2014届江苏省江南大学附中高考数学一轮复习单元训练：《计数原理》

计数原理计数原理 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 若 25 21 x 2410 0125 aa xa xa x 则 135 aaa 的值为 A 121B 122C 124D 120 答案 B 2 某团支部进行换届选举 从甲 乙 丙 丁四人中选出三人分别担任书记 副书记 组 织委员 规定上届任职的甲 乙 丙三人不能连任原职 则不同的任职方案有 A 10B 11C 12D 13 答案 B 3 将标号为 1 2 3 4 5 6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中 若每个信封放 2 张 其中标号为 1 2 的卡片放入同一信封 则不同的放法共有 A 12 种B 18 种C 36 种D 54 种 答案 B 4 在某种信息传输过程中 用 4 个数字的一个排列 数字允许重复 表示一个信息 不同 排列表示不同信息 若所用数字只有 0 和 1 则与信息 0110 至多有两个对应位置上的 数字相同的信息个数为 A 10B 11C 12D 15 答案 B 5 若 n x 31 展开式各项系数和为 256 设 i 为虚数单位 复数 n i 1 的运算结果为 A 4B 4C 2D 2 答案 B 6 9 件产品中 有 4 件一等品 3 件二等品 2 件三等品 现在要从中抽出 4 件产品来检 查 至少有两件一等品的种数是 A 2 5 2 4 CC B 4 4 3 4 2 4 CCC C 2 5 2 4 CC D 0 5 4 4 1 5 3 4 2 5 2 4 CCCCCC 答案 D 7 毕业之际 2 名教师与 4 名学生站成一排合影留念 则 2 名教师之间恰好站有 2 名学生 的不同站法种数为 A 48B 72C 144D 288 答案 C 8 2010 年上海世博会组委会分配甲 乙 丙 丁四人做三项不同的工作 每一项工作至 少分一人 且甲 乙两人不能同时做同一项工作 则不同的分配种数是 A 24B 30C 36D 48 答案 B 9 二项式 30 3 2 a a 的展开式的常数项为第 项 A 17B 18 C 19D 20 答案 B 10 将 5 种不同的商品在货架上排成一排 其中甲乙两种必须排在一起 丙 丁两种不能 在一起 则不同的排法种数是 A 12 种B 20 种C 24 种D 48 种 答案 C 11 设5 n xx 的展开式的各项系数之和为 M 二项式系数之和为 N 若 M N 240 则展 开式中 x3的系数为 A 150B 150C 500D 500 答案 B 12 二项式 4 1 x x的展开式中的常数项是 A 12B 6C 2D 1 答案 B 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 把正确答案填在题中横线上 13 若 29 1 ax x 的展开式的常数项为 84 则a的值为 答案 1 14 将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官 每个乡镇至少一名 则不同的分配方案有 种 用数字作答 答案 36 15 将 3 种作物种植在如图 5 块试验田里 每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同 一作物 不同的种植方法共有 种 以数字做答 答案 42 16 若 32 1 na a 的展开式中含 3 a项 则最小自然数n是 答案 7 三 解答题三 解答题 本大题共 6 个小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知 n n n xaxaxaax1111 2 210 2Nnn 1 当5 n时 求 54321 aaaaa 的值 2 设 nn n n bbbT a b 32 3 2 2 试用数学归纳法证明 当2 n时 3 11 nnn Tn 答案 1 记 5 1 xxf 则 55 54321 2312 ffaaaaa 2 设yx 1 则原展开式变为 n n n yayayaay 2 2 210 则 22 2 2 n n Ca 所以 1 2 3 2 nn a b n n 当2 n时 2 2 22 bT 结论成立 假设kn 时成立 即 3 11 kkk Tk 那么1 kn时 kk kkk bTT kkk 1 3 11 11 3 21 1 3 1 1 kkkk kk 3 11111 kkk 结论成立 所以当2 n时 3 11 nnn Tn 18 二项式 n x x 2 1 3 展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的 4 倍 求 1 n 2 展开式中的所有的有理项 答案 1 二项式的通项 14 33 1 3 11 1 22 nr rn rrrr rnn r x TCC x x 依题意 42 1 4 1 2 r nn r CC 解得 n 6 2 由 1 得 1 6 4 3 16 1 1 2 r rr r r TC x 当 r 0 3 6 时为有理项 故有理项有 1 2 1 T x 2 4 5 2 Tx 6 7 64 x T 19 从1 3 5 7 9中任取 2 个数 从0 2 4 6中任取 2 个数 能组成多少个没有重复数字 的四位数 若将 中所有个位是5的四位数从小到大排成一列 则第100个数是多少 答案 不用 0 时 有 224 534 720C CA 个 用 0 时 有 213 533 3540C CA 个 共有 1260个四位数 1 5 中间所缺的两数只能从0 2 4 6中选排 有 2 4 12A 个 2 5 中间所缺的两数是奇偶数各一个 有 112 432 24C C A 个 3 5 仿 1 5 也有 2 4 12A 个 4 5 仿 2 5 也有 112 432 24C C A 个 6 5 也有 112 432 24C C A 个 即小于7000的数共有96个 故第97个数是7025 第98个数是7045 第99个数是7065 第100个数是7205 20 已知xxp n n xxf 1 1 若 567 1 2 3 g xpfxpfxpfx 求 xg的展开式中 5 x的系数 2 证明 1 121 2 1 1 32 m nm m nm m m m m m m C m nm nCCCC Nnm 答案 1 由已知得 xg 765 1 3 1 2 1 xxx xg的展开式中 5 x的系数为 5 7 5 6 5 5 32CCC 76 2 由 1 知 m nm m m m m m m nCCCC 121 32 应当为函数 121 1 1 3 1 2 1 nmmmm xnxxxxh 展开式中 m x的系数 又 nmmmm xnxxxxhx 1 1 3 1 2 1 1 321 两式相减得 121 1 1 1 1 1 mmmm nm n xh xxxxxnx 1 1 1 1 1 1 mn m n xx nx x 所以 nmnmm xnxxxxhx 1 1 1 2 所以 xh展开式中 m x的系数等于 2 xhx展开式中 2m x 的系数 因为此系数为 112 2 1 1 m nm m nm m nm C m nm nCC 所以 1 121 2 1 1 32 m nm m nm m m m m m m C m nm nCCCC Nnm 21 已知 2 8 2 Nn x x 1 求展开式中各项系数和 2 二项式系数最大的项 3 求展开式中含 2 3 x的项 4 求展开式中系数最大的项 答案 1 取1 x得各项系数和为 8 21 1 2 由8 n知第 5 项二项式系数最大 此时 6 5 1120 xT 3 由通项公式 r r r r r r r xCr x xCT 2 2 8 8 2 8 81 2 2 令1 2 3 2 2 8 rr r 则 故展开式中含 2 3 x的项为 16 2 T2 3 x 3 设展开式中第1 r的系数的绝对值最大 则 r r r r r r r r CC CC 22 22 8 1 1 8 8 1 1 8 解得65 r 且 Nr 所以6 5 rr 又 6 T的系数为负 所以系数最大的项为 11 7 1792 xT 22 一个盒子装有七张卡片 上面分别写着七个定义域为R的函数 3 1 xxf 2 2 xxf xxf 3 xxfcos 4 xxfsin 5 xxf 2 6 2 7 xxf 从盒子里任取两张卡片 1 至少有一张卡片上写着奇函数的取法有多少种 用数字表示 2 两卡片上函数之积为偶函数的取法有多少种 用数字表示 答案 1 奇函数有 3 1 xxf xxf 3 xxfsin 5 偶函数有 2 2 xxf xxfcos 4 非奇非偶函数