04. 一元二次方程专项训练(四)

第十二章第十二章 一元二次方程专项训练一元二次方程专项训练 四四 例题精选例题精选 例例 1 解下列分式方程 1 x xxx 1 1 5 1 4 1 2 2 2 x xx x xx x xx 3 32 2 43 1 56 222 解析解析 解分式方程的基本思路是把它转化成整式方程 具体方法是去分母 这一思路与方法与初二时所学可化为一元一次方程的分式方程基本一致 解分式方程的基本步骤是 1 找最简公分母 找最简公分母 可先把分母进行排列和因式分解 然后找到最简公分 母 2 去分母 方程两边同时乘以最简公分母 去分母 方程两边同时乘以最简公分母 这一步是完成分式方程整式 化的关键一步 解题时应给予重视 3 解整式方程 解整式方程 可结合特点 适当选择一元二次方程的不同解法 4 检验所得答案是否是原分式方程的解 检验所得答案是否是原分式方程的解 只需代入方程两边同乘的式子 即最简公分母 如最简公分母不为零 这个数就是原分式方程的解 如最简公 分母等于零 这个数就是增根 应该舍去 解 解 1 x xxx 1 1 5 1 4 1 2 2 x xxxx xxxx xxxx xx xx xx 1 1 5 1 4 11 2 1514211 2155422 340 410 41 2 22 2 12 经检验 是增根 是原方程的解 x 1x 4 原方程解为 x 4 2 x xx x xx x xx 3 32 2 43 1 56 222 x xx x xx x xx xxxxxx xxx x xx 3 12 2 13 1 23 332211 941 12 2 32 3 222 2 12 经检验 都是原方程的解xx 12 2 32 3 原方程解为 xx 12 2 32 3 说明 说明 为正确找到最简公分母 可先将方程中的分母统一排列 分解因式 如第 1 题中分母去分母时还应特别注意每一项都应乘11 xx排列为 以最简公分母 如第 1 题中的 2 不要漏乘 例例 2 用换元法解下列方程 1 3 1 1 3 5 2 2 2 x x x x 2 x x x x 2 2 5 1 1010 5 7 3 223 2 2 2 xx xx 4 9 1 24 1 20 2 2 x x x x 解析解析 这几个方程如果直接采用去分母方法都有可能出现高次方程 使题 目更复杂 甚至不能求解 因此 应结合题目特点考虑应用换元的方法 其中 第 1 小题可发现互为倒数 如果设其中一个是 另一个则 3 1 1 3 2 2 x x x x 与y 是 即达到换元的目的 第 2 小题类似 只是多了一个系数 第 3 小 1 y 题左边是一个整式 右边是一个分式 但把看作就与前面相22 2 xx 22 1 2 xx 类似了 第 4 小题应注意之间的关系 即x x x x 2 2 11 与 此题可运用此关系换元 x x x x 1 2 1 2 2 2 解解 1 3 1 1 3 5 2 2 2 x x x x 设 则 于是原方程可变形为 3 1 2 x x y x x 2 1 3 1 y y y 15 2 去分母 225 2520 2 2 yy yy 解这个方程得 yy 12 2 1 2 当y x x 2 3 1 2 2 时 322 2320 2 1 2 2 2 12 xx xx xx 当y x x 1 2 3 1 1 2 2 时 61 610 6364 2 310 2 2 xx xx x 经检验 x 都是原方程的解 xx 12 2 1 2 310 原方程的解为 xx 12 2 1 2 xx 34 310310 2 x x x x 2 2 5 1 1010 5 7 设 则 于是原方程可变形为 x x y 2 5 1 x xy 1 5 1 2 y y yy yy 10 7 107 7100 2 2 解这个方程得 yy 12 25 当y x x 2 5 1 2 2 时 225 230 31 2 2 12 xx xx xx 当y x x 5 5 1 5 2 时 xx xx xx 2 2 34 555 50 05 经检验 都是原方程的解 xx 12 31 xx 34 05 原方程解为 xx 12 31 xx 34 05 3 223 2 2 2 xx xx 设 于是原方程可变形为xxy 2 23 2 2320 2 y y yy 解这个方程组得 yy 12 2 1 2 当yxx 22 2 时 xx xx 2 12 20 21 当yxx 1 2 1 2 2 时 2210 2 xx 此方程无实根 24120 2 经检验 都是原方程的解 xx 12 21 原方程的解是 xx 12 21 4 9 1 24 1 20 2 2 x x x x 设 于是原方程可变形为x x yx x y 11 2 2 2 2 则 922420 9182420 924200 2 2 2 yy yy yy 解这个方程得 yy 12 2 3 10 3 当 yx x 2 3 12 3 时 332 3230 44330 2 2 xx xx 此方程无实根 当 yx x 10 3 110 3 时 3310 31030 3 1 3 2 2 12 xx xx xx 经检验 是原方程的解xx 12 3 1 3 原方程解为 xx 12 3 1 3 说明说明 应用换元法解分式方程时 仍要检验结果有无增根 例例 3 判断下列方程是不是无理方程 1 xx 2 22 2 2152 xx 3 x 1120 解析 解析 判断是否是无理方程 只有根据无理方程的定义判断 即看根号下 是否含有未知数 而不能仅仅看有没有根号 解 解 1 是无理方程 因为根号下含有未知数 2 不是无理方程 因为根号下不含未知数 3 是无理方程 因为根号下含有未知数 例例 4 不解方程 判断下列方程解的情况 1 xx 2 3250 2 x 2 30 3 0 xx 33 解析 解析 由于表示的算术平方根 所以 我们可以a a 0aaa 00 判断第 1 小题解的情况 又因为 只有 所以第 2 小题aa 00时 可直接判断答案 第 3 小题 都是非负数 它们的和为 0 xx 33与 即它们同时为 0 解 解 1 xx 2 325 0 xx 2 32 此方程无解 2 x 2 30 x 2 3 此方程无实根 3 0 xx 33 x x 30 30 x 3 例例 5 解下列无理方程 1 xxx 2 362 2 23352xx 解析 解析 解无理方程的基本思路是 把无理方程转化为有理方程 具体方法 是方程两边同时平方 如果方程中有一个根号 可把根号单独放在等号一边 其余有理部分放在另一边 然后两边同时平方 根号即可去掉 如果方程中含 有两个根号 可把一个根号单独放在等号一边 其余都放在另一边 平方后 应用完全平方公式 一般仍有一个根号 再把这个根号单独放在一边 其余都 放在另一边 两边再次平方 即可把根号去掉 由于无理方程解法中有可能产生不适合方程的解 即增根 因此解出答案 应检验是否是原方程的解 检验时须将这个数代入原方程 看方程左右两边是 否相等 若左右两边相等 这个数就是原方程的解 若左右两边不相等 或根 式没有意义 则这个数就不是原方程的解 而是增根 应该舍去 解解 1 xxx 2 362 两边平方得 xxx xx xx xx xx 22 2 2 12 364 3360 20 210 21 经检验 是原方程的解 是增根 舍去x 1x 2 原方程解为 x 1 2 23352xx 23235 234354 35 4 352 16 352 488044 44840 2 2 2 xx xxx xx xx xxx xx 解这个方程得 xx 12 242 经检验 是原方程的解 是增根 舍去 x 2x 42 原方程解为 x 2 说明 说明 无理方程检验时 不能只代入被开方式看它是否非负 即不能只检 验根式是否有意义 应代入原方程左右两边 看方程是否成立 只要方程不成 立 所检验的数就是增根 应舍去 例例 6 用换元法解下列方程 1 xxxx 22 525312 2 2615314 22 xxxx 3 3 8 1 8 20 x xx 解析解析 本题几个方程若用两边同时平方法去根号 会出现高次方程 不易 求解 因此 应考虑换元法 一般设根式为 当然也要结合题目具体情况进y 行恰当换元 1 解 解 设 那么 因此 xxy 2 53 xxy 22 53 xxy 22 53 于是原方程变形为 yy yy 2 2 3212 2150 解这个方程 得 yy 12 53 当时 根据算术平方根的意义 不y 5xx 2 535 xx 2 53 可能小于 0 所以方程 5xx 2 53 无解 当yxx 3533 2 时 两边平方得 9xx 2 53 即 xx 2 560 解这个方程得 xx 12 61 经检验 是原方程的解 xx 12 61 原方程解为 xx 12 61 2 2615314 22 xxxx 设 则 所以 于是原方程xxy 2 31 xxy 22 31 xxy 22 31 变形为 21154 22154 2530 2 2 2 yy yy yy 解这个方程得 yy 12 3 1 2 当yxx 3313 2 时 两边平方得 9xx 2 31 即 xx 2 3100 解这个方程得 xx 12 52 当 根据算术平方根意义 不可yxx 1 2 31 1 2 2 时 xx 2 31 能是负数 因此方程 xx 2 31 1 2 无解 经检验 是原方程的解 xx 12 52 原方程解为 xx 12 52 3 3 8 1 8 20 x xx 设 于是原方程 x x y xy 8 1 81 则 可变形为 3 1 20y y 去分母 得 3210 2 yy 即 3210 2 yy 解这个方程得 yy 12 1 1 3 当 根据算术平方根的意义 不可能是负数 y x x 1 8 1时 x x 8 所以方程 1 x x 8 无解 当 y x x 1 38 1 3 时 两边平方得 x x xx 8 1 9 98 即 88x x 1 经检验 是原方程的解x 1 原方程解为 x 1 说明 说明 当已求出的值 进一步求值时 如出现二次根式等于一个负数时 yx 如 5 可根据算术平方根意义 直接得无解 不要两边平方去xx 2 53 求解 如果两边平方 求出的答案也必然是原方程的增根 例例 7 解下列高次方程 1 xxx 32 560 2 xxx 32 44160 3 xx 42 450 解析解析 解高次方程的基本思路是把它降次 转化为一元一次方程或一元二 次方程 降次的具体方法是因式分解 应注意灵活运用因式分解的几种方法 第 3 小题是一个只含有未知数的偶次项的一元四次方程 叫双二次方程 可 把看作一个整体进行因式分解 x 2 解 解 1 x xx 2 560 x xx xxx 610 061 123 2 xxx 32 44160 xxx xx xxx xxx 2 2 123 4440 440 4220 422 3 xx 222 450 xx x 22 5010 5 或 无实根 原方程解为xx 12 55 例例 8 用换元法解方程 1 xxxx 222 812 2 xxxx 22 212240 解析 解析 本题两个方程如果展开即为一元四次方程 不易求解 观察方程特 点 可采取换元法求解 解 解 1 设 于是原方程可化为 xxy 2 yy 2 812 即 yy 2 8120 解这个方程得 yy 12 26 当yxx 22 2 时 xx 2 20 解这个方程得 xx 12 21 当时 y 6xx 2 6 即 xx 2 60 解这个方程得 x3 3 x4 2 原方程解为 x3 3 x4 2 xx 12 21 2 xxxx 22 212240 设 则原方程可变形为xxy 2 yy yy 212240 1424240 2 即 yy 2 14480 解这个方程得 yy 12 68 当yxx 66 2 时 即 xx 2 60 解这个方程为 xx 12 32 当yxx 88 2 时 即 xx 2 80 解这个方程得 x 1132 2 133 2 原方程解为 xx 12 32 xx 34 133 2 133 2 专项训练专项训练 一 填空题 一 填空题 1 若关于 x 的方程 1 2 4 222 11 x x xx a x xa 有根 则 2 的方程叫无理方程 3 用换元法解方程 则原方315251251 222 xxxxxxy 时 设 程 可变形为 4 方程 可根据直接判断它无解 x 21 二 选择题 二 选择题 1 下列关于的方程中 x2 1 00 2 xx m m x x 2 1 30 分式方程有 个 xxx 22 320 xx 3 4 1 1 3 2 A 1B 2C 3D 4 2 分式方程的解为 1 1 1 x A 1B 0C 2D 1 3 若代数式的值为 0 则的取值为 x x x x 2 2 11 x A B x 15 2 x 1 C 的一切实数D x 0 x 15 2 x 1 4 方程的所有的解为 xx 3 3 A 0B 0 3 C D 0 33 33 5 方程 23xx A 无解B 解为 1 C 解为 3D 解为 1 3 6 下列方程中 无解的方程个数是 xx 2 251 x 132 2 1 3 1 6 1 2 xxx xx 2 250 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 7 用换元法解方程 化为有理方程应设 252 25312 22 xxxx A 设B 设yxx 25 2 yxx 253 2 C 设D 设yxx 25 2 yxx 253 2 8 关于的方程的所有解为 xx x a a 1 1 1 1 A B 和aa a a 1 C D 和 a a 1 a a a 1 三 解下列方程 三 解下列方程 1 1