二元一次不等式(组)与平面区域

怀仁十一中高中部数学学案导学 三十九 怀仁十一中高中部数学学案导学 三十九 1 二元一次不等式二元一次不等式 组组 与平面区域与平面区域 主备人主备人 张福清张福清 学习目标学习目标 1 知识与技能 懂得将实际问题转化为线性规划问题 2 过程与方法 本节课是在学习了相关内容后的第二节课 学生已经学会了如何画出一 元二次不等式 组 所表示的平面区域 这节课主要是通过实际生活中的例子提供给学生 应用数学的实践机会 教师要善于引导学生思维 调动学习兴趣 让他们乐学并巧学 真 切体会到数学在生活中的妙用 针对本堂课的特点 采用多媒体教学可更好地促进教学双 赢 3 情感与价值 培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力 加强学生之间的合作互助精 神 并从数形结合中得到辨证唯物主义的思想教育 教学重点 教学重点 从实际问题中抽象出二元一次不等式 组 会画二元一次不等式 组 表示的平面区域 教学难点 教学难点 如何确定不等式表示的哪一侧区域 0 AxByC 或 0 0AxByC 将直线方程转化为一次函数 0AxByC 自学指导自学指导 一 一 二元一次不等式和二元一次不等式组的定义二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 问题问题 2 2 你能试着给二元一次不等式和二元一次不等式组下定义吗 类比于一元一次不等式 组 和二元一次不等式 组 的定义 1 二元一次不等式 含有两个未知数 并且未知数的最高次数是 1 的不等式叫做二元一 次不等式 2 二元一次不等式组 有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组 二 二 二元一次不等式和二元一次不等式组的解集二元一次不等式和二元一次不等式组的解集 1 二元一次不等式的解集是满足二元一次不等式的有序实数对 x y 构成的集合 也 就是直角坐标系内的点构成的集合 2 二元一次不等式组的解集 是每个二元一次不等式解集的交集 三 二元一次不等式 组 解集的表示方法 三 二元一次不等式 组 解集的表示方法 1 回忆 在数轴上一元一次不等式 组 的解集怎么表示呢 是数轴上的区间 2 探究 问题问题 3 在直角坐标系内 二元一次不等式 组 的解集表示什么图形 有序数对 x y 可以看作平面直角坐标系内的点 而二元一次不等式的解集有点的坐标构 成 这些点又构成什么图形呢 问题问题 4 4 在平面直角坐标系中 x y 6 表示什么图形 x y 6 即 y x 6 是直线方程 画出直线 直线上点的坐标 x y 满足方程 x y 6 问题问题 5 二元一次不等式 x y x 6 的解集与 y x 6 的解集有什么关系 满足 x y6 的点在哪个区域呢 取几个特殊点代入 设点是直线 x y 6 上的点 选取点 使它的坐标满足不等式 x y 6 请同学们完成下面 的表格 怀仁十一中高中部数学学案导学 三十九 怀仁十一中高中部数学学案导学 三十九 2 横坐标 x 3 2 10123 点 P 的纵坐标 1 y 点 A 的纵坐标 2 y 并思考 当点 A 与点 P 有相同的横坐标时 它们的纵坐标有什么关系 根据此说说 直线 x y 6 左上方的坐标与不等式 x y 6 有什么关系 直线 x y 6 右下方点的坐标呢 在平面直角坐标系中 以二元一次不等式 x y 6 的解为坐标的点都在直线 x y 6 的左上 方 反过来 直线 x y 6 左上方的点的坐标都满足不等式 x y 6 因此 在平面直角坐标系中 不等式 x y6 表示直线 x y 6 右下方的区域 如图 2 直线 x y 6 叫做这两个区域的边界边界 由特殊例子推广到一般情况 3 结论 二元一次不等式Ax By C 0 0 表示直线的哪一侧区域 C 0 时 常把原点作为特殊点 尝试练习尝试练习 1 以下四个命题中 正确的是 原点与点 2 3 在直线 2x y 3 0 的同侧 点 3 2 与点 2 3 在直线 x y 0 同侧 原点与点 2 1 在直线 2y 6x 1 0 异侧 原点与点 2 1 在直线 2y 6x 1 0 同侧 2 不等式 x 3y 1 0 表示的平面区域在直线 x 3y 1 0 的 A 右上方 B 右下方 C 左下方 D 左上方 3 在坐标平面上 不等式组 13 1 xy xy 所表示的平面区域的面积为 怀仁十一中高中部数学学案导学 三十九 怀仁十一中高中部数学学案导学 三十九 3 A 2 B 2 3 2 23 2 一 填空题 4 若 x y 满足条件 0 0 62 5 yx yx yx 则目标函数 z 6x 8y 的最大值为 最小值为 5 若实数 x y 满足 822 624 yx yx 则 x y 的范围是 6 非负实数 x y 满足 03 042 yx yx 则 x 3y 的最大值是 典例精讲典例精讲 例 1 画出不等式 x 4y0 仅在点 3 1 处取得最大值 则 a 的取值范围是 怀仁十一中高中部数学学案导学 三十九 怀仁十一中高中部数学学案导学 三十九 6 4 设 D 是不等式组 1 40 32 102 y x yx yx 表示的平面区域 则 D 中的点 P x y 到直线 x y 10 距离的最大值是 5 某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号的电视机 每台 A 型 B 型电视机所得的利润分别 为 6 和 4 个单位 而生产一台 A 型 B 型电视机所耗原料分别为 2 和 3 个单位 所需工时分别为 4 和 2 个 单位 如果允许使用的原料为 100 个单位 工时为 120 个单位 且 A B 型电视机的产量分别不低于 5 台 和 10 台 那么生产两种类型电视机各多少台 才能使利润最大 6 制定投资计划时 不仅要考虑可能获得的赢利 而且要考虑可能出现的亏损 某投资人打算投资甲 乙两个项目 根据预测 甲 乙项目可能的最大赢利率分别为 100 和 50 可能的最大亏损率分别为 30 和 10 投资人计划投资金额不超过 10 万元 要求确保可能的资金亏损不超过 1 8 万元 问投资 人对甲 乙两个项目各投资多少万元 才能使可能的赢利最大 能力提升能力提升 怀仁十一中高中部数学学案导学 三十九 怀仁十一中高中部数学学案导学 三十九 7 1 求 z x 2y 的最大值 使式子中的 x y 满足 3 1 1 1 y yx xy 该问题中的不等式组叫做 z x 2y 叫做 3 1 2 目标函数 z 4x y 将其看成直线方程时 z 的几何意义 A 该直线的截距 B 该直线的纵截距 C 该直线的横截距 D 该直线的纵截距的相反数 3 若则目标函数 z x 2y 的取值范围是 2 2 2 yx y x A 2 6 B 2 5 C 3 6 D 3 5 4 在 ABC 中 三顶点坐标为 A 2 4 B 1 2 C 1 0 点 P x y 在 ABC 内部及边界运动 则 z x y 的最大 最小值分别是 A 3 1B 1 3C 1 3D 3 1 5 给出一平面区域 如图所示 若使目标函数 z ax y a 0 取得最大值的最优解有无穷多个 则 a 的 值为 第 5 题图 A B C 4 D 4 1 5 3 3 5 6 已知 1 x y 5 1 x y 3 求 2x 3y的取值范围 7 某工厂计划用甲 乙两台机器生产 A B 两种产品 每种产品都要依次进行甲 乙机器的加工 已知生 怀仁十一中高中部数学学案导学 三十九 怀仁十一中高中部数学学案导学 三十九 8 产一件 A 产品在甲 乙机器上加工的时间分别为 2 h 和 3 h 生产一件 B 产品在甲 乙机器上加工的时间 分别为 4 h 和 2 h 甲 乙机器每周可分别工作 180 h 和 150 h 若每件 A 产品的利润是 40 元 每件 B 产 品的利润是 60 元 问此工厂应如何安排生产才能获得最大的利润 即如何确定一周内每种产品生产的数 量 8 某工厂生产甲 乙两种产品 已知生产甲产品 1 t 需耗 A 种矿石 10 t B 种矿石 5 t 煤 4 t 生产乙种产