2014届高考数学（理）一轮复习备考精析教案：12.2《排列与组合》（新人教A版）

12 212 2 排列与组合排列与组合 典例精析 题型一 排列数与组合数的计算 例 1 计算 1 2 C C C 8 A6 6 A2 8 A 4 103 33 43 10 解析 1 原式 8 7 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 8 7 10 9 8 7 57 6 5 4 3 2 56 89 5 130 623 2 原式 C C C C C C C C C C C 330 4 43 43 53 104 53 53 104 63 63 104 11 点拨 在使用排列数公式 A 进行计算时 要注意公式成立的条件 m n n n m m n N m n 另外 应注意组合数的性质的灵活运用 变式训练 1 解不等式 x 9 A 6 2 9 A x 解析 原不等式即 6 9 9 x 9 11 x 也就是 9 10 11 6 xxx 1 9 x 化简得 x2 21x 104 0 解得 x 8 或 x 13 又因为 2 x 9 且 x N 所以原不等式的解集为 2 3 4 5 6 7 题型二 有限制条件的排列问题 例 2 3 男 3 女共 6 个同学排成一行 1 女生都排在一起 有多少种排法 2 女生与男生相间 有多少种排法 3 任何两个男生都不相邻 有多少种排法 4 3 名男生不排在一起 有多少种排法 5 男生甲与男生乙中间必须排而且只能排 2 位女生 女生又不能排在队伍的两端 有几种 排法 解析 1 将 3 名女生看作一人 就是 4 个元素的全排列 有 A 种排法 又 3 名女生内部 4 4 可有 A 种排法 所以共有 A A 144 种排法 3 34 43 3 2 男生自己排 女生也自己排 然后相间插入 此时有 2 种插法 所以女生与男生相间共 有 2A A 72 种排法 3 33 3 3 女生先排 女生之间及首尾共有 4 个空隙 任取其中 3 个安插男生即可 因而任何两个 男生都不相邻的排法共有 A A 144 种 3 33 4 4 直接分类较复杂 可用间接法 即从 6 个人的排列总数中 减去 3 名男生排在一起的排 法种数 得 3 名男生不排在一起的排法种数为 A A A 576 种 6 63 3 4 4 5 先将 2 个女生排在男生甲 乙之间 有 A 种排法 又甲 乙之间还有 A 种排法 这样就 2 32 2 有 A A 种排法 然后把他们 4 人看成一个元素 相当于一个男生 这一元素及另 1 名男 2 32 2 生排在首尾 有 A 种排法 最后将余下的女生排在其间 有 1 种排法 故总排法为 2 2 A A A 24 种 2 3 2 2 2 2 点拨 排列问题的本质就是 元素 占 位子 问题 有限制条件的排列问题的限制主 要表现在 某些元素 排 或 不排 在哪个位子上 某些元素 相邻 或 不相邻 对 于这类问题 在分析时 主要按照 优先 原则 即优先安排特殊元素或优先满足特殊位 子 对于 相邻 问题可用 捆绑法 对于 不相邻 问题可用 插空法 对于直接考 虑较困难的问题 可以采用间接法 变式训练 2 把 1 2 3 4 5 这五个数字组成无重复数字的五位数 并把它们按由小到大 的顺序排列构成一个数列 1 43 251 是这个数列的第几项 2 这个数列的第 97 项是多少 解析 1 不大于 43 251 的五位数 A A A A 88 个 即为此数列的第 88 项 5 54 43 32 2 2 此数列共有 120 项 而以 5 开头的五位数恰好有 A 24 个 所以以 5 开头的五位数中 4 4 最小的一个就是该数列的第 97 项 即 51 234 题型三 有限制条件的组合问题 例 3 要从 12 人中选出 5 人去参加一项活动 1 A B C 三人必须入选有多少种不同选法 2 A B C 三人都不能入选有多少种不同选法 3 A B C 三人只有一人入选有多少种不同选法 4 A B C 三人至少一人入选有多少种不同选法 5 A B C 三人至多二人入选有多少种不同选法 解析 1 只须从 A B C 之外的 9 人中选择 2 人 C 36 种不同选法 2 9 2 由 A B C 三人都不能入选只须从余下 9 人中选择 5 人 即有 C C 126 种选法 5 94 9 3 可分两步 先从 A B C 三人中选出 1 人 有 C 种选法 再从余下的 9 人中选 4 人 1 3 有 C 种选法 所以共有 C C 378 种选法 4 91 34 9 4 可考虑间接法 从 12 人中选 5 人共有 C种 再减去 A B C 三人都不入选的情况 5 12 C 共有 C C 666 种选法 5 95 125 9 5 可考虑间接法 从 12 人中选 5 人共有 C种 再减去 A B C 三人都入选的情况 C 种 5 122 9 所以共有 C C 756 种选法 5 122 9 点拨 遇到至多 至少的有关计数问题 可以用间接法求解 对于有限制条件的问题 一 般要根据特殊元素分类 变式训练 3 四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点 1 在其中取 4 个共面的点 共有多少种不同的取法 2 在其中取 4 个不共面的点 共有多少种不同的取法 解析 1 四个点共面的取法可分三类 第一类 在同一个面上取 共有 4C 种 第二类 4 6 在一条棱上取三点 再在它所对的棱上取中点 共有 6 种 第三类 在六条棱的六个中点 中取 取两对对棱的 4 个中点