一题多解 行程应用题

一题多解一题多解 行程应用题行程应用题 例例 1 1 两辆汽车同时从甲 乙两地相对开出 两辆汽车同时从甲 乙两地相对开出 5 5 小时后相遇 一辆汽车的速度是每小时小时后相遇 一辆汽车的速度是每小时 5555 千米 另一辆汽车的速度是千米 另一辆汽车的速度是 每小时每小时 4545 千米 甲 乙两地相距多少千米 千米 甲 乙两地相距多少千米 分析 1 先求两辆汽车各行了多少千米 再求两辆 汽车行驶路程的和 即得甲 乙两地相距多少千米 解法 1 一辆汽车行驶了多少千米 55 5 275 千米 另一辆汽车行驶了多少千米 45 5 225 千米 甲 乙两地相距多少千米 275 225 500 千米 综合算式 55 5 45 5 275 225 500 千米 分析 2 先求出两辆汽车每小时共行驶多少千米 再 乘以相遇时间 即得甲 乙两地相距多少千米 解法 2 两车每小时共行驶多少千米 55 45 100 千米 甲 乙两地相距多少千米 100 5 500 千米 综合算式 55 45 5 100 5 500 千米 分析 3 甲 乙两地的距离除以相遇时间 就等于 两辆汽车的速度和 由此可列出方程 求甲 乙两地相距 多少千米 解法 3 设甲乙两地相距 x 千米 x 5 55 45 x 100 5 x 500 分析 4 甲乙两地距离减去一辆汽车行驶的路程 就 等于另一辆汽车行驶的路程 由此列方程解答 解法 4 设甲乙两地相距 x 千米 x 55 5 45 5 x 275 225 x 275 225 x 500 答 甲 乙两地相距 500 千米 评注 解法 2 和解法 1 是算术解法 其中解法 2 是 较好的解法 解法 3 和解法 4 是方程解法 其中解法 3 是 较好的解法 比较以上四种解法 解法 1 和解法 2 可以运 用乘法分配律相互转换 解法 1 和解法 4 解法 2 和解法 3 它们的数量关系是分别相同的 比较一下就会发现它们 只是解题思路及方法不同 例例 2 2 两辆汽车从相距两辆汽车从相距 345345 千米的两地同时相向开出 一辆汽车每小时行千米的两地同时相向开出 一辆汽车每小时行 6060 千米 另一辆汽车每小时行千米 另一辆汽车每小时行 5555 千米 经过千米 经过 几小时两辆汽车可以相遇 几小时两辆汽车可以相遇 分析 1 先求出两辆汽车每小时共行多少千米 即 速度和 然后根据公式 两地距离 速度和 相遇时间 即 可求得 解法 1 345 60 55 345 115 3 小时 分析 2 根据 速度和 相遇时间 两地距离 这一 等量关系 列方程解 解法 2 设经过 x 小时两车相遇 60 55 x 345 x 345 60 55 x 345 115 x 3 评注 解法 1 思路清晰 运算简便 是本题的较好 解法 后三种解法都是方程解法 实际上这三种方程解法 都是同一数量关系 比较一下就会发现它们都是由一个方 程变形得来的 其中解法 3 较为简捷 例例 3 3 快车和慢车同时从相距快车和慢车同时从相距 385385 千米的两个城市相对开出 经过千米的两个城市相对开出 经过 5 5 小时后两车相遇 慢车每小时行小时后两车相遇 慢车每小时行 3535 千米 求快千米 求快 车每小时行多少千米 车每小时行多少千米 分析 1 先求出慢车共行了多少千米 再用两城市间 的距离减去慢车行的路程 就等于快车共行了多少千米 由此可求快车每小时行多少千米 解法 1 慢车共行了多少千米 35 5 175 千米 快车共行了多少千米 385 175 210 千米 快车每小时行多少千米 210 5 42 千米 综合算式 385 35 5 5 385 175 5 210 5 42 千米 分析 2 用两城市间距离除以两车的相遇时间 即得 两车速度和 再用速度和减去慢车的速度 即得快车速度 解法 2 两车每小时共行多少千米 385 5 77 千米 快车每小时行多少千米 77 35 42 千米 综合算式 385 5 35 77 35 42 千米 分析 3 根据 速度和 相遇时间 两地距离 这一 等量关系 列方程解 解法 3 设快车每小时行 x 千米 35 x 5 385 35 x 385 5 x 385 5 35 x 42 分析 4 根据 慢车行驶路程 快车行驶路程 两地距 离 列方程解 解法 4 设快车每小时行 x 千米 35 5 5x 385 5x 385 35 5 5x 210 x 42 分析 5 假设快车的速度与慢车的速度相同 那么两 城市之间的距离就是 35 2 5 350 千米 这样比实际 距离少 385 350 35 千米 再把 35 千米平均分成 5 份 每份与慢车速度的和 就是快车的速度 解法 5 385 35 2 5 5 35 385 350 5 35 35 5 35 7 35 42 千米 答 快车每小时行 42 千米 评注 比较以上五种解法 解法 2 的思路简明 运 算简便 也比较容易想到 是本题的最佳解法 例例 4 4 一条公路上依次有甲 乙 丙 丁四个车站 如图 小明和小华两人同时从甲 丁两站相向而行 当小明用一条公路上依次有甲 乙 丙 丁四个车站 如图 小明和小华两人同时从甲 丁两站相向而行 当小明用 4040 分钟走到乙站时 小华刚好走到丙站 问两人再走几分钟后相遇 分钟走到乙站时 小华刚好走到丙站 问两人再走几分钟后相遇 分析 1 先求出小明和小华 40 分钟共行多少米 再 除以 40 即得两人的速度和 再用 1520 米除以速度和就等 于两人再走的相遇时间 解法 1 两人 40 分钟共行了多少米 5320 1520 3800 米 两人的速度和是多少 3800 40 95 米 两人再走几分钟相遇 1520 95 16 分钟 综合算式 1520 5320 1520 40 1520 3800 40 1520 95 16 分钟 分析 2 先求出两人的速度和 再求出两人从开始行到相 遇共用多少分钟 再减去共行的 40 分钟 即得再走的相遇 时间 解法 2 两人的速度和是多少 5320 1520 40 95 米 两人走全程共需多少分钟 5320 95 56 分钟 再走几分钟两人相遇 56 40 16 分钟 综合算式 5320 5320 1520 40 40 5320 3800 40 40 5320 95 40 56 40 16 分钟 分析 3 先求出已走的路程是再走路程的几倍 再用 40 分钟除以这个倍数 即得两人再走所需的 时间 解法 3 两人已走了多少米 5320 1520 3800 米 已走路程是再走路程的几倍 3800 1520 2 5 倍 再走几分钟两人相遇 40 2 5 16 分钟 综合算式 40 5320 1520 1520 40 3800 1520 40 2 5 16 分钟 分析 4 因为两地距离 相遇时间 速度和 而两 人速度和不变 所以两地距离和相遇时间成正比例 解法 4 设再走 x 分钟两人相遇 5320 1520 40 1520 x 3800 40 1520 x x x 16 3800 152040 答 两人再走 16 分钟后相遇 评注 解法 1 是一般解法 易于理解和掌握 但 计算较繁些 解法 3 的思路简明 运算也不繁 是 本题的较好解法 同时 由解法 3 的思路还可推想 出运用分数应用题的解法 或运用比的知识解题 读者可试试 例例 5 5 甲乙两车分别从两城相对开出 甲车每小时行甲乙两车分别从两城相对开出 甲车每小时行 3333 千米 乙车每小时行千米 乙车每小时行 2828 千米千米 甲车开出甲车开出 2 2 小时后 乙车出发 小时后 乙车出发 经经 3 3 小时相遇小时相遇 两城相距多少千米 两城相距多少千米 分析 1 甲车先开 2 小时所行的路程 加上两车同时 开 3 小时所行的路程 所得的和就是两城相距多少千 米 解法 1 甲车 2 小时行了多少千米 33 2 66 千米 甲乙两车同时开 3 小时共行多少千米 33 28 3 61 3 183 千米 两城相距多少千米 66 183 249 千米 综合算式 33 2 33 28 3 33 2 61 3 66 183 249 千米 分析 2 甲车所行的路程加上乙车所行的路程 即得两城 相距多少千米 解法 2 甲车共行了几小时 2 3 5 小时 甲车共行了多少千米 33 5 165 千米 乙车行了多少千米 28 3 84 千米 两城相距多少千米 165 84 249 千米 综合算式 33 2 3 28 3 33 5 28 3 165 84 249 千米 分析 3 假设甲车开车时乙车也同时出发 即两车同时行 5 小时相遇 这样两车共行的路程比两城的实际距离多算了 2 个 28 千米 由此可求出两城间的实际距离 解法 3 假设两车同时发车 共行了几小时相遇 2 3 5 小时 两车同时行 5 小时共行多少千米 33 28 5 305 千米 乙车比实际多计算了多少千米 28 2 56 千米 两城相距多少千米 305 56 249 千米 综合算式 33 28 2 3 28 2 61 5 28 2 305 56 249 千米 分析 4 甲车先开出 2 小时 可假设为比实际晚 开出 1 小时 而乙车假设为比实际早开出 1 小时 这样原题就假设为 甲乙两车同时相向而行 经过 4 小时相遇 但两车所行路程的和比两城实际距离少 33 28 5 千米 解法 4 33 28 3 2 2 33 28 61 4 5 244 5 249 千米 答 两城相距 249 千米 评注 解法 1 和解法 2 是一般方法 容易想到 易于理解和掌握 解法 3 和解法 4 是假设法 思路 新颖 算式看起来麻烦 但运算并不麻烦 例例 6 6 甲 乙两列火车同时从相距甲 乙两列火车同时从相距 630630 千米的两地相对行驶 千米的两地相对行驶 6 6 小时相遇小时相遇 甲车每小时比乙车快甲车每小时比乙车快 5 5 千米 问两车的速度千米 问两车的速度 各是多少 各是多少 分析 1 先求甲乙两车的速度和 再用速度和加上 5 千米 就等于甲车 2 小时的行程 再除以 2 即得甲车速度 用甲 车速度减去 5 千米 即得乙车速度 解法 1 甲乙两车的速度和是多少 630 6 105 千米 甲车速度是多少 105 5 2 110 2 55 千米 乙车速度是多少 55 5 50 千米 综合算式 甲车 630 6 5 2 105 5 2 110 2 55 千米 乙车 55 5 50 千米 分析 2 假设乙车速度与甲车速度相同 那么相遇时 甲 乙两车所行的路程和比两地实际距离多计算了 5 6 30 千 米 再用 630 千米加上 30 千米的和除以 6 小时 即得甲 车 2 小时的行程 由此可先求甲车速度 再求乙车速度 解法 2 假设乙车与甲车速度相同 共多计算多少千米 5 6 30 千米 甲车 2 小时行多少千米 630 30 6 660 6 110 千米 甲车每小时行多少千米 110 2 55 千米 乙车每小时行多少千米 55 5 50 千米 综合算式 甲车 630 5 6 6 2 660 6 2 55 千米 乙车 55 5 50 千米 分析 3 假设甲车速度与乙车速度相同 那么两 车所行路程的和比两地的实际距离要少 5 6 30 千米 用 630 千米与 30 千米的差除以 6 小时 即得乙车 2 小时的行程 由此可先求乙车速 度 再求甲车的速度 解法 3 假设甲车与乙车速度相同 共少计算多 少千米 5 6 30 千米 乙车 2 小时行多少千米 630 30 6 600 6 100 千米 乙车每小时行多少千米 100 2 50 千米 甲车每小时行多少千米 50 5 55 千米 综合算式 乙车 630 5 6 6 2 600 6 2 50 千米 甲车 50 5 55 千米 分析 4 根据 速度和 相遇时间 两地距离 可 列方程解 解法 4 设乙车每小时行 x 千米 那么甲车每小时行 x 5 千米 x 5 x 6 630 2x 5 630 6 2x 630 6 5 x 630 6 5 2 x 50 x 5 50 5 55 答 甲车每小时行 55 千米 乙车每小时行 50 千米 评注 解法 1 是通常解法 易于理解和掌握 解 法 2 和解法 3 是假设法 易于理解 运算简便 是 较好的解法 解法 4 的方程解法还可设甲车速度为 x 读者可试试 例例 7 7 客车和货车同时从甲 乙两城之间的中点向相反的方向行驶 客车和货车同时从甲 乙两城之间的中点向相反的方向行驶 3 3 小时后 客车到达甲城 货车离乙城还有小时后 客车到达甲城 货车离乙城还有 3030 千千 米米 已知货车的速度是客车的已知货车的速度是客车的 甲 乙两城相距多少千米 甲 乙两城相距多少千米 4 3 分析 1 由题意可知 3 小时内货车比客车少行 30 千米 由此可求出两车的速度差 再除以对应分率 1 就 4 3 可求出客车的速度 再求出乙车速度 最后根据 速度和 相遇时间 两地距离 求出甲 乙两城相距多少千米 解法 1 货车每小时比客车少行多少 30 3 10 千米 客车每小时行多少千米 10 1 40 千米 4 3 货车每小时行多少千米 40 10 30 千米 甲 乙两城相距多少千米 40 30 3 30 240 千米 综合算式 30 3 1 1 4 3 4 3 3 30 30 3 3 30 4 1 4 7 40 3 30 240 千米 4 7 分析 2 因为 路程 速度 时间 而时间一定 所以 两车行驶的路程和两车的速度成正比例 即货车和客车的 速度比就是它们所行路程的比 把转化为 3 4 即货车 4 3 和客车的路程比 又知两车所行路程的差是 30 千米 由此 可求出两城相距多少千米 解法 2 30 4 3 3 4 30 30 1 7 30 240 千米 分析 3 根据 客车所行路程减去货车所行路程 等于 30 千米 这一等量关系列方程 先求出两车 的速度 再用速度和乘以相遇时间加上 30 千米 即得甲乙两城相距多少千米 解法 3 设客车每小时行 x 千米 3x x 30 x x 3 30 4 3 4 3 x 10 x 40 4 1 两城距离 40 40 3 30 240 千 4 3 米 答 甲乙两城相距 240 千米 评注 解法 1 是基本解法 易于理解 但计算较 繁 解法 3 和解法 1 的数量关系及思路是基本相同 的 解法 2 的思路简捷 运算也简便 是本题的最 佳解法 例例 8 8 快车从甲城开往乙城 需要快车从甲城开往乙城 需要 6 6 小时小时 慢车从乙城开往甲城 每小时行慢车从乙城开往甲城 每小时行 42 542 5 千米千米 两车同时开出两车同时开出 2 2 小时还相距小时还相距 132132 千米 快车每小时行多少千米 千米 快车每小时行多少千米 分析 1 快车行全程需 6 小时 它已行了 2 小时 再剩下 的路程 快车再行 4 小时就行完全程 也就是说 慢车 2 小 时行驶的路程与 132 千米的和 快车用 4 小时即可行完 由 此可求出快车每小时行多少千米 解法 1 慢车 2 小时行了多少千米 42 5 2 85 千米 快车 4 小时可行驶多少千米 85 132 217 千米 快车每小时行多少千米 217 6 2 54 25 千米 综合算式 42 5 2 132 6 2 85 132 4 217 4 54 25 千米 分析 2 因为快车行全程需要 6 小时 已行了 2 小时 而快车没行的路程是已行路程的 6 2 2 2 倍 由此可求出快车 2 小时行多少千米 再求每小时行多少千米 解法 2 快车没行的路程有多少千米 42 5 2 132 85 132 217 千米 快车没行的路程是已行路程的几倍 6 2 2 2 倍 快车已行了多少千米 217 2 108 5 千米 快车每小时行多少千米 108 5 2 54 25 千米 综合算式 42 5 2 132 6 2 2 2 85 132 4 2 217 2 2 54 25 千米 分析 3 因为快车每小时行全程的 2 小时就 6 1 行全程的 快车没行的路程是全程的 1 6 2 6 2 6 4 用快车没行的路程除以 即得全程有多少千米 6 4 再除以 6 小时 即得快车速度 解法 3 快车还没行的路程有多少 42 5 2 132 85 132 217 千米 甲乙两城相距多少千米 217 1 217 325 5 千米 6 2 3 2 快车每小时行多少千米 325 5 6 54 25 千米 综合算式 42 5 2 132 1 6 6 2 85 132 6 3 2 217 54 25 千米 2 3 6 1 分析 4 根据 两城距离减去快车已行路程等于 快车没行的路程 这一等量关系列方程解 解法 4 设快车每小时行 x 千米 6x 2x 42 5 2 132 4x 217 x 54 25 答 快车每小时行 54 25 千米 评注 解法 3 是一般解法 计算较繁 解法 4 的 等量确定恰当 运算也较简便 解法 1 的思路更简 捷 更巧妙 运算也更为简便 是本题的最佳解法 例例 9 9 一辆小汽车和一辆货车同时从相距一辆小汽车和一辆货车同时从相距 432432 千米的两地相对开出 千米的两地相对开出 小时相遇小时相遇 已知小汽车和货车速度的比是已知小汽车和货车速度的比是 2 1 4 9 79 7 小汽车和货车每小时各行多少千米 小汽车和货车每小时各行多少千米 分析 1 先用两地距离除以相遇时间 即得小汽车和货车 的速度和 再运用按比例分配的方法 把速度和按 9 7 进 行分配 即可求出小汽车和货车每小时各行多少千米 解法 1 两车的速度和是多少 432 96 千米 2 1 4 货车每