02第二节 黄金分割教案

第二节第二节 黄金分割黄金分割 黄金分割黄金分割 我们常常听说有 黄金分割 这个词 黄金分割 当然不是指的怎样分割黄金 这是一个比喻的说法 就是说分割的比例像黄金一样珍贵 那么这个比例是多少呢 是 0 618 人们把这个比例的分割点 叫做黄 金分割点 把 0 618 叫做黄金数 并且人们认为如果符合这一比例的话 就会显得更美 更好看 更协调 在生活中 对 黄金分割 有着很多的应用 比如人 肚脐到脚底的距离 头顶到脚底的距离 0 618 眉毛到脖子的距离 头顶到脖子的距离 0 618 比如 演员在台上的时候 如果站在台中央 就显得太呆板了 而如果站在黄金分割的位置上 就会显 得活泼和生动 而我们看的书 书的长 书的长 书的宽 0 618 还有世界名画 蒙娜丽莎 就是根据黄金分割的比例来构图的 我们熟悉的正五角形里同样也有黄金分割 黄金分割是个古老的数学问题 不过以前人们只是从趣味上去研究它 但近几十年来出现的一种新的数 学方法 最优化方法 给黄金分割找到了一种新的实际用场 第三课时 课 题 4 2 黄金分割 教学目标 一 教学知识点 1 知道黄金分割的定义 2 会找一条线段的黄金分割点 3 会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点 二 能力训练要求 通过找一条线段的黄金分割点 培养学生的理解与动手能力 三 情感与价值观要求 理解黄金分割的意义 并能动手找到和制作黄金分割点和图形 让学生认识数学与 人类生活的密切联系对人类历史发展的作用 教学重点 了解黄金分割的意义 并能运用 教学难点 找黄金分割点和画黄金矩形 教学方法 讲解法 教具准备 投影片一张 记作 4 2 A 教学过程 创设问题情境 引入新课 图 4 6 师 生活中我们见到过许许多多的图形 形态各异 美观大方 那么这些漂亮的图 形你能画出来吗 比如 右图是一个五角星图案 如何找点 C 把 AB 分成两段 AC 和 BC 使得画出的图形匀称美观呢 本节课就研究这个问题 讲授新课 师 在五角星图案中 大家用刻度尺分别度量线段 AC BC 的长度 然后计算 它们的值相等吗 AB AC AC BC 生 相等 师 所以 AC BC AB AC 1 黄金分割的定义 在线段 AB 上 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC 如果 那么称线 AC BC AB AC 段 AB 被点 C 黄金分割 golden section 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 AC 与 AB 的 比叫做黄金比 其中 0 618 AB AC 投影片 4 2 A 黄金分割在几何作图上有很多应用 如五角星形的各边是按黄金分割划分的 其中 点 C 就是线段 AB 的一个黄金分割点 作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割 黄金分割也被广泛用在建筑设计 美术 音乐 艺术等方面 如在设计工艺品或日用 品的宽和长时 常设计成宽与长的比近似为 0 618 这样易引起美感 在拍照时 常把主要 景物摄在接近于画面的黄金分割点处 会显得更加协调 悦目 舞台上报幕员报幕时总 是站在近于舞台的黄金分割点处 这样音响效果就比较好 而且显得自然大方 等等 黄金分割在工厂里也有着普遍的应用 如 优选法 中常用的 0 618 法 就是黄金分 割的一种应用 师 既然黄金分割的实用价值这么大 我们就必须把它学好 还要用好 下面我 们来学习如何找一条线段的黄金分割点 2 作一条线段的黄金分割点 图 4 7 如图 已知线段 AB 按照如下方法作图 1 经过点 B 作 BD AB 使 BD AB 2 1 2 连接 AD 在 DA 上截取 DE DB 3 在 AB 上截取 AC AE 则点 C 为线段 AB 的黄金分割点 师 你知道为什么吗 若点 C 为线段 AB 的黄金分割点 则点 C 分线段 AB 所成的线 AC BC 间须满足 下面请大家进行验证 自己有困难时可以互相交流 为了计算方便 可设 AB 1 AC BC AB AC 证明 AB 1 AC x BD AB 2 1 2 1 AD x 2 1 在 Rt ABD 中 由勾股定理 得 x 2 12 2 2 1 2 1 x2 x 1 4 1 4 1 x2 1 x x2 1 1 x AC2 AB BC 即 AC BC AB AC 即点 C 是线段 AB 的一个黄金分割点 在 x2 1 x 中 整理 得 x2 x 1 0 x 2 51 2 411 AC 为线段长 只能取正 AC 0 618 2 15 0 618 AB AC 黄金比约为 0 618 3 想一想 图 4 8 古希腊时期的巴台农神庙 Parthenom Temple 把它的正面放在一个矩形 ABCD 中 以矩形 ABCD 的宽 AD 为边在其内部作正方形 AEFD 那么我们可以惊奇地发现 点 E 是 AB 的黄金分割点吗 矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比吗 BC AB BE BC 师 请大家互相交流 生 因为四边形 AEFD 是正方形 所以 AD BC AE 又因为 所以 BC AB BE BC 即 因此点 E 是 AB 的黄金分割点 矩形 ABCD 宽与长的比是黄金比 AE AB BE AE AE BE AB AE 师 在上面这个矩形中 宽与长的比是黄金比 这个矩形叫做黄金矩形 你学会作 了吗 随堂练习 1 解 设 AB a 根据题意 得 AE 2 a 由勾股定理 得 EF EB 22 AEAB 4 2 2 a a a 2 5 AF AH BE AE a 2 15 BH AB AH a aa 2 53 2 15 AB AH 2 15 2 15 a a 2 15 15 53 2 15 2 53 a a AH BH AH BH AB AH 点 H 是 AB 的黄金分割点 课时小结 本节课学习了 1 黄金分割点的定义及黄金比 2 如何找一条线段的黄金分割点 以及会画黄金矩形 3 能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点 课后作业 习题 4 3 活动与探究 要配制一种新农药 需要兑水稀释 兑多少才好呢 太浓太稀都不行 什么比例最合 适 要通过试验来确定 如果知道稀释的倍数在 1000 和 2000 之间 那么 可以把 1000 和 2000 看作线段的两个端点 选择 AB 的黄金分割点 C 作为第一个试验点 C 点的数值 可以算是 1000 2000 1000 0 618 1618 试验的结果 如果按 1618 倍 水兑得过多 稀释效果不理想 可以进行第二次试验 这次的试验点应该选 AC 的黄金分割点 D D 的 位置是 1000 1618 1000 0 618 约等于 1382 如果 D 点还不理想 可以按黄金分 割的方法继续试验下去 如果太浓 可以选 DC 之间的黄金分割点 如果太稀 可以选 AD 之间的黄金分割点 用这样的方法 可以较快地找到合适的浓度数据 这种方法叫做 黄金分割法 用这样的方法进行科学试验 可以用最少的试验次数 找到最佳的数据 既节省了时间 也节约了原材料 板书设计 4 2 黄金分割 一 1 黄金分割的定义 2 作一条线段的黄金分割点及黄金矩形 3 想一想 二 随堂练习 三 课时小节 四 课后作业 第四章 相似图形 1 线段的比 2 黄金分割 作业导航 理解线段的比 比例线段的概念 掌握比例的基本性质 会进行简单的比例变形和 计算 了解黄金分割的意义 一 选择题 1 等边三角形的一边与这边上的高的比是 A 2B 133 C 2 D 1 33 2 下列各组中的四条线段成比例的是 A a b 3 c 2 d 23 B a 4 b 6 c 5 d 10 C a 2 b c 2 d 5315 D a 2 b 3 c 4 d 1 3 已知线段 a b c d 满足 ab cd 把它改写成比例式 错误的是 A a d c bB a b c d C d a b cD a c d b 4 若 ac bd 则下列各式一定成立的是 A B d c b a c cb d da C D c d b a 2 2 d a cd ab 5 已知点 M 将线段 AB 黄金分割 AM BM 则下列各式中不正确的是 A AM BM AB AM B AM AB 2 15 C BM AB 2 15 D AM 0 618AB 二 填空题 6 在 1 500000 的地图上 A B 两地的距离是 64 cm 则这两地间的实际距离是 7 正方形 ABCD 的一边与其对角线的比等于 8 若 2x 5y 0 则 y x x yx 9 若 则 5 3 b ba b a 10 若 且 AB 12 AC 3 AD 5 则 AE AE AC AD AB 三 解答题 11 已知 求 3 4 2 x yx y x 12 在同一时刻物高与影长成比例 如果一古塔在地面上的影长为 50 m 同时高为 1 5 m 的测杆的影长为 2 5 m 那么古塔的高是多少 13 在 ABC 中 D 是 BC 上一点 若 AB 15 cm AC 10 cm 且 BD DC AB AC BD DC 2 cm 求 BC 14 现有三个数 1 2 请你再添上一个数写出一个比例式 这样的比例式唯一2 吗 15 如果一个矩形 ABCD AB BC 中 0 618 那么这个矩形称为黄 2 15 BC AB 金矩形 黄金矩形给人以美感 在黄金矩形 ABCD 内作正方形 CDEF 得到一个小矩形 ABFE 如图 1 请问矩形 ABFE 是否是黄金矩形 请说明你的结论的正确性 图 1 参考答案 一 1 C 2 C 3 B 4 B 5 C 二 6 320 km 7 1 8 2 5 9 10 2 5 7 5 8 4 5 三 11 12 30 m 13 10 cm 5 3 14 1 2 成比例 1 2 也成比例 比例式不惟一 2 2 222 15 矩形 ABFE 是黄金矩形 由于 设 AB 1 k BC 2k 所以 2 15 BC AB 5 FC CD AB BF BC FC BC AB 2k 1 k 3 k 55 所以 所以矩形 ABFE 是黄金矩形 2 15 15 53 k k AB BF 4 2 黄金分割 班级 姓名 一 请你填一填 1 如图 4 2 1 若点 P 是 AB 的黄金分割点 则线段 AP PB AB 满足关系式 即 AP 是 与 的比例中项 图 4 2 1 2 黄金矩形的宽与长的比大约为 精确到 0 001 3 如果线段 d 是线段 a b c 的第四比例项 其中 a 2 cm b 4 cm c 5 cm 则 d cm 4 已知 O 点是正方形 ABCD 的两条对角线的交点 则 AO AB AC 5 若 3 b d 0 则 d c b a db ca 二 认真选一选 1 已知 那么下列式子成立的是 yx 23 A 3x 2yB xy 6 C D 3 2 y x 3 2 x y 2 把 ab cd 写成比例式 不正确的写法是 2 1 A B b d c a 2 b d c a 2 C D b d c a 2 d a b c2 3 已知线段 x y 满足 x y x y 3 1 那么 x y 等于 A 3 1B 2 3 C 2 1D 3 2 4 有以下命题 如果线段 d 是线段 a b c 的第四比例项 则有 d c b a 如果点 C 是线段 AB 的中点 那么 AC 是 AB BC 的比例中项 如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点 且 AC BC 那么 AC 是 AB 与 BC 的比例中项 如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点 AC BC 且 AB 2 则 AC 15 其中正确的判断有 A 1 个B 2 个 C 3 个D 4 个 三 细心算一算 已知实数 a b c 满足 求的值 c ba b ac a cb a cb 四 好好想一想 以长为 2 的线段 AB 为边作正方形 ABCD 取 AB 的中点 P 连结 PD 在 BA 的延长 线上取点 F 使 PF PD 以 AF 为边作正方形 AMEF 点 M 在 AD 上 如图 4 2 2 图 4 2 2 1 求 AM DM 的长 2 求证 AM2 AD DM 3 根据 2 的结论你能找出图中的黄金分割点吗 参考答案参考答案 4 2 黄金分割 一 1 PB AB 2 0 618 3 10 4 1 即 AP PB AB AP 2 2 2 1 2 5 32 二 1 D 2 B 3 C 4 C 三 解 设 k c ba b ac a cb 则 b c ak c a bk