不等式的方法归纳

1 不等式不等式 不等式的基本性质不等式的基本性质 对称性 a bb a 传递性 a b b ca c 可加性 a b a c b c 可积性 a b c 0ac bc a b c 0ac b c d a c b d 乘法法则 a b 0 c d 0 ac bd 乘方法则 a b 0 an bn n N 开方法则 a b 0 Nnba nn 2 算术平均数与几何平均数定理 算术平均数与几何平均数定理 1 如果 a b R 那么 a2 b2 2ab 当且仅当 a b 时等号 2 如果 a b R 那么 当且仅当 a b 时等号 ab ba 2 如果如果为实数 则为实数 则 a b 2 22 22 abab ab 重要结论重要结论 1 如果积 xy 是定值 P 那么当 x y 时 和 x y 有最小值 2 P 2 如果和 x y 是定值 S 那么当 x y 时 和 xy 有最大值 S2 4 3 证明不等式的常用方法 证明不等式的常用方法 比较法 比较法 比较法是最基本 最重要的方法 当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式 则选择作差比较法 当不等式的两边都是正数且它们的商能与 1 比较大小 则选择作商比较法 碰到 绝对值或根式 我们还可以考虑作平方差 综合法 综合法 从已知或已证明过的不等式出发 根据不等式的性质推导出欲证的不等式 综合法的放缩 经常用到均值不等式 分析法分析法 不等式两边的联系不够清楚 通过寻找不等式成立的充分条件 逐步将欲证的不等式转化 直到寻找到易证或已知成立的结论 4 不等式的解法 不等式的解法 1 不等式的有关概念 同解不等式 同解不等式 两个不等式如果解集相同 那么这两个不等式叫做同解不等式 同解变形 同解变形 一个不等式变形为另一个不等式时 如果这两个不等式是同解不等式 那么这种变 b a mb ma bamba 则 都是正数 且 结论 已知 2 形叫做同解变形 提问 请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形 去分母 去括号 移项 合并同类项 2 不等式不等式 ax b 的解法的解法 当 a 0 时不等式的解集是 x x b a 当 a 0 时不等式的解集是 x x b a 当 a 0 时 b a f x a 或 f x a f x a a f x a a 0 f2 x a2 f x 0 f2 x b 且且 abb 则 a b B 若 a b 则 1 ab 则 a3 b3 D 若 a b 则 a b 1 2 已知 a 0 1 bab ab2 B ab2 ab a C ab a ab2 D ab ab2 a 3 当 0 a b 1 a b B 1 a a 1 b b C 1 a b 1 a b 2 D 1 a a 1 b b 4 若 loga3 logb3 0 则 a b 的关系是 B A 0 a ba 1 C 0 b a 1 D 1 bb 0 则下列不等式 1 ab2 lg a2 1 lg b2 1 2a 2b中成立的是 A A B C D 二 比较大小 二 比较大小 1 若 0 lg2x lg lgx 4 设 a 0 a 1 比较 logat 2 与 loga t 1 2 的大小 的大小 试 比较 是不相等的正数 设 的大小 与 比较 若 的大小 与 比较 QHGA 2 ba Q 1 b1 a 2 HabG 2 ba Aba7 1aaNa1aM1a6 b a a b 5 22 分析 要比较大小的式子较多 为避免盲目性 可先取特殊值估测各式大小关系 然后用比较法 作 差 即可 三 利用不等式性质判断 三 利用不等式性质判断 P P 是是 Q Q 的充分条件和必要条件的充分条件和必要条件 1 设 x y R 判断下列各题中 命题甲与命题乙的充分必要关系 命题甲 x 0 且 y 0 命题乙 x y 0 且 xy 0 充要条件 命题甲 x 2 且 y 2 命题乙 x y 4 且 xy 4 充分不必要条件 2 已知四个命题 其中 a b R a2 b2的充要条件是 a b a2 b2的充要条件是 a 2 b 2 a2 b2的充要条件是 a b 与 a b 异号 a22c 的一个充分条件是 C A a c 或 b c B a c 或 b c C a c 且 b c D a c 且 b c 四 范围问题 四 范围问题 1 设 60 a 84 28 b 33 求 a b a b a b 的范围 2 若二次函数 y f x 的图象过原点 且 1 f 1 2 3 f 1 3 求 f 2 的范围 五 均值不等式变形问题 五 均值不等式变形问题 1 当 a b R 时 下列不等式不正确的是 D A a2 b2 2 a b B a 2 b 2 2 ab C a 2 b 2 2 a2 2 b2 2 D log1 2 a2 b2 log1 2 2 a b 4 2 x y 0 则下列不等式中等号不成立的是 A 2 x 1 x 1 x 1 xA 4 y 1 y x 1 xB C x y 1 x 1 y 4 D lgx 2 lgy 2 2 lg2x 2 lg2y 2 3 已知 a 0 b 0 a b 1 则 1 a2 1 1 b2 1 的最小值为 D A 6 B 7 C 8 D 9 4 已知 a 0 b 0 c 0 a b c 1 求证 1 a 1 b 1 c 9 5 已知 a 0 b 0 c 0 d 0 求证 4 ac adbc bd bcad 六 求函数最值 六 求函数最值 1 若 x 4 函数 时 函数有最 值是 当 x 4 1 x xy 5 大 6 2 设 x y R x y 5 则 3x 3y的最小值是 D A 10 B C D 3664318 3 下列各式中最小值等于 2 的是 D A x y y x B C tan cot D 2x 2 x 4 5 2 2 x x 4 已知实数 a b c d 满足 a b 7 c d 5 求 a c 2 b d 2的最小值 5 已知 x 0 y 0 2x y 1 求 1 x 1 y 的最小值 八 比较法证明不等式 八 比较法证明不等式 1 已知 a b m n R 证明 am n bm n ambn anbm 变 已知 a b R 证明 a3 b b3 a a2 b2 2 已知 a b R f x 2x2 1 a b 1 证明 对任意实数 p q 恒有 a f p b f q f ap bq 九 综合法证明不等式 九 综合法证明不等式 1 已知 a b c 为不全相等的正数 求证 3 c cba b bca a acb 2 已知 a b c R 且 a b c 1 求证 a2 b2 c2 1 3 3 已知 a b c 为不全相等的正数 且 abc 1 求证 cba cba 111 4 已知 a b R a b 1 求证 22 12 1 ba 1 的代换的代换 5 十 分析法证明不等式 十 分析法证明不等式 1 已知 a b c 为不全相等的正数 求证 bc a ac b ab c a b c 2 已知函数 f x lg 1 x 1 x1 x2 0 1 2 且 x1 x2 求证 22 2121 xx f xfxf 3 设实数 x y 满足 y x2 0 0 ab c 求证 cacbba 411 4 已知 a b c R 且 a b c 求证 c c b b a a 111 5 已知 a b c R 证明 a2 ac c2 3b a b c 0 并指出等号何时成立 分析 整理成关于 a 的二次函数 f a a2 c 3b a 3b2 3bc c2 c 3b 2 4 3b2 3bc c2 3 b2 2bc c2 0 f a 0 6 已知 x2 2xy y2 x y 1 0 求证 1 3 y x 3 7 在直角三角形 ABC 中 角 C 为直角 n 2 且 n N 求证 cn an bn 都成立 对所有正整数求证 设 n 2 1 n a 2 1 n n N n1 n n433221a8 2 n n 十二 解不等式 十二 解不等式 1 解不等式 2 3 3 2 1 1 xxx 2 解关于 x 的不等式 0 2 2 xx xa 十五 绝对值不等式定理中等号成立的问题 十五 绝对值不等式定理中等号成立的问题