【备课精选】2012年高一数学新人教B版必修四教案：1.2《任意角的三角函数》

1 21 任意三角函数的定义 一 任意三角函数的定义 一 一 一 教学目标 教学目标 1 知识目标 1 让学生理解任意角的三角函数的定义 2 掌握三角函数 正弦 余弦 正切 的定义域 3 理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号 2 能力目标 1 培养学生应用图形分析数学问题的能力 2 学会运用任意三角函数的定义求相关角的三角函数值 3 树立映射观点 正确理解三角函数是以实数为自变量的函数 4 判断 三角函数值在各象限内的符号 3 情感目标 1 通过网络载体 利用几何画板的直观演示 培养学生主动探索 善于发 现的创新意识和创新精神 2 在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神 3 通过三角函数定义的学习 从中体会三角函数像一般函数一样 具有一般 函数的抽象美 二 教学重点二 教学重点 1 任意角的正弦 余弦 正切的定义 2 三角函数的定义域 3 根据任意角的三角函数定义求三角函数值 4 判断 三角函数值在各象限内的符号 三 教学难点三 教学难点 任意角的正弦 余弦 正切的定义 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 复 习 引 入 角的概念 初中学过的锐角三角 函数的定义 教师运用多媒体展示在初中 学习的锐角三角函数的定义 师 前面我们学习了角的 概念的推广和弧度制 今天 我们在这些知识的基础上一 起来学习任意角的三角函数 我们在初中已学习了锐角三 角函数 下面先复习锐角三 角函数的有关知识 共同回顾 点明主题 概 念 形 成 1 用坐标的形式表示出初 中所学的锐角三角函数 设点 P x y 是锐角 终边上的任意一点 点 P 到原点 O 的距离是 r 0 22 yxr 则用含 x y r 的式 子表示角 的正弦 余弦 正切值分别是 sin cos ta r y r x n x y 2 任意角的三角函数 1 确立任意角 在直 角坐标系中的位置 1 以坐标原点为角 的顶点 以 OX 轴的正方向为 角 的始边 则角 的终 边落在直角坐标系的第一象 限内 若点 P x y 是角 终边上的任意一点 点 P 到 原点 O 的距离是 r 试将0 22 yxr 角 的三角函数用 x y r 的式子表示出来 学生作图 教师在此过程 中要引导学生在坐标系中作 出符合锐角三角函数定义要 求的直角三角形 该过程中 要适时指点学生 并加强学 生与学生之间的讨论与流 1 将初中定义的锐 角三角函数放到 坐标系中讨论 指明研究函数问 题的工具 完成 从三角形到坐标 系的转化 为后 面在直角坐标系 中定义任意角的 三角函数搭建平 台 2 通过对比 让学 生对知识进行类比 迁移及联想 树立他 们勇于探索的信心 通过分组讨论 加强学生间的交流与 合作 充分发挥学生 学习的主动性 概 念 形 成 以坐标原点为角 的 顶点 以 OX 轴的正方向为 角 的始边 2 在其终边上任取 一点 P x y 设点 P 到原 点的距离为 r OP r r 0 根据三角形 的相似知识得 l r x m r y l m x y 由此得 l r x m r y l m x y 3 三角函数定义如下 叫做角 的余弦 r x 记作 cos 即 cos 叫做角 r x r y 的正弦 记作 sin 即 sin r y 叫做角 的正切 x y 回答问题 教师通过多媒 体将此过程展示给学生 明 确坐标与三角函数的关系 2 教师提出问题 问题 1 根据刚才我们在 直角坐标系中讨论的锐角三 角函数 你能给出任意三角 的三角函数定义吗 教师一边鼓励学生大胆说 出自己的想法 一边组织学 生讨论 并及时肯定 回答问题 通过鼓励和肯定一些好的 想法 让一位能代表大多数 意见的学生主动说出自己对 任意角三角函数的定义 问题 2 角 的三角函 数值不受终边上的点 P 的位 置的影响吗 这是一个较有思考价值的 问题 教师要注意正确地引 导和必要地提示 锐角三角 函数的大小仅与锐角的大小 有关 与直角三角形的大小 无关 类似地 留给学 生思考 教师边引导 边结 概 念 形 成 记作 tan 即 tan x y 角 的其他三种函数 角 的正割 sec x r cos 1 角 的余割 sin 1 csc y r 角 的余切 tan 1 cot y x 合多媒体演示 问题 3 依据函数的定义 这几个比值可以分别构成函 数吗 若能构成 它们的自变 量是什么 X 还是 y r 还是 角 概 念 深 化 概 念 1 角是 任意角 当 2k k Z 时 与 的同名三角函 数值应该是相等的 即凡是终边相同的角 的三角函数值都相等 2 定义中只说怎样的比 值叫做 的什么函数 并没有说 的终边在 什么位置 终边在坐 标轴上除外 即函 数的定义与 的终边 位置无关 实际上 如果终边在坐标轴上 上述定义同样适用 3 三角函数是以 比值 为函数值的函数 对于第 1 到第 3 点教师要 点拨 学生思考 对于第 4 点教 师提出问题 谈到函数 定 义域要先行 在此 对三角 函数的定义域要进一步明确 确定三角函数的定义域的依 据是任意三角函数的定义 三角函数是以角为自变量的 函数 如何去确定这些函数 的定义域 即限定角的变化 范围 它们的定义域是什 么 由学生讨论回答 1 让学生明确定义 是对任意角而言的 OP 是角 的终边 至于是转了几圈 按 什么方向旋转的不清 楚 也只有这样 才 能说明角 是任意 的 2 使学生明确任意 角的三角函数的 定义与锐角三角 函数的定义的联 系与区别 任意 角的三角函数包 含锐角三角函数 实质上锐角三角 函数的定义与任 意角的三角函数 深 化 4 对于正弦函数 sin 因为 r 0 所以 r y 恒有意义 即 取 r y 任意实数 恒有意 r y 义 也就是说 sin 恒有意义 所以正弦 函数的定义域是 R 类 似地可写出余弦函数 的定义域 对于正切 函数 tan 因为 x 0 时 无意义 又当 x y 且仅当 的终边落在 y 轴上时 才有 x 0 所以当 的终边落不 在 y 轴上时 恒有 x y 意义 即 tan 恒有 意义 所以正切函数 的定义域是 k k 2 K 从而有 y sin R y cos R y tan k k K 2 定义是一致的 锐角三角函数定 义是任意角三角 函数定义的特例 所不同的是 锐 角三角函数是以 边的比来定义的 任意角的三角函 数定义是以坐标 与距离 坐标与 坐标 距离与坐 标的比来定义的 3 让学生掌握正弦 函数 余弦函数 正 切函数的定义域 使学生进一步巩 固和应用所学知识 应 用 举 例 例 1已知角 的终边过 点 P 2 3 求 的其他 三角函数值 例 2求下列各角六个三 角函数值 学生板演 教师对学生在 解题思路和规范方面进行指 导 让学生巩固六种 三角函数的概念 感 受三角函数的定义在 三角函数求值中的应 用 熟记 0 到 2 范 1 0 2 3 2 3 围内的某些特殊角的 三角函数值 归 纳 小 结 1 知识 三角函数的定义 及其定义域 2 数学思想方法 数形结 合思想 类比法 学生反思本节内容 对知 识进行总结 教师对思想方 法进行提炼 让学生学会学习 学会反思 学会总结 重视数学思想方法在 分析问题和解决问题 中的作用 布 置 作 业 层次一 教材练习 A 1 3 层次二 教材习题 1 2A 1 2 层次一的题目要求所有学生 完成 层次二的题目要求中 等以上水平以上的学生完成 使学生进一步巩 固和应用所学知识 1 21 任意三角函数的定义 二 任意三角函数的定义 二 一 一 教学目标 教学目标 1 知识目标 1 理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号 2 三角函数定义及符号的应用 2 能力目标 1 培养学生分析数学问题的能力 2 判断 三角函数值在各象限内的符号 3 情感目标 1 通过网络载体 利用几何画板的直观演示 培养学生主动探索 善于发 现的创新意识和创新精神 2 在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神 二 教学重点二 教学重点 1 判断 三角函数值在各象限内的符号 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 复 习 引 入 1 设是一个任意角 在 的终边上任取 异于原点的 一点 P x y 则 P 与原点的距离 0 22 22 yxyxr 2 比值叫做的正弦 r y 记作 r y sin 比值叫做的余弦 r x 记作 r x cos 比值叫做的正切 x y 教师提出问题学生回答温故知新 记作 x y tan 比值叫做的余切 y x 记作 y x cot 比值叫做的正割 x r 记作 x r sec 比值叫做的余割 y r 记作 y r csc 以上六种函数 统称为三角 函数 概 念 形 成 角是 任意角 由三角函数 定义可知 而 x y 的正负是0 r 随象限的变化而不同 故三角函 数的符号应由象限确定 三角函数在各象限内的符号 规律 第一象限 0 0 yx sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 sec 0 csc 0 第二象限 0 0 yx sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 sec 0 csc 0 第三象限 0 0 yx sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 sec 0 csc 在初讲三角函数正负号规 律时一定要充分重视让学 生明白道理也就是如何确 定比值的正负号 要让学 生自己去观察 思考 总 结 正弦余弦正切函数值 的符号是根据这三种函数 的定义和各象限内坐标的 符号导出的 由学生讨论回答 1 让学生从 本质上理解 任意角三角 函数的符号 2 总结三角 函数符号的 规律 0 第四象限 0 0 yx sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 sec 0 csc 0 记忆法则 第一象限全为正 二正三切四余弦 应 用 举 例 例例 3 确定下列三角函数值的 符号 1 cos250 2 4 sin 3 tan 672 4 3 11 tan 例 4 设 sin 0 确 定 是第几象限的角 例 5 已知角 终边上一点 P 15a 8a a R 且 a 0 例 6 当 为第二象限角时 求 的值 sin sin cos cos 让学生上黑板板书解题过 程 让其他学生给他挑错 误 让学生能够 准确判断三 角函数的符 号并能正确 的应用 归 纳 小 结 知识上 判断三角函数的符号让学生谈本节课程的收获 并进行反思 cot 0 tan 0 sin 0 tan 0 cos 0 sin 0 cot 0 tan 0 cos 0sin 0 tan 0 cot 0 cos 0 布 置 作 业 1 2 2 单位圆与三角函数线 一 学习目标一 学习目标 一一 知识目标知识目标 1 单位圆的概念 2 有向线段的概念 3 用正弦线 余弦线 正切线表示任意角的三角函数值 二二 能力目标能力目标 1 理解并掌握单位圆 有向线段的概念 2 正确利用与单位圆有关的有向线段 将任意角 的正弦 余弦 正切函数值表示出 来 即用正弦线 余弦线 正切线表示出来 三三 德育目标德育目标 通过三角函数的几何表示 使学生进一步加深对数形结合思想的理解 培养良好的思维 习惯 拓展思维空间 二 教学重点 难点二 教学重点 难点 重点 正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值 难点 正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值 三 教学方法三 教学方法 一 讲授法 讲清楚单位圆的概念 有向线段的概念 本节内容中的有向线段与坐标轴是平行的 使 学生弄清楚线段的正负与坐标轴正反方向之间的对应 以及线段的数量与三角函数值之间的 对应 对于理解正弦线 余弦线 正切线是突破难点的关键所在 二 教具准备 幻灯片 1 张 多媒体课件 课本P19 图 1 13 在平面直角坐标系中 作出单位圆 角 的终边 标出 单位圆与角 的终边的交点P x 过P向x轴作垂线 垂足为M 过点 A 1 0 作单 位圆的切线与角 的终边或终边的反向延长线交于点T 利用现代教育技术手段的优势 边 讲述边作图 使学生看得清楚 听得明白 四 教学过程四 教学过程 教 学 环 节 教学内容师生互动设计意图 课 题 导 入 前面我们研究了三角函数 在各象限内的符号 学习了将 任意角的三角函数化成 0 到 360 角的三角函数的一组公式 前面还分析讨论了三角函数的 定义域 这些内容的研究 都 是建立在任意角的三角函数定 义之上的 这些知识在以后我 们继续学习 三角 内容时 是经常 反复运用的 请同学 们务必在理解的基础上要加强 可以通过提问与学生自查相结 合的形式 对所学知识加以回顾 进而加深对已有知识的巩固和提高 为下一步的学习做好知识储备 三角函数线的位 置与角所在的象 限有很大关系 因此在讲解新课 之前做好知识的 准备是十分必要 的 记忆 由三角函数的定义我们知 道 对于角 的各种三角函数 我们都是用比值来表示的 或 者说是用数来表示的 今天我 们再来学习正弦 余弦 正切 函数的另一种表示方法 几 何表示法 新 概 念 教 学 我们首先建立下面的坐标 系 在观览车转轮圆面所在的 平面内 以观览车转轮中心为 原点 以水平线为轴 以转x 轮半径为单位长建立直角坐标 系 设 P 点为转轮边缘上的一 点 它表示座椅的位置 记 则由正弦函数的xOP 定义可知 sinMP 为了几何表示的需要 我 们先来看单位圆的概念 以原 点为圆心 单位长为半径的圆 称为单位圆 单位长 如 1 cm 1 dm 1 m 1 km 等等 都是 1 个单位长 它们的单位 虽不同 但长度都是 1 个单位 长 即单位圆的半径是 1 个单 位长 使用多媒体课件 教师 边叙述边作图 在平面直角坐标系内 作 单位圆 设任意角 的顶点在 原点 始边与x轴的非负半轴 重合 终边与单位圆相交于点 P x x轴的正半轴与单 位圆相交于A 1 0 过P作 x轴的垂线 垂足为M 过A作 单位圆的切线 这条切线必平 行于 轴 垂直于同一条直线的 两直线平行 设它与角 的 终边或其反向延长线交于点 T 显然 线段OM的长度 为 x 线段MP的长度 为 它们都只能取非负 值 充分发挥多媒体教学的优势 既有 教师的动画演示 又有教师与学生 之间的互动 尽可能多的调动学生 的积极性 多动手 多思考 多探 索 多尝试 1 用现实中的例 子引入本节内容 学生不仅可以看 到三角函数还可 以用一条 有向 线段表示 而且 可以感受到数学 知识在现实生活 中的巨大作用 从而激发他们学 习数学的浓厚兴 趣 2 单位圆是三角 函数线建立的基 石 离开单位圆 就谈不上三角函 数线 因此单位 圆概念的建立是 前提 单位圆的 概念要着重理解 一个单位 的 含义 当角 的终边不在坐标轴 上时 我们可以把OM MP都看 作带有方向的线段 如果x 0 OM与x轴同向 利用多媒体课件的优势 将 图 图中的OM从O到M运动 让学生看清楚后再 定格 运 动的方向说明与x轴同向 规 定此时OM具有正值x 如果 x 0 OM与x轴正向相反 即 反向 将课件上 图 图 中的OM从O到M运动 让学生 看清楚后再 定格 运动的方 向说明与x轴反向 规定此时 OM具有负值x 所以不论哪一 种情况 都有OM x 如果 0 把MP看作与 轴同向 规定此时MP具有正 值 如果 0 把MP看作 与 轴反向 规定此时MP具有 负值 所以不论哪一种情况 都有MP 与前面所述相同 谈到MP与 轴同向或反向时 仍作从M到P的演示 让学生 观察 由上面所述 OM MP 都是带有方向的线段 这种被 看作带有方向的线段叫做有向 线段 于是 根据正弦 余弦函 数的定义 就有 OMx x r x MPy y r y 1 cos 1 sin 这两条与单位圆有关的有 向线段MP OM分别叫做角 的正弦线 余弦线 类似地 我们把OA AT也 看作有向线段 那么根据正切 函数的定义和相似三角形的知 识 就有 AT OA AT x y tan 3 单位圆中的三 角函数线是用轴 上的向量表示的 要明确轴上向量 是既有大小又有 方向的线段 用 轴上向量的数量 表示三角函数值 其长度表示三角 函数的绝对值 其方向表示三角 函数的正负号 4 结合图形 引 导学生弄清以下 几点 1 三角函数线 的位置 2 三角函数线 的方向 3 三角函数线 的正负 这条与单位圆有关的有向 线段AT 叫做角 的正切线 注意 1 当角 的终边 在 轴上时 余弦线变成一个 点 正切线不存在 2 当角 的终边在x轴 上时 正弦线 正切线都变成 点 3 正弦线 余弦线 正 切线都是与单位圆有关的有向 线段 所以作某角的三角函数 线时 一定要先作单位圆 4 线段有两个端点 在用 字母表示正弦线 余弦线 正 切线时 要先写起点字母 再 写终点字母 不能颠倒 或者 说 含原点的线段 以原点为 起点 不含原点的线段 以此 线段与x轴的公共点为起点 5 三种有向线段的正负与 坐标轴正反方向一致 三种有 向线段的数量与三种三角函数 值相同 正弦线 余弦线 正切线统称 为三角函数线 例 题 讲 解 例题 分别作出和的 2 3 3 4 正弦线 余弦线和正切线 因此在教学时仍以教师画图演示 讲解为主 同时更多的请学生参与 作图 加深印象 此例题主要目的 还是进一步巩固 学生对于三角函 数线的理解 课 堂 练 习 分别作出下列各角的正弦 线 余弦线和正切线 1 2 3 5 6 3 4 2 3 13 6 在前面详细讲解的基础上 此题主 要是学生完成 鼓励学生独立完成 对于个别有困难的学生 可以小组 为单位共同完成 加深理解三角函 数线的有关知识 课 时 小 结 本节课我们学习了单位圆的 概念 有向线段的定义 正弦 线 余弦线 正切线的定义 这三种三角函数线都是一些特 殊的有向线段 其之所以特殊 一是其与坐标轴平行 或重合 二是其与单位圆有关 这些线 段分别都可以表示相应三角函 数的值 所以说它们是三角函 以提纲形式对本节重点内容再总结 学习单位圆的目 的在于利用它解 决问题 在教学 中 应尽量引导 学生借助单位圆 的直观 探索三 角函数的有关性 质 这样 不仅 有助于加深对于 数的一种几何表示 三角函数线的理 解 对后续内容 的学习也有很大 的促进作用 课 后 作 业 课本第 21 页 A 组练习 2 本次作业只针对三角函数线知识进 行巩固 因此 要求学生保质保量 认真完成 落实本课时的重 点 突破难点 抓落实 1 2 3 同角三角函数的基本关系式 一 一 教学目标教学目标 知识目标 1 利用单位圆推导出 sin2 cos2 1 和 tan 并让学生在推导过程中体会数形结 cos sin 合的思想的应用 2 能让学生学会利用同角三角函数关系式求值 化简 证明 能力目标 培养学生用数学的思想方法分析和解决数学问题的能力并发展学生的推理能力和运算能力 3 情感目标 通过关系式的推导和应用让学生自己发现 世界万物之间内在联系 二 二 教学重点难点教学重点难点 重点 同角三角函数基本关系式的推导及其应用 难点 关系式在解题中的灵活运用和对学生进行思维灵活性的培养 三 三 教学方法教学方法 本节课采用启发探究教学的方法 通过设置问题引导学生导出公式 近而应用 在应用中注 意学生的书写及选择公式是否恰当 通过例题和习题的解决和处理深化对公式的理解记忆及 应用的灵活性 四 四 教学过程教学过程 教学环节教学内容师生互动设计意图 复习引入 1 让学生自己画单位 圆给出任意角画出正 弦线余弦线 2 回顾三角函数的定 义 师 哪两位同学主动到黑板上 画出单位圆中的正余弦线和写 出三角函数定义式 生甲 生乙 温故知新 通过 设疑引导学生思 维 为下面公式 的推导做好铺垫 公式推导 引导学生自己导出今 天的两个重要的三角 函数关系式 平方关系 sin2 cos2 1 商数关系 tan cos sin 师 首先观察单位圆正余弦线 段和半径所处的三角形形状 生 直角三角形 师 那么直角三角形中有什么 重要的定理 生 勾股定理 导出平方关系 sin2 cos2 1 师 这个公式还有另外的推导 方法吗 生 用定义也可以导出 有学 生自己推导 并板书 利用单位圆推导 关系式让学生体 会什么是数形结 合的思想 该思 想在高中课程中 无处不在 也让 学生体会积极的 思维劳动给他们 带来的快乐 师 tan 和相等吗 cos sin 生 相等 由定义直接可以得 到 公式深化理解 1 注意是否同角 2 注意公式的限制条 件 3 公式可以灵活变形 师 sin2 cos2 1 成立吗 生 不一定成立 因为 和 可能相等也可能不等 师 sin24 cos24 1 成立吗 生 成立 师 tan 有限制条件吗 cos sin 有 cos 0 即 K Z 2 师 另外公式还可以做一些变 形 1 强调公式中的 同角同角的重要性否 则公式可能不成 立 2 注意同角不要 拘泥与形式 6 2 等等都可以 3 注意商数关系 在应用时的限制 条件 公式的应用 例 1 已知sin 且 是第二象 5 4 限的角 求 cos tan 的值 例 2 已知 tan 且 是第二象5 限的角 求 sin cos 的值 例 3 化简 440sin1 2 例 4 求证 cos sin1 sin1 cos 练习 选择书上的 A B 组题目 例 1 让学生板书 老师注意提 醒学生书写规范特别是在特定 象限内函数值的符号取舍 例 2 稍难一些 老师板书并讲 解 如学生能力强可以把平方关系如学生能力强可以把平方关系 的另外两个公式给学生以节省的另外两个公式给学生以节省 时间时间 例 3 让学生板书过程 教师讲 解化简的原则 告诉学生何为 最简 例 4 恒等式证明由教师板书 1 强调特定象 限内函数值 的符号取舍 2 题目设置贯 彻方程的思 想强化学生 的运算能力 3 给出恒等式 证明的方法 让学生体会 恰当选用 让学生了解 何为分析法 证明及证明 步骤 4 在应用中理 解记忆公式 归纳小结 在知识和思想方法两 方面进行总结 也可 以让学生简单总结这 两方面 在课堂上师生在语言和形体语 言上多交流 提问覆盖面要尽 量做到少留死角 让你的关注 和爱滋润你的每一个教育对象 1 让学生清楚我 们今天学习了什 么 2 用到了什么数 学的思想方法 3 学习过程中需 要注意什么 课后作业P25A 组练习 1 3 4 思考 1 tan2 1 cot2 sec2 csc2 这四个式子是否存在相等关系 课后反思课后填写 1 2 4 诱导公式 一 诱导公式 一 一 学习目标 1 通过本节内容的教学 使学生掌握 角的正弦 余弦和正切的诱导公式 k2 及其探求思路 并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦 余弦和正切值的求解 简单三 角函数式的化简与三角恒等式的证明 2 通过公式的应用 培养学生的化归思想 以及信息加工能力 运算推理能力 分析 问题和解决问题的能力 二 教学重点 难点 重点 四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用 难点 公式 四 的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透 三 教学方法 先由学生自学 然后由教师设置一些问题供学生思考 在此基础上 可以通 过讲授再现概念 通过练习理解概念 完成教学 四 教学过程 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 复习 引入 1 初中我们已经会求锐角的三 角函数值 2 和 30 45 60 终边 相同的角如何表示 本节我们将研究任意角三角函 数值之间的某中关系 以及如何 求任意角的三角函数值 教师提问 0 30 45 60 90 的正弦 余弦 正切的三角函数值是多少 学生回答 我们如何求 360 390 315 的三角函数值呢 温故知新 公式 导入 1 公式 一 sin sin 2k cos cos 2k tan tan 2k 其中 Z k 诱导公式 一 的作用 把 把绝对值大于 360 的任意角的 正弦 余弦 正切的三角函数问 题转化为绝对值小于 360 角的 正弦 余弦 正切三角函数问题 其方法是先在绝对值小于 360 角找出与角终边相同的角 再 把它写成诱导公式 一 的形式 然后得出结果 2 公式 二 sinsin coscos tantan 它说明角 与角的正弦值互 为相反数 而它们的余弦值相 等 这是因为 若没的终边与 单位圆交于点 P x y 则角 的终边与单位圆的交点必为 P x y 如图 4 5 2 由正 弦函数 余弦函数的定义 即可 得 sin y cos x sin y cos x 所以 sin sin cos cos 公式二的获得主要借助于单位圆 及正弦函数 余弦函数的定 义 根据点 P 的坐标准确地确定 点 P 的坐标是关键 这里充分利 用了对称性质 事实上 在图 1 点 P 与点 P 关于 x 轴对 称 直观的对称形象为我们准确 写出 P 的坐标铺平了道路 体现 了数形结合这一数学思想的优越 性 公式 三 cos2 cos 1 k 让学生在单位圆中画出 角 与 角 观察两个角的位 置关系 引导学生在单位圆中画出 1 根据任意角的 三角函数定义可 知两个角若终边 相同 那么它们 的三角函数值也 应该相同 由此 导出公式 一 2 学生在单位圆 中画出 角与 角 观察出 角的终边关于 x 轴对称 结合三 角函数定义可得 到公式 二 3 利用角的终边 在单位圆中的不 同位置关系而得 到相应的诱导公 式 x y P x y P x y M O 4 5 2 180 x y P x y P x y M M O 4 5 1 sin2 sin 1 k tan2 tan 1 k 由公式 一 可以看出 角和 加上偶数倍的所有三角函数 值相等 角和加上奇数 倍的正 余弦值互为相反数 角和加上奇数倍的正切 函数值相等 为偶数 为奇数 sin sin sin n 为偶数 为奇数 cos cos cos n tan tan n 角与 角 观察其位置 关系 在结合公式 一 得 到公式 三 应用 举例 例 1 下列三角函数值 1 cos210 2 sin 4 5 解 1 cos210 cos 180 30 cos30 2 3 2 sin sin 4 5 4 sin 4 2 2 例 2 求下列各式的值 1 sin 2 cos 60 3 4 sin 210 解 1 sin 3 4 sin sin 3 3 2 3 2 原式 cos60 sin 180 30 cos60 sin30 0 2 1 2 1 例 3 化简 180sin 180cos 1080cos 1440sin 解 原式 180sin 180cos cossin 1 sin cos cossin 例 4 已知 cos 2 1 2 则 sin 2 2 3 分析 本题是诱导公式 三的巩固性练习题 求解时 只须设法将所给角分解成 180 或 为 锐角即可 分析 本题是诱导公式 二 三的巩固性练习题 求 解时一般先用诱导公式二把 负角的正弦 余弦化为正角 的正弦 余弦 然后再用诱 导公式三把它们化为锐角的 正弦 余弦来求 分析 这是诱导公式一 二 三的综合应用 适当地 改变角的结构 使之符合诱 导公式中角的形式 是解决 问题的关键 的值是 A B 2 3 C D 2 1 2 3 2 3 选 A 分析 通过本题的求解 可进一步熟练诱导公式一 二 三的运用 求解时先用 诱导公式三把已知条件式化 简 然后利用诱导公式一和 二把 sin 2 化成 sin 再用同角三角函数 的平方关系即可 课堂 练习 1 求下式的值 2sin 1110 sin960 210cos 225cos 2 答案 2 提示 原式 2sin 30 sin60 30cos45cos2 2 2 化简 sin 2 cos 2 tan 2 4 所 得的结果是 A 2sin2 B 0 C 2sin2 D 1 答案 C 选题目的 通过本题练习 使学生熟练诱导公式一 二 三的运用 使用方法 供课堂练习 用 评估 求解本题时 在 灵活地进行角的配凑 使之 符合诱导公式中角的结构特 点方面有着较高的要求 若 只计算一次便获得准确结果 表明在利用诱导公式一 二 三求解三角函数式的值方面 已达到了较熟练的程度 加强格式的规范 化 减少计算错 误 课堂 小结 通过本节课的教学 我们获得 了诱导公式 值得注意的是公式 右端符号的确定 在运用诱导公 式进行三角函数的求值或化简中 我们又一次使用了转化的数学思 想 通过进行角的适当配凑 使 之符合诱导公式中角的结构特征 培养了我们思维的灵活性 本节课我们学习了哪些诱导 公式 它们角的终边具有什 么几何特征 如何记住公式 师生共同回顾本 节课所学习的诱 导公式 加强记 忆 熟能生巧 1 2 4 诱导公式 二 诱导公式 二 一 学习目标 1 通过本节内容的教学 使学生掌握 角的正弦 余弦和正切的 1 k 2 2 诱导公式及其探求思路 并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦 余弦和正切值的求解 简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明 2 通过公式的应用 培养学生的化归思想 以及信息加工能力 运算推理能力 分析 问题和解决问题的能力 二 教学重点 难点 重点 四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用 难点 公式 四 的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透 三 教学方法 先由学生自己看书 在此基础上 可以通过讲授再现概念 通过练习理解概 念 完成教学 四 教学过程 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 复习提问 诱导公式 一 二 及 三 的内容 公式 一 sin sin 2k 布置 作业 练习 A 练习 B 通过完成作业巩固诱导 公式的 一 二 三 达到熟练运用 记准公式 计算 准确 cos cos 2k tan tan 2k 其中 Z k 公式二 sinsin coscos tantan 公式 三 cos2 cos 1 k sin2 sin 1 k tan2 tan 1 k 新课 讲授 公式 四 sin 2 cos cos 2 sin sin 2 cos cos 2 sin cot 2 tan tan 2 cot cot 2 tan tan 2 cot 四组诱导公式的作用 任意一个角都可以表示为 的形式 这样由前面的 4 2 其中k 公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为 0 到之间角的三角函数求值问题 4 1 在上一课时的 基础上 可以请 学生先讨论探索 性的进行讲解 充分发挥学生学 习的潜能 既有 助于激发学习数 学的积极性 又 便于在学生的讲 解过程中发现他 们理解知识上的 不足 最后再由 老师进行纠正和 深入讲解 P O P M M 例例 1 求证 2 cos 5cos 2 sin 4sin cot 2tan 2 3 cos 2 sin k kk 证 sincos cossin cottan sincos 左边 sincos cossin sincos cossin 右边 左边 右边 等式成立 例例 2 2的值 求 4 cos 4 cos 22 1 4 cos 4 sin 4 cos 4 2 cos 22 22 原式 例例 3 3 2sin 1 sin 3 1 sin 求 已知 解 2 21 sin Zkk 从而 3 1 sin 4sin 2 2 2sin 2sin k k 例例 4 4 sin 17cos cosxfxxf求若 解 90 17cos 90 cos sinxxfxf xx17sin 1790cos 17903604cos 四 课堂练习四 课堂练习 1 计算 sin315 sin 480 cos 330 解 原式 sin 360 45 sin 360 120 cos 360 30 sin45 sin60 cos30 1 例题 1 3 主要 是对诱导公式 一 和 四 的直接运用 检 验学生是否已正 确掌握 既是检 测 又是下一步 教学的辅助 2 例 2 是一道综 合性较强的题目 既有对诱导公式 的灵活应用 又 有与函数知识的 结合 意在使学 生建立知识之间 的综合练习 3 课堂练习仍然 紧紧围绕本节的 重点内容设置 因此 主要以学 生自练为主 适 当可以小组为单 位进行互查 对 于习题的解答过 程中反映出来的 错误 及时给予 纠正 同时 对 解答步骤也必须 给予规范 2 2 3 2 已知 的值 求 6 5 cos 3 3 6 cos 解 3 3 6 cos 6 5 cos 6 5 cos 3 求证 Zk kk kk 1 1cos 1sin cos cos 证 若 k 是偶数 即 k 2 n n Z 则 1 cos sin cossin 2cos 2sin 2cos 2cos nn nn 左边 若 k 是奇数 即 k 2 n 1 n Z 则 1 cossin cos sin 1 2cos 1 2sin 2cos 2cos nn nn 左边 原式成立 4 已知方程 sin 3 2cos 4 求 的值 sin 2 3 sin 2 2cos 5 sin 解 sin 3 2cos 4 sin 3 2cos 4 sin 2cos sin 2cos 且 cos 0 4 3 cos4 cos3 cos2cos2 cos5cos2 sincos2 cos5sin 原式 4 作业的布置照 顾到了不同层次 学生的需求 既 有对基础知识的 巩固反馈 又有 对前面所学知识 的综合练习 5 已知 的值 求 cos 1 cos cos tan 2 a 解 由题设 0cos cos cos 0tan 2 即 a 由此 当 a 0 时 tan 0 cos 0 为第 二象限角 42 1tan1sec cos 1 a 原式 当 a 0 时 tan 0 k cos 1 cos 1 0cos 0 11 cos 1 4 aa原式 综上所述 2 1 cos 1 a 6 若关于 x 的方程 2cos2 x sinx a 0 有 实根 求实数 a 的取值范围 解 原方程变形为 2cos2x sinx a 0 即 2 2sin2x sinx a 0 8 17 4 1 sin22sinsin2 22 xxxa 1 sinx 1 8 17 4 1 sin min ax时 当 11sin max ax时 当 a 的取值范围是 1 8 17 五 小结五 小结 应用诱导公式化简三角函数的一般步 骤 1 用 公式化为正角的三角函数 2 用 2k 公式化为 0 2 角的三角函数 3 用 或 2 公式化为锐角的三角函数 六 课后作业六 课后作业 习题及补充练习 七 板书设计七 板书设计 1 2 4 诱导公式 三 诱导公式 三 一 学习目标 1 通过本节内容的教学 使学生进一步理解和掌握四组正弦 余弦和正切的诱导公式 并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦 余弦和正切值的求解 简单三角函数式的化简 与三角恒等式的证明 2 通过公式的应用 培养学生的化归思想 运算推理能力 分析问题和解决问题的能 力 二 教学重点 难点 重点 四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用 难点 公式 四 的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透 三 教学方法 复习课 通过由浅入深的例题 讲练结合 四 教学过程 教 学 环 节 教学内容师生互动设计意图 复 习 引 入 复习提问 四组诱导公式的内容 老师提问 学 生回答 温故知新 例 1 求下列三角函数的值 1 sin240 2 3 cos 252 4 4 5 cos sin 6 7 解 1 sin240 sin 180 60 sin60 2 3 2 cos 4 5 cos 4 4 cos 2 2 3 cos 252 cos252 cos 180 72 cos72 03090 4 sin sin sin sin 6 7 6 7 6 6 2 1 例 2 求下列三角函数的值 说明 本题是诱导 公式二 三 的直接应 用 通过本 题的求解 使学生在利 用公式二 三求三角函 数的值方面 得到基本的 初步的训 练 本例中 的 3 可使 用计算器或 查三角函数 表 说明 本题是公式 二 三的直 接应用 通 过本题的求 解 使学生 在利用公式 二 三求三 1 sin 119 45 2 cos 3 cos 150 3 5 4 sin 4 7 解 1 sin 119 45 sin119 45 sin 180 60 15 sin60 15 08682 2 cos cos cos 3 5 3 2 3 2 1 3 cos 150 cos150 cos 180 30 cos30 2 3 4 sin sin sin 4 7 4 2 4 2 2 例 3 求值 sin cos sin 6 31 3 10 10 11 略解 原式 sin cos sin 6 7 4 3 4 2 10 11 sin cos sin 6 3 10 sin cos sin 03090 13090 6 3 10 2 1 2 1 例 4 求值 sin 1200 cos1290 cos 1020 sin 1050 tan855 解 原式 sin 120 3 360 cos 210 3 360 cos 300 2 360 sin 330 2 360 tan 135 2 360 sin120 cos210 cos300 sin330 tan135 sin 180 60 cos 180 30 cos 360 60 sin 360 30 重点问题 重点讲解 角函数的值 方面得到基 本的 初步 的训练 本 题中的 1 可使用计算 器或查三角 函数表 说明 本题考查了 诱导公式一 二 三的应 用 弧度制 与角度制的 换算 是一 道比例 1 略 难的小综合 题 利用公 式求解时 应注意符 号 说明 本题的求解 涉及了诱导 公式一 二 三以及同角 三角函数的 关系 与前 45180cos 45180sin sin60 cos30 cos60 sin30 tan45 2 3 1 0 2 3 2 1 2 1 例 5 化简 sin 5cos 4cos 3sin 略解 原式 1 sin cos cos sin cos cos 例 6 化简 2cos 2sin 12 sin2 12 sin Zn nn nn 解 原式 2cos 2sin 2 sin 2 2 sin nn nn cossin sin 2 sin cossin sin2sin cos 3 例 7 求证 sin cos 2cos 4sin tan sin cos 4cos 3sin 证明 左边 cos sin sin cos cos 4 sin cos sin sin cos cos sin cossin sincos sincos 22 学生观察 分析 老师启 发 边讲边练 面各例比较 更具有综合 性 通过本 题的求解训 练 可使学 生进一步熟 练诱导公式 在求值中的 应用 说明 化简三角函 数式是诱导 公式的又一 应用 应当 熟悉这种题 型 说明 本题可视为 例 5 的姐妹 题 相比之 下 难度略 大于例 5 求 解时应注意 从所涉及的 角中分离出 2 的整数倍 才能利用诱 导公式一 sincossincos cossin sin cos cossin cossin 右边 sincos cossin cossin cossin 所以 原式成立 例 8 求证 3 tan 360sin 540sin 1 180cos cos 1 证明 左边 sin sin 1 cos cos 1 sin 180sin 1 cos cos 1 tan3 右边 2 2 2 2 coscos sinsin sin sin1 cos cos1 所以 原式成立 例 9 已知 求 2 2 3 2 1 cos 的值 2sin 解 已知条件即 2 1 cos 又 2 2 3 所以 cos1 sin 2sin 2 2 3 2 1 1 2 例 10 已知 求 223 360tan 1 720tan 1 说明 例 7 和例 8 是诱导公式 及同角三角 函数的基本 关系式在证 明三角恒等 式中的又一 应用 具有 一定的综合 性 尽管问 题是以证明 的形式出现 的 但其本 质是等号左 右两边三角 式的化简 说明 本题是在约 束条件下三 角函数式的 求值问 题 由于给 出了角的 范围 因此 的三角函 数的符号是 一定的 求 2 cos 1 sin2 cos sin cos 2 2