2.2.2《椭圆》知能优化训练（苏教版选修2-1）

1 椭圆 6x2 y2 6 的长轴的端点坐标是 解析 由已知椭圆方程可化为 x2 1 其长半轴 a 且长轴在 y 轴上 故长轴的 y2 66 两个端点为 A1 0 和 A2 0 66 答案 0 6 2 若椭圆 1 的离心率为 则 m 的值为 x2 16 y2 m 1 3 解析 由已知得 1 或 1 m 或 18 m 16 1 9 16 m 1 9 128 9 答案 或 18 128 9 3 已知点 3 2 在椭圆 1 a b 0 上 下列说法正确的是 x2 a2 y2 b2 点 3 2 不在椭圆上 点 3 2 不在椭圆上 点 3 2 在椭圆上 无法判断点 3 2 3 2 3 2 是否在椭圆上 答案 4 已知椭圆 G 的中心在坐标原点 长轴在 x 轴上 离心率为 且 G 上一点到 G 的两 3 2 个焦点的距离之和为 12 则椭圆 G 的方程为 解析 设椭圆的长半轴长为 a 由 2a 12 知 a 6 又 e 故 c a 3 2 c 3 b2 a2 c2 36 27 9 椭圆标准方程为 1 3 x2 36 y2 9 答案 1 x2 36 y2 9 一 填空题 1 已知 B1 B2为椭圆短轴的两个端点 F1 F2是椭圆的两个焦点 若四边形 B1F1B2F2 为正方形 则椭圆的离心率为 解析 由已知 b c a e 2 2 c a 2 2 答案 2 2 2 设椭圆的两个焦点分别为 F1 F2 过点 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P 若 F1PF2为等腰直角三角形 则椭圆的离心率为 解析 由已知得 PF2 2c PF1 2c 2c 2c 2a 即 2 2 c 2a e 222 c a 1 1 2 12 答案 1 2 3 已知两椭圆 1 与 1 0 kb 0 的两个焦点 P 为椭圆 C 上的一点 且 x2 a2 y2 b2 若 PF1F2的面积为 9 则其短轴长为 PF1 PF2 解析 依题意有Error PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 4a2 4c2 36 4a2 a2 c2 9 即 b2 9 b 3 2b 6 答案 6 5 已知椭圆的中心在原点 一个焦点为 F 3 0 若以其四个顶点为顶点的四边形的面积 是 40 则该椭圆的方程是 解析 以椭圆顶点为顶点的四边形是对角线长分别为 2a 和 2b 的菱形 因此其面积为 s 2a 2b 2ab 40 ab 20 又 c 3 且 1 2 a2 b2 c2 a2 9 a4 9a2 400 0 a2 25 或 a2 16 舍去 400 a2 a 5 b 4 所求方程为 1 x2 25 y2 16 答案 1 x2 25 y2 16 6 如图所示 F1 F2分别为椭圆 1 a b 0 的左 右焦点 点 P 在椭圆上 等边 x2 a2 y2 b2 三角形 POF2的面积为 则 b2的值是 3 解析 F1 F2为椭圆的两个焦点 点 P 在椭圆上 且等边三角形 POF2的面积为 3 S OF2 PO sin 60 c2 即 c2 4 点 P 的坐标为 1 2 3 43 c 2 3 2 c P 1 将点 P 1 代入椭圆的方程得 b2 2 333 答案 2 3 7 设椭圆 1 a b 0 的两个焦点分别为 F1 F2 点 P 在椭圆上 x2 a2 y2 b2 且 0 tan PF1F2 2 则该椭圆的离心率为 PF1 PF2 解析 依题意 F1PF2 90 由 tan PF1F2 2 得 2 即 PF1 PF2 2a PF1 PF1 2a 3 2 2 4c2 解得 e 4a 3 2a 3 4a 3 c a 5 3 答案 5 3 8 已知 F1 F2为椭圆的两个焦点 以 F1为圆心 且经过椭圆中心的圆与椭圆有一个公 共点为 P 若 PF2恰好与圆 F1相切 则该椭圆的离心率为 解析 由已知圆 F1的半径 r c 即 PF1 c 又 PF2与圆 F1相切 所以 PF2 PF1 F1F2 2c PF2 c 3 PF1 PF2 1 c 2a 3 e 1 c a 2 1 33 答案 1 3 二 解答题 9 已知椭圆 x2 m 3 y2 m m 0 的离心率 e 求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长 3 2 焦点坐标 顶点坐标 解 椭圆方程可化为 1 x2 m y2 m m 3 因为 m 0 m m 3 m m 2 m 3 所以 m m m 3 即 a2 m b2 c m m 3a2 b2 m m 2 m 3 由 e 得 所以 m 1 3 2 m 2 m 3 3 2 所以椭圆的标准方程为 x2 1 所以 a 1 b c 所以椭圆的长轴长为 2 短 y2 1 4 1 2 3 2 轴长为 1 两焦点坐标分别为 F1 0 F2 0 四个顶点坐标分别为 A1 1 0 3 2 3 2 A2 1 0 B1 0 B2 0 1 2 1 2 10 对称轴为坐标轴的椭圆的焦点 F1 F2在 x 轴上 短轴的一个端点为 B 已知 BF1F2的周长为 4 2 BF1F2 30 求椭圆的方程 3 解 设椭圆方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 在 Rt BF1O 中 BF1 a BO b OF1 c BF1F2 30 cos 30 即 OF1 BF1 c a 3 2 又 BF1 OF1 4 2 即 a c 2 1 233 由 两式 得 a 2 c 3 b2 a2 c2 1 所求椭圆方程为 y2 1 x2 4 11 设直线 l y x m 与椭圆 C 1 a 1 相交于 A B 两点 且 l 过椭圆 C x2 a2 y2 a2 1 的右焦点 若以 AB 为直径的圆经过椭圆的左焦点 试求椭圆 C 的方程 解 由椭圆 C 1 a 1 得 c 1 椭圆的两个焦点为 F1 1 0 x2 a2 y2 a2 1 a2 a2 1 F2 1 0 又 l 经过点 F2 m 1 即直线 l 的方程为 y x 1 代入 1 a 1 得 x2 a2 y2 a2 1 2a2 1 x2 2a2x 2a2 a4 0 设 A x1 y1 B x2 y2 x1x2 又 以 AB 为直径的 2a2 a4 2a2 1 圆过点 F1 AF1 BF1 kAF1 kBF1 1 即 1 y1y2 x1 1 x2 1 y1