广东省东莞市2013届高三数学一模试题 文（含解析）新人教A版

1 20132013 年广东省东莞市高考数学一模试卷 文科 年广东省东莞市高考数学一模试卷 文科 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 满分 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 5 分 2008 海南 已知集合 M x x 2 x 1 0 N x x 1 0 则 M N A 1 1 B 2 1 C 2 1 D 1 2 考点 交集及其运算 分析 由题意 M x x 2 x 1 0 N x x 1 0 解出 M 和 N 然后根据交集的定 义和运算法则进行计算 解答 解 集合 M x x 2 x 1 0 M x 2 x 1 N x x 1 0 N x x 1 M N x 2 x 1 故选 C 点评 此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的交集及补集运算 一元二次不等式的 解法及集合间的交 并 补运算布高考中的常考内容 要认真掌握 并确保得分 2 5 分 2008 海南 已知复数 z 1 i 则 A 2B 2C 2iD 2i 考点 复数代数形式的混合运算 分析 把复数 z 代入化简 复数的分子化简即可 解答 解 将 z 1 i 代入得 故选 A 点评 复数的加减 乘除及乘方运算是需要掌握的内容 基础题目 3 5 分 2012 重庆 设 x R 向量 x 1 1 2 且 则 A B C 2D 10 2 考点 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角 专题 计算题 分析 通过向量的垂直 求出向量 推出 然后求出模 解答 解 因为 x R 向量 x 1 1 2 且 所以 x 2 0 所以 2 1 所以 3 1 所以 故选 B 点评 本题考查向量的基本运算 模的求法 考查计算能力 4 5 分 2013 东莞一模 已知函数 f x 则 f 2 log32 的值 为 A B C D 54 考 点 对数的运算性质 函数的值 专 题 计算题 分 析 先确定 2 log32 的范围 从而确定 f 2 log32 的值 解 答 解 2 log31 2 log32 2 log33 即 2 2 log32 3 f 2 log32 f 2 log32 1 f 3 log32 又 3 3 log32 4 f 3 log32 f 2 log32 3 故选 B 点 评 本题考查指数运算和对数运算 要求能熟练应用指数运算法则和对数运算法则 属简单 题 5 5 分 2009 湖北 sin 是 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 考点 二倍角的余弦 分析 利用二倍角的余弦函数公式化简 cos2 得到 sin 的值等于两个值 得到 sin 是 的充分不必要条件即可 解答 解 由可得 故是成立的充分不必要条件 故选 A 点评 此题考查学生掌握充分及必要条件的证明方法 灵活意义二倍角的余弦函数公式化 简求值 是一道基础题 6 5 分 2009 宁夏 已知圆 C1 x 1 2 y 1 2 1 圆 C2与圆 C1关于直线 x y 1 0 对称 则圆 C2的方程为 A x 2 2 y 2 2 1 B x 2 2 y 2 2 1 C x 2 2 y 2 2 1 D x 2 2 y 2 2 1 考点 关于点 直线对称的圆的方程 专题 计算题 分析 求出圆 C1 x 1 2 y 1 2 1 的圆心坐标 关于直线 x y 1 0 对称的圆心坐 标求出 即可得到圆 C2的方程 解答 解 圆 C1 x 1 2 y 1 2 1 的圆心坐标 1 1 关于直线 x y 1 0 对称 的圆心坐标为 2 2 所求的圆 C2的方程为 x 2 2 y 2 2 1 故选 B 点评 本题是基础题 考查点关于直线对称的圆的方程的求法 考查计算能力 注意对称 点的坐标的求法是本题的关键 4 7 5 分 2013 东莞一模 已知双曲线 抛物线 y2 2px p 0 若抛物线的 焦点到双曲线的渐近线的距离为 3 则 p A B 5C D 10 考点 双曲线的简单性质 专题 计算题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 根据双曲线的方程 解出它的渐近线方程为 3x 4y 0 抛物线的焦点坐标为 F 0 且 F 到 3x 4y 0 的距离为 3 由点到直线的距离公式建立关于 p 的方程 解之即可得到 p 的值 解答 解 双曲线方程为 令 得双曲线的渐近线为 y x 即 3x 4y 0 抛物线 y2 2px p 0 的焦点坐标为 F 0 F 到渐近线的距离为 d 3 解之得 p 10 舍负 故选 D 点评 本题给出抛物线的焦点到已知双曲线的渐近线距离等于 3 求抛物线的焦参数 p 的 值 着重考查了抛物线 双曲线的标准方程与简单几何性质等知识 属于基础题 8 5 分 2013 东莞一模 图是某算法的程序框图 则程序运行后输出的 T 是 A 1B 2C 3D 4 考点 程序框图 专题 图表型 分析 直接计算循环后的结果 当 k 6 时不满足判断框的条件 推出循环输出结果即可 5 解答 解 第一次循环有 a 1 T 1 K 2 第二次循环有 a 0 T 1 k 3 第三次循环有 a 0 T 1 k 4 第四次循环有 a 1 T 2 k 5 第五次循环有 a 1 T 3 k 6 此时不满足条件 输出 T 3 故选 C 点评 本题考查循环结构的作用 循环中两次判断框 题目比较新 考查学生分析问题解 决问题的能力 9 5 分 2013 东莞一模 甲 乙两名同学在 5 次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示 若甲 乙两人的平均成绩分别为 则下列结论正确的是 A 乙比甲成绩稳定 B 甲比乙成绩稳定 C 甲比乙成绩稳定 D 乙比甲成绩稳定 考点 茎叶图 专题 概率与统计 分析 根据所给的茎叶图 看出甲和乙的成绩 算出两个人的平均分 结果平均分甲小于 乙 再算出两个人的成绩的方差 乙的方差小于甲的方差 得到结果 解答 解 由茎叶图知 可知道甲的成绩为 72 86 92 平均成绩为 83 3 乙的成绩为 78 82 88 92 95 平均成绩为 87 再比较方差 甲的方差约为 70 乙的方差约为 39 39 70 乙比甲成绩稳定 故选 D 点评 本题考查茎叶图 考查平均数和方差 是一个统计问题 解题过程中只是单纯的数 字的运算 是一个必得分题目 10 5 分 2013 东莞一模 在区间 0 1 上任意取两个实数 a b 则函数 在区间 1 1 上有且仅有一个零点的概率为 A B C D 6 考点 几何概型 专题 计算题 分析 由题意知本题是一个几何概型 根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对 应的面积 而满足条件的事件是函数 f x x3 ax b 在区间 1 1 上有且仅有 一个零点 求出导函数 看出函数是一个增函数 有零点等价于在自变量区间的两 个端点处函数值符号相反 得到条件 做出面积 根据几何概型概率公式得到结 果 解答 解 由题意知本题是一个几何概型 a 0 1 f x 1 5x2 a 0 f x 是增函数若在 1 1 有且仅有一个零点 则 f 1 f 1 0 0 5 a b 0 5 a b 0 即 0 5 a b 0 5 a b 0 a 看作自变 量 x b 看作函数 y 由线性规划内容知全部事件的面积为 1 1 1 满足条件的面积 为 概率为 故选 C 点评 本题是一个几何概型 对于这样的问题 一般要通过把试验发生包含的事件同集合 结合起来 根据集合对应的图形做出面积 用面积的比值得到结果 二 填空题 本大题共 5 小题 考生作答 4 小题 每小题 5 分 满分 20 分 11 5 分 2013 东莞一模 在等差数列 an 中 若 a1 a5 a9 则 tan a4 a6 考点 等差数列的性质 专题 计算题 等差数列与等比数列 分析 由等差数列的性质可知 a1 a5 a9 3a5 可求 a5 然后代人 tan a4 a6 tan2a5可 求 解答 解 由等差数列的性质可知 a1 a5 a9 3a5 a5 则 tan a4 a6 tan2a5 故答案为 点评 本题主要考查了等差数列的性质的简单应用 属于基础试题 7 12 5 分 2013 东莞一模 某路口的机动车隔离墩的三视图如下图所示 其中正视图 侧视图都是由半圆和矩形组成 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可求得隔离墩的体积为 cm3 考点 由三视图求面积 体积 专题 计算题 分析 由三视图知该几何体为圆柱上面叠一半球 半球的直径为 20cm 圆柱的底面是一个 直径是 20 的圆 圆柱的高是 30 关键所给的数据 做出两个几何体的体积 再求和 可得答案 解答 解 由三视图知该几何体为圆柱上面叠一半球 半球的直径为 20cm 圆柱的底面是一个直径是 20 的圆 圆柱的高是 30 其体积 故答案为 点评 本题考查由三视图求空间组合体的体积 解题的关键是从三视图中确定两个图形的 形状 确定各个部分的数据 最后求体积就比较简单了 13 5 分 2013 东莞一模 在同一平面直角坐标系中 已知函数 y f x 的图象与 y ex的图象关于直线 y x 对称 则函数 y f x 对应的曲线在点 e f e 处的切线方 程为 x ey 0 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题 导数的综合应用 分析 根据两函数的图象关于 y x 对称可知 两函数互为反函数 所以求出已知函数的反 函数即可得到 f x 的解析式 再求出 f x 的导函数 把 x 等于 e 代入导函数求 出值即为切线方程的斜率 然后把 x 等于 e 代入 f x 中求出切点的纵坐标 根据 切点坐标和斜率写出切线方程即可 解答 解 根据题意 函数 y f x 的图象与 y ex的图象关于直线 y x 对称 8 由 y ex 解得 x lny 所以 f x lnx f x 所以切线的斜率 k f e 把 x e 代入 f x 中得 f e lne 1 所以切点坐标为 e 1 则所求的切线方程为 y 1 x e 化简得 x ey 0 故答案为 x ey 0 点评 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率 掌握两函数互为反函数 的条件 会根据一点和斜率写出直线的方程 是一道综合题 14 5 分 2013 东莞一模 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 直线 R 与圆 4cos 4sin 交于 A B 两点 则 AB 8 考点 简单曲线的极坐标方程 直线与圆相交的性质 专题 计算题 分析 把极坐标方程化为直角坐标方程 求出圆心到直线的距离等于 0 说明弦长就是直 径 解答 解 直线 R 即 圆 4cos 4sin 即 2 4 cos 4 sin 即 表示以 2 2 为圆心 以 4 为半径 的圆 圆心到直线的距离为 d 0 故弦长 AB 是直径 8 故答案为 8 点评 本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法 点到直线的距离公式的应用 求 出心到直线的距离是解题的关键 15 2013 东莞一模 几何证明选讲选做题 如图所示 圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D CD 4 BD 8 则线段 DO 的长等于 3 9 考点 平行投影 与圆有关的比例线段 专题 计算题 分析 连接 OC 由圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D CD 4 BD 8 知 CD BD 设圆半 径为 r 在 Rt ODC 中 则 16 8 r 2 r2 解得 r 5 由此能求出线段 DO 的长 解答 解 连接 OC 圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D CD 4 BD 8 CD BD 设圆半径为 r 在 Rt ODC 中 CD 4 OD 8 r OC r 16 8 r 2 r2 解得 r 5 线段 DO 8 5 3 故答案为 3 点评 本题考查平行投影的性质和应用 是基础题 解题时要认真审题 注意与圆有关的 比例线段的灵活运用 三 解答题 共 80 分 16 12 分 2013 东莞一模 向量 已知 且有函数 y f x 1 求函数 y f x 的周期 2 已知锐角 ABC 的三个内角分别为 A B C 若有 边 求 AC 的长及 ABC 的面积 考点 余弦定理 平行向量与共线向量 两角和与差的正弦函数 正弦定理 专题 解三角形 分析 由两向量的坐标及平行向量满足的条件列出关系式 利用两角和与差的正弦函数公 式整理后得出 f x 的解析式 1 找出 的值 代入周期公式即可求出函数的最小正周期 2 由 f A 得 sinA 的值 根据三角形 ABC 为锐角三角形 利用特殊角 的三角函数值求出 A 的度数 确定出 sinA 的值 再由 BC 及 sinB 的值 利用正弦定 10 理求出 AC 的长 再由 BC AC 及 cosA 的值 利用余弦定理求出 AB 的长 由 AB AC 及 sinA 的值 利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积 解答 解 sinx cosx 1 y y sinx cosx 0 即 y f x 2sin x 1 1 函数 f x 的周期为 T 2 2 由 f A 得 2sin A 即 sinA ABC 是锐角三角形 A 由正弦定理 及条件 BC sinB 得 AC 2 又 BC2 AB2 AC2 2AB AC cosA 即 7 AB2 4 2 AB 2 解得 AB 3 S ABC AB AC sinA 点评 此题考查了正弦 余弦定理 平行向量与共线向量 两角和与差的正弦函数公式 以及特殊角的三角函数值 熟练掌握正弦 余弦定理是解本题的关键 17 12 分 2013 东莞一模 从某学校高三年级 800 名学生中随机抽取 50 名测量身高 据测量被抽取的学生的身高全部介于 155cm 和 195cm 之间 将测量结果按如下方式分成八 组 第一组 155 160 第二组 160 165 第八组 190 195 图是按上述分组方法 得到的条形图 1 根据已知条件填写下面表格 组 别 12345678 样本数 2 估计这所学校高三年级 800 名学生中身高在 180cm 以上 含 180cm 的人数 11 3 在样本中 若第二组有 1 人为男生 其余为女生 第七组有 1 人为女生 其余为男生 在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组 问 实验小组中恰为一男一女的概率是 多少 考 点 频率分布直方图 专 题 计算题 分 析 1 由频率分布直方图分析可得各数据段的频率 再由频率与频数的关系 可得频 数 2 从图得到身高在 180cm 以上的人数 由此估计高三年级 800 名学生中身高在 180cm 以上 含 180cm 的人数即可 3 第三问是属于古典概型的问题 可通过基本事件列表法算出 如果一个事件有 n 种可能 而且这些事件的可能性相同 其中事件 A 出现 m 种结果 那么事件 A 的概率 P A 解 答 解 1 由条形图得第七组频率为 1 0 04 2 0 08 2 0 2 2 0 3 0 06 0 06 50 3 第七组的人数为 3 人 2 由条形图得前五组频率为 0 008 0 016 0 04 0 04 0 06 5 0 82 后三组频 率为 1 0 82 0 18 估计这所学校高三年级身高在 180cm 以上 含 180cm 的人数 800 0 18 144 人 3 第二组四人记为 a b c d 其中 a 为男生 b c d 为女生 第七组三人记为 1 2 3 其中 1 2 为男生 3 为女生 基本事件列表如下 所以基本事件有 12 个 恰为一男一女的事件有 1b 1c 1d 2b 2c 2d 3a 共 7 个 因此实验小组中 恰为一男一女的概率是 点 评 本题属于统计内容 考查分析频数分布直方图和频率的求法 解本题要懂得频率分布 直分图的意义 了解频率分布直分图是一种以频数为纵向指标的条形统计图 12 18 14 分 2013 东莞一模 如图 AA1 BB1为圆柱 OO1的母线 BC 是底面圆 O 的直径 D E 分别是 AA1 CB1的中点 DE 面 CBB1 1 证明 DE 面 ABC 2 证明 面 A1B1C 面 A1AC 3 求四棱锥 C ABB1A1与圆柱 OO1的体积比 考点 直线与平面平行的判定 棱柱 棱锥 棱台的体积 平面与平面垂直的判定 专题 计算题 证明题 空间位置关系与距离 分析 1 连结 EO OA 由圆柱的性质得四边形 AA1B1B 是平行四边形 所以 DA BB1且 DA BB1 B1BC 中利用中位线定理 得到 EO BB1且 EO BB1 从而证出四边形 AOED 是平行四边形 得 DE OA 结合线面平行的判定定理即可证出 DE 面 ABC 2 根据圆的性质得到 AB AC 结合 AA1 AB 得到 AB 面 A1AC 由 AB A1B1得出 A1B1 面 A1AC 再根据面面垂直的判定定理 可得面 A1B1C 面 A1AC 3 由 DE 面 CBB1结合 DE OA 得 OA 面 CBB1 从而 AO BC 结合结合垂直平 分线的性质得到 AC AB 由线面垂直判定定理证出 AC 平面 AA1B1B 得 AC 为四棱锥 C ABB1A1的高 因此设圆柱高为 h 底半径为 r 可得四棱锥 C ABB1A1体积与圆柱 OO1的体积关于 h r 的表达式 即可算出四棱锥 C ABB1A1与圆柱 OO1的体积比 解答 解 1 连结 EO OA E O 分别为 B1C BC 的中点 EO BB1 EO BB1又 AA1 BB1为圆柱 OO1的母线 AA1 BB1 AA1 BB1 可得四边形 AA1B1B 是平行四边形 平行四边形 AA1B1B 中 DA BB1 DA BB1 DA EO 且 DA EO 四边形 AOED 是平行四边形 可得 DE OA DE 面 ABC OA 面 ABC DE 面 ABC 4 分 2 AA1 BB1为圆柱 OO1的母线 四边形 AA1B1B 是平行四边形 可得 AB A1B1 AA1 圆 O 所在的平面 AB 圆 O 所在的平面 AA1 AB 又 BC 是底面圆 O 的直径 AB AC AC AA1 A AC AA1 面 A1AC AB 面 A1AC AB A1B1 A1B1 面 A1AC 13 A1B1 面 A1B1C 面 A1B1C 面 A1AC 9 分 3 由题意 DE 面 CBB1 由 1 知 DE OA OA 面 CBB1 结合 BC 面 CBB1 可得 AO BC 得 AC AB AB AC 且 AA1 AC AB AA1是平面 AA1B1B 内的相交直线 AC 平面 AA1B1B 即 AC 为四棱锥 C ABB1A1的高 设圆柱高为 h 底半径为 r 则 V圆柱 r2h V四棱锥 h 四棱锥 C ABB1A1与圆柱 OO1的体积比为 14 分 点评 本题在圆柱体中求证线面平行 面面垂直 并求四棱锥与圆柱的体积之比 着重考 查了线面平行的判定定理 线面垂直与面面的判定与性质 锥体与柱体体积公式等 知识 属于中档题 19 14 分 2013 东莞一模 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 数列 Sn 1 是公比为 2 的等 比数列 a2是 a1和 a3的等比中项 1 求数列 an 的通项公式 2 求数列 nan 的前 n 项和 Tn 考点 数列的求和 等比数列的性质 专题 综合题 等差数列与等比数列 分析 1 由数列 an 的前 n 项和为 Sn 数列 Sn 1 是公比为 2 的等比数列 知 Sn 1 2n 1 S1 1 2n 1 a1 1 Sn 1 1 2n 2 a1 1 故 an 2n 2 a1 1 n 2 由此能求出 an 2n 1 2 由 an 2n 1 知 nan n 2n 1 故 Tn 1 20 2 21 3 22 n 2n 1 由此利用 错位相减法能求出数列 nan 的前 n 项和 Tn 解答 解 1 数列 an 的前 n 项和为 Sn 数列 Sn 1 是公比为 2 的等比数列 Sn 1 2n 1 S1 1 2n 1 a1 1 Sn 1 1 2n 2 a1 1 得 an 2n 2 a1 1 n 2 a2 a1 1 14 a3 2 a1 1 a2是 a1和 a3的等比中项 故 a22 a1a3 a1 1 2 a1 2 a1 1 解得 a1 1 a1 1 则 a2 0 不合题意舍去 故 an 2n 1 2 由 an 2n 1 知 nan n 2n 1 Tn 1 20 2 21 3 22 n 2n 1 2Tn 1 21 2 22 3 23 n 2n 得 Tn n 2n 20 21 22 23 2n 1 n 2n n 2n 2n 1 点评 本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的求法 解题时要认真审题 仔细解答 注意错位相减法的合理运用 20 14 分 2013 东莞一模 已知函数 f x lnx g x f x ax 6lnx 其 中 a R 讨论 f x 的单调性 若 g x 在其定义域内为增函数 求正实数 a 的取值范围 设函数 h x x2 mx 4 当 a 2 时 若 x1 0 1 x2 1 2 总有 g x1 h x2 成立 求实数 m 的取值范围 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 函数恒成立问题 利用导数研究函数的单调性 专题 综合题 压轴题 分析 f x 的定义域为 0 且 当 a 0 时 f x 0 f x 在 x 上单调递增 当 a 0 时 由 f x 0 得 x a 由 f x 0 得 x a 由此能够判断 f x 的单调性 由 g x ax 定义域为 0 知 因为 g x 在其定义域内为增函数 所以 x 0 g x 0 由此能够求出正实数 a 的取值范围 当 a 2 时 g x 2x 由 g x 15 0 得 x 或 x 2 当时 g x 0 当 x时 g x 0 所以在 0 1 上 由此能求 出实数 m 的取值范围 解答 解 f x 的定义域为 0 且 当 a 0 时 f x 0 f x 在 x 上单调递增 当 a 0 时 由 f x 0 得 x a 由 f x 0 得 x a 故 f x 在 0 a 上单调递减 在 a 上单调递增 g x ax g x 的定义域为 0 因为 g x 在其定义域内为增函数 所以 x 0 g x 0 ax2 5x a 0 a x2 1 5x 即 当且仅当 x 1 时取等号 所以 a 当 a 2 时 g x 2x 由 g x 0 得 x 或 x 2 当时 g x 0 当 x时 g x 0 所以在 0 1 上 而 x1 0 1 x2 1 2 总有 g x1 h x2 成立 等价于 g x 在 0 1 上的最大值不小于 h x 在 1 2 上的最大值 而 h x 在 1 2 上的最大值为 max h 1 h 2 所以有 16 解得 m 8 5ln2 所以实数 m 的取值范围是 8 5ln2 点评 本题考查在闭区间上求函数最值的应用 考查运算求解能力 推理论证能力 考查 函数与方程思想 化归与转化思想 综合性强 难度大 有一定的探索性 对数学 思维能