3 10 x 155 3 AE 155 3151655 3 答 塔高为米 1655 3 例 9 我国领海权 12 海里 在东西方向平直海岸线上相距 18 9 海里有 A B 两个雷达站 同时测得一外国军舰 K K 在 A 的北偏东 30 K 在 B 的北偏 西 45 问是否要向敌军舰发出警告 31732 分析 由题意画出示意图 求出 K 到 AB 的距离 再根据题意确定 解 做 KC AB 于 C 设 KC 为 x 则 BC KC x 在 RtACK 中 KAC 60 ctg60 AC x ACx 3 3 3 3 1891198xxx 解得 答 K 与 AB 距离小于 12 应当发警告 例 10 四边形 ABCD 中 AB BC AD 7 D B 90 tgA 2 求 CD 长 分析 为了利用 tgA 2 的条件 可延长 AD BC 交 于一点 H 构造为直角三角形 解 延长 AD BC 交于 H 设 CD 为 x A HCD tgA 2 则 DH 2x HC HB 5x2 55x ABx 由题意 52 572 22 2 xxx 解得x 7 3 答 CD 长为 7 3 说明 这里为充分利用题目所给条件 将原来图形扩形为新的直角三角形 综合练习综合练习 1 选择题 1 直角三角形 ABC 中 A 90 则 sinB 的数值为Cb 32 A B C D 2 3 2 10 5 3 2 若 tg tg50 1 则锐角等于 A 40 B 50 C D 1 50 1 40 3 下列命题中正确的是 A sin72 cos72 B A B 90 则 cosA cosB C 中 a b c 1 2 3 则 ABCsin A 1 3 D 若 A B 90 则 sinA cosB 4 当 45 90 下列各式正确的是 A B sincos sincos C tgD tg ctg 1 2 在ABC 中 C 90 求 sinA tgB 6 3 在中 A 30 B 45 45 所对边为 8 求 30 角所对的线段长 ABC 4 在直角ABC 中 B 60 a c 9 求 b 5 等腰ABC 中 AB AC 5 求 sinA S ABC 5 6 ABC 中 AB AC AD BC 于 D AB 12 求 BAC 的正弦 cosB 3 6 7 在直角三角形 ABC 中 C 90 求ABC 的三边长 S ABC 96sin A 3 5 8 电视塔建立在 20 米高的小山顶上 从水平面上一点 D 测得塔顶 A 的仰 角为 60 测得塔基 B 的仰角为 30 求电视塔高 AB 9 若矩形纸片 ABCD 的宽 AB 6 E 为 AB 上一点 沿 CE 折叠后 B 恰落在 AD 上 设为 F 若 ECF 求 DF 长 答案与提示答案与提示 1 1 C 特别要注意 题目中给的是 A 为 90 2 A 用同角三角函数关系式去想 因为有 tg50 ctg50 1 则 ctg50 tg40 3 A 因为互为余角的余函数相等 4 A 可以用特殊值的方法 用试验的方法 可以设角 满足题意的 60 条件 而去思考 2 提示 可由 设 再由三角函数定义tgB 6ACa BCaABa 67 则 得 sin A 7 7 3 提示 做 CD AB 交 AB 于 D 将原来三角形 ABC 分割为两个直角三角 形 因为 45 角所对边为 8 则 CD 4 再用勾股定理解直角三角形 得 BC 4 2 4 提示 设 30 所对直角边为 x 则斜边为 2x 另一直角边为 由题意 x 3x 2x 9 求得 x 3 所以 b 3 3 5 作 BD AC 交 AC 于 D AC BD 结果为 10 BD 2 S ABC 5 sin A BD AB 2 5 6 作 BE AC 于 E 设 AB 6x 则 6x 12 x 2 则BDx 3ADx 33 由题意 BC AD AC BE 12 BE AD 2 334 32 33 BE 2 11 sin BAC BE AB 2 11 12 11 6 7 RtABC 面积为 96 则 设 BC 3x AB 5x 则 BC 4x 1 2 96ACBC x 4 即 AC 16 BC 12 AB 20 1 2 3496 xx 8 由题意 画草图 ADC 60 A 30 设 DC a 则 AD 2a BDC 30 BC 20 ACa 3 BD 40 DC 20 3aAC 20 3320 360 AB 60 20 40 答 电视塔高 AB 为 40 米 9 提示 折叠的问题要注意的是折叠后的图形与原来的图形全等 且折线 是两个图形的对称轴 由题意CEF CEB ECB 则 DCF 902 又 AB CD 6 tg DF DC tg 902 DF DC 90262 ctg 综合练习二综合练习二 1 ABC 中 则ABC 是 sincosAB 3 2 1 2 0 A 等腰三角形B 等边三角形 C 直角三角形D 等腰直角三角形 2 计算125555351 cossinsin 3 计算 tg25 tg35 tg45 tg55 tg65 4 利用含 30 角的直角三角形 求 15 角的四个三角函数值 5 ABC 中 C 90 D E 是 BC 上两点 ABC BD 1 2 1 3 ADCAEC 11 DE 5 求 AC 提示或解答提示或解答 1 B 时 A 60 时 B 60 由绝对值的非负性 sin A 3 2 cosB 1 2 得到三个角都为 60 应为等边三角形 2 提示 将第一个根号内 1 变为sincos 22 5555 原式 cossinsin5555135 2 sincossin sin 5555135 551 3 提示 25 65 90 35 55 90 由余角的正切函数与余切函数 相等 tg25 tg35 tg45 tg55 tg65 tg25 tg35 tg45 ctg35 ctg25 1 4 提示 在ABC 中 C 90 A 30 B 60 延长 CA 到 D 使 AD AB 连 BD 设 BC 为