48[1].平面几何综合复习

平面几何综合复习平面几何综合复习 典型例题典型例题 例 1 已知 如图 AB CD 求证 AAECC360 分析 1 可利用已知两直线平行 同旁内角互 补 两对互补的角的和是 360 因此添加辅助线创 造两直线平行是关键 证法一 作EFABA 1180 ABCDEFCD 2180C 12360360ACAAECC 即 分析 2 两直线平行同旁内角互补 再由三角形内角和 180 所以边 AC 构造三角形 证法二 连 AC ABCD 1218034180 在中 AECE 1234360E 即 EABAECECD360 此题还有其它证法 如利用周角 360 或三角形外角定理等 例 2 已知 AB CD AM 平分 BAC MC 平分 ACD 求证 AM MC 分析 证明两条直线互相垂直 基本方法是用垂直 定义 证明两直线夹角等于 90 若证明三角形两边 垂直 可以证明另外二个内角互余 该题要证 只需证 而 AMC 的内角和为 180 只须证AM MC AMC90 即可 由已知 AB CD 可知 同旁内角互补 再由角平分线定义 1290 可得结论 证明 ABCDBACACD 180 即 1324180 AMBAC MCACD平分平分 13242 12 2180 129012180 又 M MAM MC90 例 3 已知 如图在 ABC 中 AB AC 延长 AB 到 D 使 BD AB 取 AB 的中 点 E 连结 CD 和 CE 求证 CD 2CE 分析 1 要证长线段 CD 是某小量的 2 倍 可在长线段上截取一半 这种方法 叫 截取 法 或 折半法 要证 CD 2CE 可考虑在 CD 上截取一半 再证明 CE 等于 CD 的一半即可 证明 过 B 点作 BF AC 交 CD 于 F AB BD 且 DFCF BFAC 1 2 ABACACB 2 BFACACB 112 又 BEAB BFACBEBF 1 2 1 2 在中 CEBCFB和 BEBF BCBC 12 CEBCFBECCFCD 1 2 即 CE 2EC 分析 2 这类题目还可以将短线延长 或说加倍法 证它等于长线段的方法 也称 拼加法 提示 将 CE 延长到 G 使 EG CE 连结 AG BG 可证明ACGBDC 从而 得到 CG CD 因而有 CD 2CE 例 4 已知 如图 在ABC 中 D E 分别在 AB AC 上 BD CE BE CD 的中点分别是 M N 直线 MN 分别交 AB AC 于点 P Q 求证 AP AQ 分析 这是一道已知中点求证线段相等的问题 往 往可以通过中位线 将条件 结论分别转移到可以 建立直接联系的图形上 此题要证 AP AQ 就要 证分别是 BE CD 中点 APQAQPM N 且 BD CE 又 BC 是BDC 和BCE 的公共边 取 BC 的中点 F 再连 MF NF 就可以通过三 角形中位线定理将已知条件以及要证明的等量代换到FMN 中 APQAQP 从而可证得 AP AQ 证明 取 BC 的中点 F 连结 FM FN M N 分别是 的中点BE CD FMCEFNBD 1 2 1 2 并且 MF CE FN BD CE BD FM FN FMQ FNP FMQ AQM 两直线平行 内错角相等 FNP APN APN AQM AP AQ 例 5 已知 ABC 中 AB AC D 是 AB 上一点 E 是 AC 延长线上一点 BD CE DE 交 BC 于 F 求证 DE EF 分析 DF 和 EF 分别在DBF 和ECF 中 但这两个 三角形并不全等 如何构造全等形呢 只需作 DG AC 交 BC 于 G点 易证DGF ECF 所以 DF EF 这种添加辅助线的方法属于中心对称型 例 6 已知 RtACB 中 ACB 90 CD AB BE 平 分 ABC 交 CD 于 E EF AB 交 AC 于 F 求证 CE AF 分析 要证线段 CE AF 我们可以将它们转化到两个 三角形中 过 E 点作 EG BC 于 G 所以 EG DE 这 种填加辅助线的方法属于转对称型 再作 FH AB 于 H 利用平行线间距离相等 可易证得HAF GCE 从而证得 CE AF 另解还可以过 E 点作 KM AC 交 AB 于 K 交 BC 于 M 证MCE DKE 即可 例 7 已知 ABC 中 ACB 90 AD 为 BC 边上的中线 E 为 AD 的中点 CE 的延长线交 AB 于 F FG AC 交 AD 于 G 求证 FB 2CG 分析 要证 FB 2CG 只要证 CG BF 由于 1 2 CG 和 BF 分别在两个三角形中没有直接的关系 所以寻求另解一条线段作为中介量 建立起 CG 和 FB 之间的联系 分析题目 条件可知CEGAEF 所以 AF CG 只要证 AF FB 即可 1 2 证明 作 DH CF 交 AB 于 H RtADC 中 ACD 90 E 是斜边 AD 中点 CE AE 1 2 AC FG 1 3 2 4 3 4 EG EF 在AEF 中和CEG 中 有 CEAE EGEF 56 AEF CEG 中 AF CG DH CF E 为 AD 中点 AF FH DH CF D 为 BC 中点 FH HB AF FH HB AF FB 1 2 CG AF CG FB 即 FB 2CG 1 2 例 8 设ABC 是等腰直角三角形 AB AC D 是斜边 BC 的中点 E F 分别 是 AB AC 边上的点 且 DE DF 若 BE 12 CF 5 求 线段 EF 的长 分析 这是一道几何中的计算题要求 EF 的长 首先 发现它在 Rt 它在 Rt EAF 中 这时利用勾股定理可 求出 连结 AD 后可证ADECDF 解 连结 AD 则在ADE 和CDF 中 ADEADFCDFADF ADECDFDAEDCF 9090 45 又 AD CD ADECDFAECF5 又 AF FC AC AB AE BE 5 12 17 AFACFC EAFEFAEAF 17512 13 22 在中Rt 即 EF 的长为 13 例 9 已知 如图 过正方形 ABCD 的顶点 A 作直线交 BD 于 E 交 CD 于 F 交 BC 的延长线于 G 若 H 是 FG 的中 点 求证 EC CH 分析 这道题主要是利用正方形的性质 证明两条线段互相垂直 只要能证明 ECH 是 90 即可 此题可先间接证出 4 5 90 从而推出 90 通 ECH 过 ABECBE 及 RtFCG 的斜边中线 CH 可证得 证明 简述 在正方形 ABCD 中 1245 AB BC BE BE ABE CBE 3 4 又 H 是 RtFCG 斜边上的中点 CHHGG G EC CH 5 34690 例 10 已知 如图在平行四边形 ABCD 中 AE CF BM DN 求证 四边形 EMFN 是平行四边形 分析 本题主要是考查平行四边形的判定方法 下面简述两种证法 证法一 ABCD 是平行四边形 AD BC AD BC 12 AEFC DNBM DE BF DM BN DEMBFN 34 MBNF ME NF EMFN 是平行四边形 证法二 证 同证法一 DEMBFN ME NF同理可证 DENBFM EN FM EMFN 是平行四边形 例 11 如图 等腰梯形 ABCD 中 AD BC 对 角线 AC 和 BD 相交于 E 已知 ABD 60 BD 12 且 BE ED 5 1 S梯形 ABCD 求这个梯形的周长 36 3 分析 由 BD 12 且 BE ED 5 1 可得 BE 10 ED 2 易证 故 ABDDCA 为等边三角 AD DE 2 同理 ADBDACAEDAED6060 BC 10 作 AFBC 于 F DGBC 于 G 则四边形 AFGD 是矩形 由梯形面 积公式可求出 再由AFDGBFGC 6 3 而 1 2 BCAD 1 2 1024 勾股定理求出 AB CD 2 31 故梯形周长为 12 431 解 BDBEEDBEDE 1251102 且 梯形 ABCD 为等腰梯形 ABCD ACBD AD AD ABDDCADACADB 60 为等边三角形 AEDAED60 ADDE2 同理可求 BC 10 作 AFBC 于 F DGBC 于 G 则四边形 AFGD 为矩形 FGADABACABCDCB2 AFBDGC90 ABFDCG BFGCBCFG 1 2 1 2 1024 S ABCD梯形 36 3 1 2 36 3 1 2 10236 3BCADAFAF 即 AFABF 6 3 中Rt ABAFBF 22 2 2 6 341242 31 同理 DC 2 31 梯形周长 AD BC AB CD 2 10 12 2 312 314 31 此题综合性较强 涉及到的知识点很多 但证明的关键是证出是等边 ABC 三角形 从而求出上 下两底的长度 并且要正确添加辅助线 综合练习综合练习 一 填空题 1 中 AB AC DE 是 AB 的中垂线 ABC 的周长为 14 厘米 BC 5 厘米 那么 AB 的长 BCE 为 厘米 2 若的三个外角的度数之比为 3 4 5 则最大边 AB 与最小边 BC 关 ABC 系是 而三条边之间的关系是 3 等腰三角形的周长为 腰长为 1 则底角等 度 23 4 如图在 Rt中 BD 平分 ABC C90 交 AC 于 D DE 是斜边 AB 的垂直平分线 ABC 且 DE 1 厘米 则 AC 厘米 5 把长为 8cm 的长方形纸片对折 按图中的虚线剪出一个梯形并打开 则 找开后的梯形中位线长为 cm 6 若等腰三角形的底角为 15 腰长为 2 则腰上 的高为 7 若等腰梯形的周长 80cm 中位线与腰长相等 则它的中位线等于 cm 8 已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O 如果 AOB 的面 积是 3 那么平行四边形 ABCD 的面积是 9 已知菱形的两条对角线的长分别是 6 和 8 那么它的边长是 10 菱形中有一个内角是 60 菱形的边长为 6 则菱形两条对角线的长为 三 选择题 1 如果等边三角形的边长为 3 那么连结各边中点所成的三角形的周长为 A 9B 6C 3D 9 2 2 在ABC 中 已知 b 4 c 5 A 30 则ABC 的面积是 A 10B C 5D 10 35 3 3 如果一个多边形的内角和等于 720 那么这个多边形是 A 四边形B 五边形C 六边形D 七边形 4 下列多边形中 是轴对称图形 但不是中心对称图形的是 A 平行四边形 B 正方形C 等边三角形 D 直角梯形 5 已知 平行四边形 ABCD 的周长为 24 AB AD 1 2 那么 AB 的长是 A 4B 6C 8 D 16 6 设 F 为正方形 ABCD 的边 AC 上一点 CE CF 交 AB 的延长线于 E 若正方形 ABCD 的面 积为 64 CEF 面积为 50 则CBE 的面积为 A 20B 24C 25D 26 7 在 ABC 中 若 AB AC 3 则 S ABCD A602 3 A 9B C D 9 2 3 3 3 3 2 8 如图在四边形 ABCD 中 AD BC E F G 分别是 AB CD AC 的中点 若DAC 20 ACB 66 则 FEG A 47 B 46 C 41 D 23 9 已知一个等腰梯形的高是 2m 它的中位线长是 5m 一个底角为 45 这个 梯形的周长是 A 14B 52 2 cm C D 102 2 m 104 2 m 10 已知正方形的面积为 8cm2 则正方形的对角线长为 A B C 4cm D 2cm2 2cm4 2cm 答案 一 1 9 2 AB 2BC 3 30 4 3 5 5132 6 1 7 20 8 12 9 5 10 6 6 3 二 1 D 2 C 3 C 4 C 5 A 6 B 7 B 8 D 9 D 10 C 综合练习二综合练习二 证明与计算 1 已知 等腰三角形 ABC 的顶角 A 为 120 底边长为 20cm 求 腰长 2 已知 如图 中 AB AC D E F 分 ABC 别为 AB BC CA 上的点 且 BD CE DEFB 求证 是等腰三角形 DEF 3 已知 如图 四边形 ABCD 为矩形四边形 ABDE 为等腰梯形 AE BD 求证 BEDBCD 4 如图 平行四边形 ABCD 中 BECD BF AD 垂足分别为 E F CE 2 DF 1 求平行四边形 ABCD 的面积 EBF60 5 已知 四边形 ABCD 中 E F G H 分别 为 AB CD AC BD 的中点 并且 E F G H 不在同一直线上 求证 EF 和 GH 互相平分 6 如图 已知 在等边三角形 ABC 中 延长 BC 到 M 使 CM BC ADBC 于点 D E 是 AM 的中点 EF MC 交 AC 于点 F 求证 四边形 DCEF 是菱形 7 已知 梯形 ABCD 中 AD BC AB DC 在 ABDC 上各取一 F G 使 BF CG E 是 AD 的中点 求证 EFGEGF 8 已知 在平行四边形 ABCD 中 AE CF M N 分别是 DE BF 的中点 求证 四边形 ENFM 是平行四边形 9 已知 如图 在三角形 ABC 中 AB AC AD 是 BC 边上的高 AD 的中点为 M CM 的延长线交 AB 于 K 求证 AK AB 的值 10 已知 如图 周长为 40cm 的等腰梯形 ABCD 中 AD BC 梯形中位线 EF AB 梯形的高 AH 6cm 求 梯形 ABCD 的面积 11 已知 如图 正方形 ABCD 点 E F 分别在 BC DC 上 且 EAF45 求证 BE DF EF 12 已知 如图 正方形 ABCD 中 AC BD 交于 O 点 的平分线交 AC 于 E 交 DC DBC 于 F 求证 OE 1 2 DF 13 已知 在平行四边形 ABCD 中 EF AC 交 AB 于 E BC 于 F 求证 SS ADEDCF 答案答案 1 20 3 3 cm 2 利用三角形外角定理证明 再证 即可 BDEFEC DBEECF 3 利用矩形 等腰梯形的性质可以得到证两个三角形全等的条件 4 可以利用分别延长 CD 和 BF 相交后构成 Rt 求出一个 角 再通过 30 和 求出 CD 4 BC 6 就可以利用平行四边形面积公式得到其结 AFB ECD 果为6 3 5 提示 连结 EG GF FH HE 通三角形中位线定理再根据平行四边形的 判定定理证出四边形 EGFH 是平行四边形 即可 6 提示 可根据三角形中位线定理 证出 CE AB EF MC 可得四边形 DCEF 是平行四边形 再证出 DF DC 可证出四边形 DCEF 是菱形 7 提示 很容易通过等腰梯形同一底上的两个底角相等证出 AEFDEG 从而证得 EFGEGF 8 可利用三角形全等证出 FN ME 再通过证明 FB DE 得到 FN ME 即可证 得 9 解 DEABCKE 交于点 1234 1 2 1 2 1 3 得 又 而 故 AMMD AMK