【数学】2011年新版3年高考2年模拟：第14章选讲不等式的证明

第十四章 系列 4 第四节 4 5 不等式证明 第一部分第一部分 三年高考荟萃三年高考荟萃 20112011 年高考题年高考题 一 选择题 1 山东理 山东理 4 不等式 5 3 10 xx 的解集是 A 5 7 B 4 6 C 57 D 46 答案 D m 二 填空题 1 陕西理 陕西理 15 考生注意 请在下列三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题 评 10 分 A 不等式选做题 若关于x的不等式 12axx 存在实数解 则实数a的取值范围 是 答案 33 2 江西理 江西理 15 2 不等式选做题 对于实数 xy 若 11 21 21xyxy 则 的最大值为 答案 5 三 解答题 1 福建理 福建理 21 本题设有 1 2 3 三个选考题 每题 7 分 请考生任选 2 题做答 满分 14 分 如果多做 则按所做的前两题计分 做答时 先用 2B 铅笔在答题卡上把所 选题目对应的题号涂黑 并将所选题号填入括号中 3 本小题满分 7 分 选修 4 5 不等式选讲 设不等式 11 x2 的解集为 M I 求集合 M II 若 a b M 试比较 ab 1 与 a b 的大小 答案 3 选修 4 5 不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式等基础知识 考查运算求解能力 考查化归与转化思想 满分 7 分 解 I 由 2 1 1121 1 01 xxx 得解得 所以 01 Mxx II 由 I 和 a bM 可知0 a 1 0 b 1 所以 1 1 1 0 ababab 故 1 abab 2 辽宁理 24 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 xf x 2 x 5 I 证明 3 xf 3 II 求不等式 xf x2 8 x 15 的解集 解 I 因为 EC ED 所以 EDC ECD 因为 A B C D 四点在同一圆上 所以 EDC EBA 故 ECD EBA 所以 CD AB 5 分 II 由 I 知 AE BE 因为 EF FG 故 EFD EGC 从而 FED GEC 连结 AF BG 则 EFA EGB 故 FAE GBE 又 CD AB EDC ECD 所以 FAB GBA 所以 AFG GBA 180 故 A B G F 四点共圆 10 分 解 I 3 2 2 5 27 25 3 5 x f xxxxx x 当2 5 3273 xx 时 所以 3 3 f x 5 分 II 由 I 可知 当 2 2 815xf xxx 时 的解集为空集 当 2 25 815 535 xf xxxxx 时的解集为 当 2 5 815 56 xf xxxxx 时的解集为 综上 不等式 2 815 536 f xxxxx 的解集为 10 分 3 全国新课标理 全国新课标理 24 选修 4 5 不等式选讲 设函数 3f xxax 其中 0a I 当 a 1 时 求不等式 32f xx 的解集 II 若不等式 0f x 的解集为 x 1 x 求 a 的值 解 当 1a 时 32f xx 可化为 1 2x 由此可得 3x 或 1x 故不等式 32f xx 的解集为 3x x 或 1 x 由 0f x 得 30 xax 此不等式化为不等式组 30 xa xax 或 30 xa axx 即 4 xa a x 或 2 xa a a 因为 0a 所以不等式组的解集为 2 a x x 由题设可得 2 a 1 故 2a 2010 年高考题 一 填空题一 填空题 1 1 20102010 陕西文 陕西文 考生注意 请在下列三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一 题评分 A 不等式选做题 不等式21x 3 的解集为 答案 12xx 解析 213123312 xxx B 几何证明选做题 如图 已知 Rt ABC的两条直角边AC BC的长分别为 3cm 4cm 以 AC为直径的圆与AB交于点D 则BD cm 答案 16 5 解析 ABCD 由直角三角形射影定理可得 5 16 BD5 BA4 BC 2 所以又BABDBC 二 简答题 2 2 20102010 辽宁理 辽宁理 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知cba 均为正数 证明 36 111 2222 cba cba 并确定cba 为何值时 等号成立 证明 证法一 因为 a b c 均为正数 由平均值不等式得 2 222 3 1 3 3 111 3 abcabc abc abc 所以 2 2 3 111 9 abc abc 6 分 故 22 2222 33 111 3 9 abcabcabc abc 又 22 33 3 9 2 276 3abcabc 所以原不等式成立 8 分 当且仅当 a b c 时 式和 式等号成立 当且仅当 22 33 3 9 abcabc 时 式等号 成立 即当且仅当 a b c 1 4 3时 原式等号成立 10 分 证法二 因为 a b c 均为正数 由基本不等式得 22 22 22 2 2 2 abab bcbc caac 所以 222 abcabbcac 同理 222 111111 abcabbcac 6 分 故 2222 111 abc abc 111 333 6 3 abbcac abbcac 所以原不等式成立 8 分 当且仅当 a b c 时 式和 式等号成立 当且仅当 a b c 222 3abbcac 时 式等号成立 即当且仅当 a b c 1 4 3时 原式等号成立 10 分 3 20102010 福建理 福建理 本题设有 1 2 3 三个选考题 每题 7 分 请考生任选 2 题做答 满分 14 分 如果多做 则按所做的前两题计分 作答时 先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题 目对应的题号涂黑 并将所选题号填入括号中 1 本小题满分 7 分 选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵 M 1 1 a b 2 0 c N d 且 20 20 MN 求实数 a b c d的值 求直线3yx 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程 2 本小题满分 7 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中 直线l的参数方程为 2 3 2 2 5 2 xt yt t 为参数 在极坐标系 与直 角坐标系 xoy 取相同的长度单位 且以原点 O 为极点 以 x 轴正半轴为极轴 中 圆 C 的方 程为2 5sin 求圆 C 的直角坐标方程 设圆 C 与直线l交于点 A B 若点 P 的坐标为 3 5 求 PA PB 3 本小题满分 7 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 f xxa 若不等式 3f x 的解集为 15xx 求实数a的值 在 的条件下 若 5 f xf xm 对一切实数 x 恒成立 求实数 m 的取值范 围 1 选修 4 2 矩阵与变换 命题意图 本小题主要考查矩阵与变换等基础知识 考查运算求解能力 解析 由题设得 02 20 02 20 c ad bc bd 解得 1 1 2 2 a b c d 因为矩阵 M 所对应的线性变换将直线变成直线 或点 所以可取直线3yx 上的两 0 0 1 3 由 0 0 11 11 0 0 1 3 11 11 2 2 得 点 0 0 1 3 在矩阵 M 所对应 的线性变换下的像是 0 0 2 2 从而 直线3yx 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程为yx 2 选修 4 4 坐标系与参数方程 命题意图 本小题主要考查直线的参数方程 圆的极坐标方程 直线与圆的位置关系等基 础知识 考查运算求解能力 解析 由2 5sin 得 22 2 50 xyy 即 22 5 5 xy 将l的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程 得 22 22 3 5 22 tt 即 2 3 240 tt 由于 2 3 2 4 420 故可设 12 t t是上述方程的两实根 所以 12 1 2 3 2 3 5 4 tt lP t t 又直线过点故由上式及 t 的几何意义得 PA PB 12 t t 12 t t 3 2 3 选修 4 5 不等式选讲 命题意图 本小题主要考查绝对值的意义 绝对值不等式等基础知识 考查运算求解能力 解析 由 3f x 得 3xa 解得33axa 又已知不等式 3f x 的 解集为 15xx 所以 31 35 a a 解得2a 当2a 时 2 f xx 设 5 g xf xf x 于是 x 2 3 g xx 21 2 xx x xx 所以 当x5 当 3x2 时 g x 5 当x 2时 g x 5 4 4 20102010 江苏卷 江苏卷 21 选做题选做题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两题请选定其中两题 并在相应的并在相应的 答题区域内作答答题区域内作答 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 D 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分 10 分 设 a b 是非负实数 求证 3322 abab ab 解析 本题主要考查证明不等式的基本方法 考查推理论证的能力 满分 10 分 方法一 证明 332222 abab abaaabbbba 55 abab 2432234 abaabababb 因为实数 a b 0 2432234 0 0abaabababb 所以上式 0 即有 3322 abab ab 方法二 证明 由 a b 是非负实数 作差得 332222 abab abaaabbbba 55 abab 当ab 时 ab 从而 55 ab 得 55 0abab 当ab 时 ab 从而 55 ab 得 55 0abab 所以 3322 abab ab 2009 年高考题 一 简答题 1 09 海南海南 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 如图 O 为数轴的原点 A B M 为数轴上三点 C 为线段 OM 上的动点 设 x 表示 C 与原 点的距离 y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和 1 将 y 表示成 x 的函数 2 要使 y 的值不超过 70 x 应该在什么范围内取值 解 4 10 6 20 030 yxxx 依题意 x