2014届高考数学一轮复习基础突破训练：2.2《函数的单调性与最值》（新人教A版）

2 22 2 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 一 选择题 1 函数f x 的定义域为 R f 1 2 对任意x R f x 2 则f x 2x 4 的解 集为 A 1 1 B 1 C 1 D 解析 法一 由x R f 1 2 f x 2 可设f x 4x 6 则由 4x 6 2x 4 得x 1 选 B 法二 设g x f x 2x 4 则g 1 f 1 2 1 4 0 g x f x 2 0 g x 在 R 上为增函数 由g x 0 即g x g 1 x 1 选 B 答案 B 2 给定函数 y x y log x 1 y x 1 y 2x 1 其中在区间 0 1 上 1 2 单调递减的函数的序号是 A B C D 解析 y x为增函数 排除 A D y 2x 1为增函数 排除 C 故选 B 答案 B 3 已知偶函数f x 在区间 0 单调增加 则满足f 2x 1 f的x的取值范围是 1 3 A B 1 3 2 3 1 3 2 3 C D 1 2 2 3 1 2 2 3 解析 f x 是偶函数 其图象关于y轴对称 又f x 在 0 上递增 f 2x 1 f 2x 1 x 故选 A 1 3 1 3 1 3 2 3 答案 A 4 函数f x Error a 0 且a 1 是 R 上的减函数 则a的取值范围是 A 0 1 B 1 1 3 C 0 D 0 1 3 2 3 解析 据单调性定义 f x 为减函数应满足 Error 即 a0 得 函数f x 的定义域是 1 4 u x x2 3x 4 x 2 的减区间为 4 e 1 函数f x 的单调减区间为 4 3 2 25 4 3 2 3 2 答案 D 点评 可用筛选法求解 显然x 100 时 f x 无意义 排除 A B f 0 ln4 f 1 ln6 f 0 f 1 排除 C 故选 D 6 设函数y f x 在 内有定义 对于给定的正数K 定义函数fK x Error 取函数f x 2 x 当K 时 函数fK x 的单调递增区间为 1 2 A 0 B 0 C 1 D 1 解析 f x 1 2 Error f x Error 1 2 f x 的图象如上图所示 因此f x 的单调递增区间为 1 1 2 1 2 答案 C 7 已知偶函数y f x 对任意实数x都有f x 1 f x 且在 0 1 上单调递减 则 A f f f 7 2 7 3 7 5 B f f f 7 5 7 2 7 3 C f f f 7 3 7 2 7 5 D f ff f 1 3 1 2 3 5 f f f 7 3 7 2 7 5 答案 B 二 填空题 8 函数y ln 的单调递增区间是 1 x 1 x 解析 本题考查复合函数单调区间的确定 据题意需满足 0 即函数定义域为 1 1 1 x 1 x 原函数的递增区间即为函数u x 在 1 1 上的递增区间 由于u x 1 x 1 x 1 x 1 x 0 故函数u x 的递增区间 1 1 即为原函数的递增区间 2 1 x 2 1 x 1 x 答案 1 1 9 如果函数f x ax2 2x 3 在区间 4 上单调递增 则实数a的取值范围是 解析 1 当a 0 时 f x 2x 3 在定义域 R 上单调递增 故在 4 上单调递增 2 当a 0 时 二次函数f x 的对称轴为直线x 因为f x 在 4 上单调递增 1 a 所以a 0 且 4 解得 af 2x 的x的范围是 解析 f x Error 的图象如图所示 不等式f 1 x2 f 2x 等价于 Error 或Error 解得 1 x 1 2 答案 1 1 2 11 已知函数y 2sin x 为偶函数 0 其图象与直线y 2 某两个交点的横 坐标分别为x1 x2 若 x2 x1 的最小值为 则该函数的增区间为 解析 y 2sin x 为偶函数 0 0 且f x 在 1 内单调递减 求a的取值范围 解 1 证明 任设x1 x20 x1 x2 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 在 2 内单调递增 2 任设 1 x10 x2 x1 0 要使f x1 f x2 0 只需 x1 a x2 a 0 恒成立 a 1 综上所述 a的取值范围 是 0 1 14 已知函数f x a 2x b 3x 其中常数a b满足ab 0 1 若ab 0 判断函数f x 的单调性 2 若ab 0 求f x 1 f x 时的x的取值范围 解 1 当a 0 b 0 时 因为a 2x b 3x都单调递增 所 以函数f x 单调递增 当a 0 b 0 时 因为a 2x b 3x都单调递减 所以函数f x 单调递减 2 f x 1 f x a 2x 2b 3x 0 i 当a 0 b 0 时 x 3 2 a 2b 解得x log 3 2 a 2b ii 当a 0 b 0 时 x 3 2 a 2b 解得x log 3 2 a 2b 15 函数f x 对任意的a b R 都有f a b f a f b 1 并且当x 0 时 f x 1 1 求证 f x 是 R 上的增函数 2 若f 4 5 解不等式f 3m2 m 2 3 1 证明 设x1 x2 R 且x10 f x2 x1 1 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 1 f x1 f x2 x1 1 0 f x2 f x1 即f x 是 R 上的增函数 2 解 f 4 f 2 2 f 2 f 2 1 5 f 2 3 原不等式可化为f 3m2 m 2 f 2 f x 是 R 上的增函数 3m2 m 2 2 解得 1 m 故解集为 4 3 1 4 3 16 设函数f x ax2 bx c a b c为实数 且a 0 F x Error 1 若f 1 0 曲线y f x 通过点 0 2a 3 且在点 1 f 1 处的切线垂直于 y轴 求F x 的表达式 2 在 1 的条件下 当x 1 1 时 g x kx f x 是单调函数 求实数k的取值范围 3 设mn0 a 0 且f x 为偶函数 证明F m F n 0 解析 1 因为f x ax2 bx c 所以f x 2ax b 又曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线垂直于y轴 故f 1 0 即 2a b 0 因此b 2a 因为f 1 0 所以b a c 又因为曲线y f x 通过点 0 2a 3 所以c 2a 3 解由 组成的方程组得 a 3 b 6 c 3 从而f x 3x2 6x 3 所以F x Error 2 由 1 知f x 3x2 6x 3 所以g x kx f x 3x