杨辉三角的规律以及推导公式

杨辉三角的规律以及定理 李博洋 摘要摘要 杨辉三角中的一些规律 关键词关键词 杨辉三角 幂 二项式 引言引言 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家 在他所著的 详解九章算法 一书中 画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形 称做 开方做法本源 现在简称为 杨辉三角 它是世界的一大重要研究成果 我们则来对 杨辉三角 的规律进行探讨 和研究 内容 1 二项式定理与杨辉三角 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律 即二项式定理 杨辉三角我们首先从一个二次多项式 a b 2的展开式来探讨 由上式得出 a b 2 a2 2ab b2 此代数式的系数为 1 2 1 则 a b 3的展开式是什么呢 答案为 a3 3a2b 3ab2 b3 由此可发现 此代数式的 系数为 1 3 3 1 但似乎没有什么规律 所以让我们再来看看 a b 4的展开式 展开式为 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 由此又可发现 代数式的系数为 14 6 4 1 似乎发现了一些规律 就可以发现以下呈三角形的数列 1 110 1 1 111 1 2 1 112 1 3 3 1 113 1 4 6 4 1 114 1 5 10 10 5 1 115 1 6 15 20 15 6 1 116 因此可得出二项式定理的公式为 a b n C n 0 a n b 0 C n 1 a n 1 b 1 C n r a n r b r C n n a 0 b n 因此 二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇 它把数形结合带进了 计算数学 求二项式展开式系数的问题 实际上是一种组合数的计算问题 用系数 通项公式来计算 称为 式算 用杨辉三角形来计算 称作 图算 2 杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加 如下 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 4 1 3 3 1 1 3 3 1 8 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 16 1 5 10 10 5 1 1 5 10 10 5 1 32 1 6 15 20 15 6 1 1 6 15 20 15 6 1 64 相加得到的数是 1 2 4 8 16 32 64 刚好是 2 的 0 1 2 3 4 5 6 次幂 即杨辉三角第 n 行中 n 个数之和等于 2 的 n 1 次幂 3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系 1 1 2 n 1 1 1 3 n 2 1 2 1 4 n 3 1 3 3 1 5 n 4 1 4 6 4 1 6 n 5 1 5 10 10 5 1 n 6 1 6 15 20 15 6 1 把斜行 1 中第 7 行之前的数字相加得 1 1 1 1 1 1 1 6 把斜行 2 中第 7 行之前的数字相加得 1 2 3 4 5 15 把斜行 3 中第 7 行之前的数字相加得 1 3 6 10 20 把斜行 4 中第 7 行之前的数字相加得 1 4 10 15 把斜行 5 中第 7 行之前的数字相加得 1 5 6 把斜行 6 中第 7 行之前的数字相加得 1 将上面得到的数字与杨辉三角中的第 7 行中的数字对比 我们发现它们是完全相同的 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 由上面可得 杨辉三角中 n 行中的第 i 个数是 i 1 中前 n 1 个数之和 即第 n 行的数 分别为 1 1 中第 n 行之前的数字之和 2 中第 n 行之前的数字之和 3 中第 n 行之前 的数字之和 4 中第 n 行之前的数字之和 n 3 中第 n 行之前的数字之和 1 总结杨辉三角对于我们好理解的规律 如下六点 1 1 每个数等于它上方两数之和 2 2 每行数字左右对称 由 1 开始逐渐变大 3 3 第 n 行的数字有 n 1 项 4 4 第 n 行数字和为 2 n 1 2 的 n 1 次方 5 5 a b n 的展开式中的各项 系数依次对应杨辉三角的第 n 1 行中的每 一项 1 6 6 第 n 行的第 m 个数和第 n m 个数相等 即 C n m C n n m 这是组 合数性质 上面的式子是什么意思 首先cin 1中的 n 1 i 的意思是从 n 1 个相同物体中选出 i 个物体有多少种选法 杨辉 字谦光 南宋时期杭州人 在他 1261 年所著的 详解九章算法 一书中 辑录了如上所示的三角形数表 称之为 开