06. 一元二次方程专项训练(六)

第十二章第十二章 一元二次方程专项训练一元二次方程专项训练 四四 例题精选例题精选 例例 1 把下列二次三项式在实数范围内分解因式 3612 2 xx 285 22 xxyy xxx x 2 2 213 3612 2 xx 解解 方程 0 的两个根是3612 2 xx xx 12 1515 361231515 2 xxxx 285 22 xxyy 解 关于的方程 0 的根是x 285 22 xxyy x yyy yy yy 88425 22 82 6 4 46 2 22 285 22 xxyy 2 46 2 46 2 xyxy xxx x 2 2 213 解 xxx x 2 2 213 xxxx xxxx 2 2 2 22 23 31 方程的两个根是xx 2 30 xx 12 113 2 113 2 xxxx 2 3 113 2 113 2 对于方程 xx 2 10 141 130 方程没有实数根xx 2 10 xxx xxxxx 2 2 2 213 113 2 113 2 1 小结小结 第 小题 0 的根都是3612243612024 2222 xxxxxxxx 而与 因为代数式必须进行恒等变形 所以若把二次项系数 3 丢掉即结果x 15 为实际上是对进行因式分解 可见二次项系数 xx 1515xx 2 24 的重要性 第 小题是一个二次齐次式 可以看作 或 的二次三项式 xy 解关于 或 的二元一次方程 第 小题也有类似情况 即看作关于xy 的二次三项式 通过第 小题还应明确的是 学习了新的因式分解的方 xx 2 法 并不是要放弃旧的方法 而是要按照因式分解的思路 采取最佳的方法 本题第一步采用的是十字相乘法 因式分解要进行到每一个多项式因式都 不能再分解为止 例例 2 两个正数的差为 2 它们的平方和为 52 求这两个数 解 解 设较小的数为 x 则另一个为 x 2 根据题意 得xx 22 252 整理 得xx 2 2240 解这个方程 得 不合题意 舍去 xx 12 46 由 4 得 2 6xx 答 这两个数分别为 4 和 6 小结 小结 关于数的问题 要正确的把数表示出来 一般地 若大小两个数 则设小数为 避免出现 若连续奇 偶 数 则设为 2 若三xxx 个连续整数 则设为 1 1 若是一个三位数 则应表示为xxxabc 10010abc 例例 3 某商店四月份电扇的销售量为 500 台 随着天气的变化 第二季度电 扇的销售量为 1820 台 问五月份 六月份平均每月电扇销售量的增长率是多少 解析解析 第一个月 四月份 电扇销售量为 500 台 设平均每月电扇销售量 的增长率为 则第二个月 五月份 电扇销售量增长了 500 即第二个月电xx 扇销售量为 500 500 台 就是 500 1 台 第三个月 六月份 电xx 扇销售量为 500 1 500 1 台 就是 数量关系见下xxx5001 2 x 表 销售量 台 下月增长量 台 销售量 下月增长量 台 四月份500500 x500 500 1 x 五月份500 1 x500 1 xx500 1 500 1 xxx 六月份 5001 2 x 总计500 500 1 x5001 2 x 解解 设五月份 六月份平均每月电扇销售量的增长率为 根据题意 得x 500 500 1 1820 x5001 2 x 整理 得xx 2 30640 xx x x 2 2 152252250640 15289 1517 不合题意 舍去 xx 12 0232 答 五月份 六月份平均每月电扇销售量的增长率为 20 小结 小结 通过列表把各种数量关系表示出来 看起来很费时间 实际上有了 表就可以很快地列出方程了 此外 我们还可以推出每个月的电扇销售量 第 四个月为台 第五个月为台 第 n 个月为500 1 3 x500 1 4 x 台 500 1 1 x n 例例 4 如图 在宽为 20m 长为 32m 的矩形田地中央修筑同样宽的两条互 相垂直的道路 把矩形田地分成四个相同面积的小田地 作为良种试验田 要 使每小块试验田的面积为 135m2 道路的宽应为多少 解析 解析 从图中可以看出 四块小试验田的面积与两条道路所占的面积的和 等于整个矩 形田地的面积 这是本题的相等关系 关键是 如何把两条道路所占的面积表示出来 设道路 的宽为m 则横向道路面积为 32m2 纵向xx 道路面积为 20m2 但两条道路的面积和并不x 等于阴影部分的面积 而是多了一个宽为mx 的小正方形的面积 所以 矩形田地面积 32 20m2 四块小实验田的面积 135 4m2 两条道路所占的面积 3220 22 xxx m 解 解 设道路的宽为m 根据题意 得x 135432203220 2 xxx 整理 得 或 xx xx xx 2 521000 5020 50020 xx 12 502 不合题意 舍去 答 道路的宽应为 2m 小结小结 由于题目要求把矩形田地分成四个相同面积 135m2 的小田地 情 况特殊 故本题也有特殊的解法 用小田地的面积作为相等关系 设道路的宽 为m 则小田地的长为 小田地的宽为 所以 x 32 2 x m 20 2 x m 32 2 x 同样解得 2 20 2 x 135x 例例 5 甲 乙二人分别从相距 20 千米的 A B 两地以相同的速度同时相向 而行 相遇后 二人继续前进 乙的速度不变 甲每小时比原来多走 1 千米 结果甲到达 B 地后乙还需 30 分钟才能到达 A 地 求乙每小时走多少千米 解析 解析 表面上看甲 乙二人的行程有些复杂 但仔细阅读题目并通过画图 会发现甲乙二人实际上是在中点相遇 相遇后同样的路程乙比甲多用了 30 分钟 设乙每小时走千米 x 相遇前 相遇后 路程 千米 速度 千米 时 时间 小时 甲10 1x 10 1x 乙10 x 10 x 解 解 设乙每小时走千米 则相遇后甲每小时走 1 千米 根据题意 xx 得 10 1 101 2xx 方程的两边都乘以 2 1 约去分母 整理得x x xx 2 200 解这个方程 得 xx 12 45 经检验 都是原方程的根 但速度为负数不合题意 所以只xx 12 45 取 4 x 答 乙每小时走 4 千米 例例 6 甲 乙 丙三人合作需 1 小时 20 分完成一件工作 若各人独作时 丙所需时间为甲所需时间的 2 倍 但比乙所需时间只多用 2 小时 问每人独作 各需多少时间 解析 解析 三人合作需 1 小时 20 分小时 那么三人合作的工作效率 单位 4 3 时间内的工作量 应为 1 设甲单独作需 x 小时 则丙独作需 2x 小时 4 3 3 4 乙独作需 2 2 小时 那么他们三人各自的工作效率为 甲 乙 x 1 x 丙 易知三人各自工作效率的和应等于三人合作的工作效率 1 22x 1 2x 解解 设甲独作需小时 则丙独作需 2小时 乙独作需 2 2 小时 xxx 根据题意 得 1 x 1 22x 1 2x 3 4 方程的两边都乘以 4 1 约去分母 整理得x x 31160 2 xx 解这个方程 得 xx 12 2 3 3 经检验 都是原方程的根 但不合题意 为什么 xx 12 2 3 3 2 3 4 3 所以只取 3 这时 2 6 2 2 4xxx 答 甲独作需 3 小时 乙独作需 4 小时 丙独作需 6 小时 小结 小结 例 5 例 6 是列分式方程解应用题 注意到无论是列方程还是解方程 都要比列一元二次方程解应用题要复杂一些 应该引起足够的重视 需要从两 方面进行训练 审题 找相等关系的训练 解分式方程的训练 此外 对 各种基本问题的深刻理解也是十分重要的 如 例 5 是行程问题 速度 时间 路程三者的关系 追及问题 相遇问题常用的相等关系 顺水 逆水或顺风 逆风的速度如何表示 例 6 是工程问题 工作效率 工作总量 工作时间 一 般设工作总量为 1 事实上 行程问题中速度 时间 路程的关系与工程问 题中工作效率 工作时间 工作总量的关系是一致的 即行程问题中速度 时 间 路程到了工程问题中就变成了工作效率 工作时间 工作总量 进一步再考虑这样一个问题 什么样的应用题需要列分式方程来解决 也 就是说 分式方程是如何 产生 的呢 以行程问题为例 随着大家做了一定 数量的列分式方程解应用题的题目以后会发现 这类应用题的问题往往是问速 度 或时间 是多少 这就需要设速度 或时间 为未知数去列方程 同时题 目中路程是已知的 而相等关系一定是关于时间 或速度 的 因为时间 可见 未知数出现在分母 我们知道 分母中含 路程 速度 或速度 路程 时间 有未知数的方程叫分式方程 因而就 产生 了分式方程 所以在行程问题 中 只要问题问的是速度 或时间 题目又是以时间 或速度 为相等关系 的 那么列出的方程一定是分式方程 如果明确了什么样的行程问题需要列分 式方程来解决 那么其它类型的应用题 如工程问题 何时需要列分式方程来 解决也就十分清楚了 总之 掌握了这些特点 解起题来就会得心应手 同时 我们也应看到 不要单纯为了追求数量而去解题 而是应注重质量 做一道题应该有一道题的收获 一方面 通过解题来巩固知识 熟练方法 另 一方面 在解题过程中要勤于思考 善于进行总结归纳 使自己系统完整地掌 握知识 同时也提高了自身的自学能力 专项训练专项训练 一 填空 小题在实数范围内分解因式 xx 2 21 234 2 xx 285 22 xxyy 8184 22 xxyy xxxx 2 2 2 510524 aaaaa 222 16112 某农场的粮食产量在两年内从 3000 吨增加到 3630 吨 则该农场的粮食 产量平均每年增产的百分率是 用百分数表示 某种商品的进货价每件为 a 元 零售价每件 1100 元 若商店按零售价的 50 降价销售 仍可获利 10 相对于进货价 则 a 元 二 选择 1 一件工作 甲 乙二人合作 3 小时完成 甲单独做 4 小时完成 设乙单独做 小时完x 成 则列出的方程是 A B 3 1 4 1 1 x 3 11 4 1 x C D 3 41 x3 41 x 2 一项工程 如果甲独做要天完成 乙独做要天完成 那么两人合做完成xy 这项工程所需的天数是 A B 2 1 xy 1 11 xy C D xy 21 11 xy 3 改革开放以来 某地区的乡镇企业迅速发展 1995 年产值达 2 亿元 预计 1998 年的产值可达 16 亿元 那么 1996 至 1998 年间的产值平均增长率为 A 25 B 50 C 75 D 100 4 某农场 1994 年的粮食产量为 a 以后每年比上年增长 p 那么 1996 年这 农场的粮食产量是 A B ap 1 2 ap 1 2 C D aa p 2aap 2 5 某钢铁厂去年 1 月某种钢的产量为 5000 吨 3 月上升到 7200 吨 设平均每 月增长的百分率为 根据题意 得 x A 5000 15000 17200 2 xx B 5000 17200 2 x C 5000 17200 2 x D 50005000 15000 17200 2 xx 6 某家俱的标价为 132 元 若降价为 9 折出售 即优惠 10 仍可获利 10 相对于进货价 则该家俱的进货价是 A 108 元B 105 元C 106 元D 48 元 7 某班组织一组学生参加六盘山夏令营活动 预计共需费用 1200 元 后来又 有两名学生参加进来 费用不变 这样每人可少摊 30 元 原来这组学生人数为 A 15B 12C 10D 8 8 某商场销售一批电视机 一月份每台毛利润是售出价的 20 毛利润 售出 价 买入价 二月份该商场将每台售出价调低 10 买入价不变 结果销 售台数比一月份增加 120 那么二月份的毛利润总额与一月份的毛利润总额相 比 A 增加 10 B 增加 12 C 减少 10 D 不增也不 减 三 列方程解应用题 1 两个数的差为 4 它们的积为 45 求这两个数 2 有五个连续整数 其中前三个数的平方和等于后两个数的平方和 试求这五 个数 3 两个正方形面积和为 106 平方厘米 它们的周长的差是 16 厘米 问这两个 正方形的边长各是多少 4 利用墙为一边 再用 13 米的铁丝当三边 围成一个面积为 20 平方米的长方 形 问这个长方形的长和宽各是多少 5 直角三角形的周长为 24 斜边上的中线为 5 求这个直角三角形的两条直角 边的长 6 我国的改革开放 促进了航空事业的发展 某机场 1996 年飞机起落总数比 1994 年的飞机起落总数增加了 1 倍 如果平均每年增加的百分数是 试求出x 该百分数 x2141431732 7 某市 1995 年国内生产总值约 640 亿元 预计到 1997 年国内生产总值可达到 约 846 亿元 求平均年增长率是多少 精确到 1 132115846925414407358 8 某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行 到期后支取 1000 元用作购物 剩下的 1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行 若存款的利率不变 到 期后得本金和利息共 1320 元 求这种存款方式的年利率 9 某校初三到距该校 30 公里处郊游 一 二两班学生分乘甲 乙两车前往 已知甲车比乙车每小时快 5 公里 两车同时出发 结果甲车比乙车早到 5 分钟 求甲 乙两车每小时各行多少公里 10 A B 两地的路程为 40 千米 甲 乙两人骑自行车同时从 A 地出发 匀速 驶往 B 地 15 分钟后甲在乙前 1 千米 乙到达 B 地比甲晚半小时 甲 乙两人 每小时各行多少行米 11 甲站距离乙站 300 千米 一列快车和一列慢车同时从甲站开出 1 小时后 快车在慢车前 12 千米 快车到达乙站比慢车早 50 分钟 求快车和慢车每小时 各走几千米 12 A B 两地相距 300 千米 某车由 A 地出发 计划用 6 小时到达 B 地 行 驶 80 千米后加快速度 每小时比原来多行驶 15 千米 正好按时到达 求该车 加速后的速度 13 已知一汽船在顺流中航行 8 千米和在逆流中航行 2 千米用去的时间正好等 于它在静水中航行 9 千米用去的时间 并且水流的速度是 2 千米 时 求汽船在 静水中的速度 14 甲 乙两工程队各挖 15 千米水渠 甲队比乙队每天可多挖 1 千米 甲队的 完工时间比乙队少半天 问甲 乙两工程队每天各挖水渠多少千米 15 甲 乙两队学生绿化校园 如果两队合作 4 天可以完成 如果单独工作 甲队比乙队少用 6 天 问两队单独工作各需多少天完成 16 一个水池有甲 乙两个进水管 甲管注满水池比乙管快 4 小时 如果单独 开放甲管 5 小时 再单独开放乙管 6 小时 就可以注满水池的一半 求单独开 放一个水管 注满水池各需多少时间 17 一项工程 甲独作比三人合作需多用 5 天 乙独作比三人合作需多用 15 天 丙独作所需时间等于三人合作所需时间的 4 倍 求三人合作几天完成 18 支援灾区 某校初三学生捐款 甲班捐款 200 元 乙班 30 名同学捐款 200 元 这样两班人均捐款比甲班人均捐款多 1 元 问甲班有多少名同学 规定 班级人数不超过 60 人 19 某车间加工 300 个零件 在加工完 80 个后 改进了操作方法 每天能多加 工 15 个 一共用 6 天完成了任务 求改进操作方法后每天加工的零件数 20 装配车间原计划在若干天内装配出 44 台机床 最初 3 天是按计划进行的 以后为了赶进度 每天多装配 2 台 因此提前 2 天且超额 4 台完成了任务 问 原计划每天装配多少台 21 某商店将甲 乙两种糖果混合销售 并按以下公式确定混合糖果的单价 单价 元 千克 其中分别为甲 乙两种糖果的重量 a ma m mm 1122 12 mm 12 千克 分别为甲 乙两种糖果的单价 元 千克 已知甲种糖果单aa 12 价为 20 元 千克 乙种糖果的单价为 16 元 千克 现将 10 千克乙种糖果和一箱 甲种糖果 搅拌均匀 销售 售出 5 千克后又在混合糖果中加入 5 千克乙种糖 果 再出售时 混合糖果的单价为 17 5 元 千克 问这箱甲种糖果有多少千克 答案答案 一填空 原式 xx xx xyxy xy xy xxxx aaaaa aa a 1212 2 341 4 341 4 2 46 2 46 2 2 42 16 541 2 541 2 11612 1516 222 2 2 2 a aaaa aaa 2 22 2 2131 1 35 2 35 2 10 500 二 选择题 1 A2 D3 D4 B5 C6 A7 D 8 A 110 120 1220 20 20 10 三 列方程解应用题 1 9 5 或 5 9 2 2 1 0 1 2 或 10 11 12 13 14 3 9 厘米和 5 厘米 4 长 8 米 宽 2 5 米或长 5 米 宽 4 米 5 斜边上的中线为 5 则斜边为 10 故两条直角边和为 14 设一直角边为