2014届高三数学一轮复习高考要点精练：13《不等式的解法》

不等式的解法不等式的解法 复习要点 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求 随着高考命题原则向能力立 意的进一步转化 对解不等式的考查将会更是热点 解不等式需要注意下面几个问题 1 熟练掌握一元一次不等式 组 一元二次不等式 组 的解法 2 掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式 特别要注意因式的处理方法 3 掌握无理不等式的三种类型的等价形式 指数和对数不等式的几种基本类型的解法 4 掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 5 在解不等式的过程中 要充分运用自己的分析能力 把原不等式等价地转化为易解 的不等式 6 对于含字母的不等式 要能按照正确的分类标准 进行分类讨论 例题 例例 1 1 解不等式 a x a 1 2 解 原不等式可化为 0 2 2 1 x axa 即 a 1 x 2 a x 2 0 当a 1 时 原不等式与 x x 2 0 同解 1 2 a a 若 2 即 0 a 1 时 原不等式无解 若 2 即a 0 或a 1 于是 1 2 a a 1 2 a a a 1 时原不等式的解为 2 1 2 a a 当a 1 时 若a 0 解集为 2 若 0 a 1 解集为 2 1 2 a a 1 2 a a 综上所述 当a 1 时解集为 2 1 2 a a 当 0 a 1 时 解集为 2 1 2 a a 当a 0 时 解集为 当a 0 时 解集为 2 1 2 a a 例例 2 2 设不等式x2 2ax a 2 0 的解集为M 如果M 1 4 求实数a的取 值 范围 解 M 1 4 有n种情况 其一是M 此时 0 其二是M 此时 0 分三种情况计算a的取值范围 设f x x2 2ax a 2 有 2a 2 4a 2 4 a2 a 2 1 当 0 时 1 a 2 M 1 4 2 当 0 时 a 1 或 2 当a 1 时M 1 1 4 当a 2 时 m 2 1 4 3 当 0 时 a 1 或a 2 设方程f x 0 的两根x1 x2 且x1 x2 那么 M x1 x2 M 1 4 1 x1 x2 4 0 41 0 4 0 1 且 且 a ff 即 解得 2 a 21 0 0718 03 aa a a a 且 7 18 M 1 4 时 a的取值范围是 1 7 18 例例 3 3 解关于x的不等式 0 12 log1log 42 axax 解解 原不等式等价于 即 121 012 01 2 xax xa x 02 1 2 1 xax a x x 由于 所以 所以 上述不等式等价于 1 a a 1 21 02 1 2 xax a x 解答这个含参数的不等式组 必然需要分类讨论 此时 分类的标准的确定就成了解 答的关键 如何确定这一标准 1 当时 不等式组 等价于21 a axx a x 且 2 1 2 此时 由于 所以 0 11 2 2 a a a a a a 1 2 从而 2 1 2 xax a 且 2 当时 不等式组 等价于2 a 2 2 3 x x 所以 2 2 3 xx且且 3 当时 不等式组 等价于2 a axx a x 且 2 1 2 此时 由于 所以 2 1 2 a axx a 且 2 1 2 综上可知 当时 原不等式的解集为 21 a 2 1 2xax a x且 当时 原不等式的解集为 2 a 2 2 3 xxx且且 当时 原不等式的解集为 2 a axx a x且 2 1 2 例例 4 4 解关于的不等式 x 102loglog4 aaxx aa 解 原不等式等价于 2 2loglog4 02log 0log4 xx x x aa a a 0log3log 4log2 0log3log 4log2 2 xx x xx x aa a aa a 或 当时 原不等式的解集为4log3 x a a 1 43 axax 当时 原不等式的解集为01 a 34 axax 例例 5 5 设函数 1 2 xaxxf 1 当时 解不等式 2 a 1 fxf 2 求的取值范围 使得函数在上为单调函数 a xf 1 讲解 1 时 可化为 等价于 2 a 1 fxf 112 2 xx 或 114 01 22 xx x 01 01 2 x x 解 得 解 得 3 5 1 x1 x 所以 原不等式的解集为 1 3 5 1xxx且 2 任取 且 则 1 21 xx 21 xx 11 11 11 11 2 2 2 1 21 21 2 2 2 1 2 2 2 1 21 2 2 2 121 2 22 2 1121 xx xx axx xx xx xxa xxxxa xaxxaxxfxf 要使函数在上为单调函数 需且只需 xf 1 恒成立 或恒成立 11 2 2 2 1 21 xx xx a 11 2 2 2 1 21 xx xx a 因此 只要求出在条件 且 之下的最 11 2 2 2 1 21 xx xx 1 21 xx 21 xx 大 最小值即可 为了探求这个代数式的最值 我们可以考虑极端情况 如 容易知道 此时 若考虑 则1 1 21 xx 11 2 2 2 1 21 xx xx 21 xx 不难看出 此时 至此我们可以看出 要使得函数为单调函 11 2 2 2 1 21 xx xx 1 xf 数 只需 1 a 事实上 当时 由于恒成立 所以 1 a011 2 2 2 121 xxxx 所以 在条件 且 之下 必有 1 11 2 2 2 1 21 xx xx 1 21 xx 21 xx 0 21 xfxf 所以 在区间上单调递减 xf 1 当时 由 1 可以看出 特例的情况下 存在 由此可以猜1 a2 a 3 5 1ff 想 函数在区间上不是单调函数 为了说明这一点 只需找到 xf 1 1 21 xx 使得即可 简便起见 不妨取 此时 可求得 也即 21 xfxf 1 1 x1 1 1 2 2 2 a a x 所以 在区间上不是单调函数 a a a ff 1 1 1 2 2 xf 1 另解 对 易知 2 1 x fxa x 1 x 当时 当时 1x 2 1 x x x 2 1 1 x x 所以当时 1 x 2 1 1 x x 从而只须 必有 函数在上单调递减 1a 0fx 1 x 例例 6 6 已知f x 是定义在 1 1 上的奇函数 且f 1 1 若 m n 1 1 m n 0 时 0 nm nfmf 1 用定义证明f x 在 1 1 上是增函数 2 解不等式 f x f 2 1 1 1 x 3 若f x t2 2at 1 对所有x 1 1 a 1 1 恒成立 求实数t的取 值范围 解 1 证明 任取x1 x2 且x1 x2 1 1 则f x1 f x2 f x1 f x2 x1 x2 21 21 xx xfxf 1 x1 x2 1 x1 x2 0 由已知 0 又 x1 x2 0 21 21 xx xfxf f x1 f x2 0 即f x 在 1 1 上为增函数 2 解 f x 在 1 1 上为增函数 解得 x x 1 x R R 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 x x x x 2 3 3 解 由 1 可知f x 在 1 1 上为增函数 且f 1 1 故对x 1 1 恒有f x 1 所以要f x t2 2at 1 对所有x 1 1 a 1 1 恒成立 即要t2 2at 1 1 成立 故t2 2at 0 记g a t2 2at 对a 1 1 g a 0 只需g a 在 1 1 上的最小值大于等于 0 g 1 0 g 1 0 解得 t 2 或t 0 或t 2 t的取值范围是 t t 2 或t 0 或t 2 例例 7 7 给出一个不等式 x R c c cx cx 11 2 2 经验证 当 c 1 2 3 时 对于x取一切实数 不等式都成立 试问 当 c 取任何正数时 不等式对任何实数x是否都成立 若能成立 请给出证明 若 不成立 请求出 c 的取值范围 使不等式对任何实数x都能成立 解 令f x 设 u u cx cx 2 2 1 cx 2 c 则f x u u u u u11 2 c f x cu cucu c c u u c c 1 1 1 1 要使不等式成立 即f x 0 c c1 u 0 只须 u 1 0cc u2c 1 u2 x2 c c 1 c 1 x2 c 故当 c 时 c 1 2 1 原不等式不是对一切实数x都成立 即原不等式对一切实数x不都成立 要使原不等式对一切实数x都成立 即使x2 c 对一切实数都成立 c 1 x2 0 故 c 0 c 1 c 1 c 0 c 1 时 原不等式对一切实数x都能成立 不等式的解法练习不等式的解法练习 1 1 1 不等式的解集是 D D 1 Raa x ax A B a xx 1 a xx 2 1 C D a x a x 1 2 1 a xxx 2 1 00 或 2 当时 不等式恒成立 则 的取值范围是 B B x 12 2 1 logx ax a A B 1 2 C D 0 1 2 2 1 3 不等式成立的一个充分但不必要条件是 B B loglog xx xx 11 232 A B C D x 2x 412 xx 1 4 三个数的大小关系是 B B 2 0 10 2 1 4 22 log A B 2 0 20 1 1 4 22 log 2 0 10 2 1 4 22 log C D 0 10 2 2 22 1 4 log 0 1 2 0 2 22 1 4 log 5 若全集是 B B BAxxxBxxARI 则 lg201 2 A B C D 2 1 1 xx 6 下列命题中 正确的是 C C A 若B 若0 2 xxx 则xxx 2 0 则 C 若D 若xxx 2 0 则0 2 xxx 则 7 若是任意实数 且 则 D D ab ab A B C D 22 ba 1 a b 0lg ba ba 2 1 2 1 8 设 则下列四数中最大的是 A A 01 abab且 A B C D 22 ba 2aba 2 1 9 不等式恒成立 则的取值范围为 D D Rxxaxa 对04222 2 a A B C D 22 22 22 22 10 不等式的解集是 B B 051 2 lg x A B C D 11 1001 2 1 2 1 11 当 成立的充要条件是 C C 1 ba ba Rba时 不等式 A B C D ab 0ab 0ab 22 0 ab 0 12 已知 那么的最小值是 B B 3 baRba 且 ba 33 A 6B C D 6 3838 13 不等式组的解集是 D D x x x x x 2 2 3 3 0 A B C D 20 xx 5 20 xx 30 xx 60 xx 14 不等式的解集是 C C x x x 1 2 1 log A B C D 10 xx 2 xx 210 xxx或 210 xxx或 15 的大小顺序是 xxxax aaaa loglogloglog1 22 则 xxx aaaa loglogloglog 22 16 若 则的取值范围是 1 4 3 log1 a a 3 4 1 0 17 不等式的解集是1 12 3 x x 4 2 1 2 1 3 2 18 关于的不等式的解集是空集 那么的取值区间是 0 4 xaxax 2 10 a 19 解不等式 0 1 222 aaaa xxx 解 a a a2 ax 变形原不等式 得 x 2x 2 1 2 a a0 1 01 1 2 2 2 22 a aaaa a a xxxx 即 1 当 0 a 1 时 a 则 a2 ax a 2 2 x 1 时 a 则 a 2 ax a2 2 x 2 2 2 1 a 3 当 a 1 时 a 无解 综上 当 a 1 时 2 x 2 当 a 1 时无解 2 2 1 a 2020 对于x 关于x的不等式0 a x 1 lg a x 0 有 lg2ax lg a x 2ax a x 2a 1 x时 x 由 1 x 2 时x2 a 1 212 a a 12 a a 12 a a 2 1 3 2 2 a 时 有 0 x 1 x 2 时不等式总成立 2 11 2 3 0 a 由 1 x 2 时x 总成立 得 a 1 综合 0 a 得 1 212 a a 12 a a 2 1 0 a 2 1 综上 0 a 3 2 2121 已知函数 1 求函数的定义域 2 判断的单调 xxxf1log 2 2 1 f x f x 性 并用函数单调性的定义予以证明 解 1 由或 22 2 22 1 0 01 101 xx x x xxxx1 0 01 2 x x x 故的定义域为 xf 1 2 任取令 则 1 21 xx xxxg 1 2 122 2 21 2 12 2 212 1111xxxxxxxxxgxg 11 11 11 2 1 2 2 2 1 2 21212 12 2 1 2 2 2 1 2 2 xx xxxxxx xx xx xx 0 11 11 2 1 2 2 1 2 12 2 212 xx xxxxxx 故又函数在上是减函数 g xg x 21 xy 2 1 log 0 所以有 即 1 2 12 2 1 loglogxgxg 12 xfxf 即在上是增函数 xf 1 2222 解不等式 1113log x x 解 由且 得 01 x10 xx 1 x 原不等式等价于xx 113 而 113 xx1 x 1219 2 xxx 整理 0107 2 xx52 x 为所求 52 x 不等式的解法练习不等式的解法练习 2 2 一 选择题 1 设函数f x 已知f a 1 则a的取值范围是 1 1 1 11 22 1 1 2 x x xx xx A 2 B 2 1 2 1 2 1 C 2 1 D 2 1 2 1 2 1 二 填空题 2 已知f x g x 都是奇函数 f x 0 的解集是 a2 b g x 0 的解集是 则f x g x 0 的解集是 2 2 a 2 b 3 已知关于x的方程 sin2x 2cosx a 0 有解 则a的取值范围是 三 解答题 4 已知适合不等式 x2 4x p x 3 5 的x的最大值为 3 1 求p的值 2 若f x 解关于x的不等式f 1 x k R R 1 1 x x p p k x p 1 log 5 设f x ax2 bx c 若f 1 问是否存在a b c R R 使得不等式 2 7 x2 f x 2x2 2x 对一切实数x都成立 证明你的结论 2 1 2 3 6 已知函数f x x2 px q 对于任意 R R 有f sin 0 且f sin 2 2 1 求p q之间的关系式 2 求p的取值范围 3 如果f sin 2 的最大值是 14 求p的值 并求此时f sin 的最小值 7 解不等式 loga 1 1 x 1 8 设函数f x ax满足条件 当x 0 时 f x 1 当x 0 1 时 不等 式f 3mx 1 f 1 mx x2 f m 2 恒成立 求实数m的取值范围 不等式的解法练习 2 参考答案 一 1 解析 由f x 及f a 1 可得 或 或 1 1 1 2 a a 122 11 a a 11 1 1 a a 解 得a 2 解 得 a 1 解 得x 2 1 a的取值范围是 2 1 2 1 答案 C 二 2 解析 由已知b a2 f x g x 均为奇函数 f x 0 的解集是 b a2 g x 0 的解集是 由f x g x 0 可得 2 2 2 ab 2222 0 0 0 0 2 2 2 2 a x b axb b x a bxa xg xf xg xf 且且且 x a2 a2 2 b 2 b 答案 a2 a2 2 b 2 b 3 解析 原方程可化为 cos2x 2cosx a 1 0 令t cosx 得t2 2t a 1 0 原问 题转化为方程t2 2t a 1 0 在 1 1 上至少有一个实根 令f t t2 2t a 1 对 称轴t 1 画图象分析可得解得a 2 2 0 1 0 1 f f 答案 2 2 三 4 解 1 适合不等式 x2 4x p x 3 5 的x的最大值为 3 x 3 0 x 3 3 x 若 x2 4x p x2 4x p 则原不等式为x2 3x p 2 0 其解集不可能为 x x 3 的子集 x2 4x p x2 4x p 原不等式为x2 4x p 3 x 0 即x2 5x p 2 0 令x2 5x p 2 x 3 x m 可得m 2 p 8 2 f x f 1 x log8 1 x 1 18 18 x x x x 1 1 有 log8 log8 log8 1 x log8k 1 x k x 1 k x x 1 1 k x 1 1 x 1 k R R 当 0 k 2 时 原不等式解集为 x 1 k x 1 当k 2 时 原不等式的解集为 x 1 x 1 5 解 由f 1 得a b c 令x2 2x2 2x xx 1 由f x 2x2 2x 2 7 2 7 2 1 2 3 推得 2 3 f 1 2 3 由f x x2 推得f 1 f 1 a b c 故 2 1 2 3 2 3 2 3 2 a c 5 a c 且b 1 f x ax2 x a 2 5 2 5 依题意 ax2 x a x2 对一切x R R 成立 2 5 2 1 a 1 且 1 4 a 1 2 a 0 得 2a 3 2 0 f x x2 x 1 2 3 易验证 x2 x 1 2x2 2x 对x R R 都成立 2 3 2 3 存在实数a b 1 c 1 使得不等式 x2 f x 2x2 2x 对一切x R R 都 2 3 2 1 2 3 成立 6 解 1 1 sin 1 1 sin 2 3 即当x 1 1 时 f x 0 当 x 1 3 时 f x 0 当x 1 时f x 0 1 p q 0 q 1 p 2 f x x2 px 1 p 当 sin 1 时f 1 0 1