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1 2 杨辉三角考题赏析杨辉三角考题赏析 杨辉三角 是我国古代数学的瑰宝 利用杨辉三角不仅讨论了二项展开式 的一些性质 杨辉三角本身还包含着许多有趣的规律和性质 正因为如此 以 杨辉三角 为背景的试题在近年的高考或各地模拟题中频频出现 有力地考查 了同学们对数据的整理 分析 概括 处理能力和创新思维能力 现采撷几例 与同学们共赏析 例 1 2004 年上海春季高考卷 如图 在由二项式系数所构成的杨辉三 角中 第 行中从左到右第 14 与第 15 个数的比为 2 3 解析 由图 1 我们能发现 第 1 行中的数是 第 2 行中的数是 01 11 CC 第 3 行中的数是 则第 n 行中的数是 012 222 CCC 0123 3333 CCCC 设第 n 行中从左到右第 14 与第 15 个数的比为 则 012n nnnn CCCC 2 3 解得 1314 2 3 nn CC 34n 点评 本题是关于 杨辉三角 的一道高考题 杨辉三角中蕴含着许多有趣 的数量关系 与排列 组合和概率的关系非常密切 因此 理解和掌握杨辉三 角的一些性质 对发现某 些数学规律是很有帮助 的 例 2 2006 届全国 100 所名校示范卷 如图 2 所示 在杨辉三角中 斜 线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列 1 2 3 3 6 4 10 AB 记这个数列的前 n 项的和为 则等于 S n 16 S A 144B 146C 164D 461 解析 由图 2 知 数列中的首项是 第 2 项是 第 3 项是 第 4 2 2 C 1 2 C 2 3 C 项是 第 15 项是 第 16 项是 1 3 C 2 9 C 1 9 C 2 2 因此得 121212111 223399239 16 SCCCCCCCCC 222 239 CCC 故选 211232223 33923391010 1164CCCCCCCCC 点评 本题是杨辉三角与数列结合的一道考题 将数列的各项还原为各二 项展开式的二项式系数 并依次应用杨辉三角中数的规律 rn 1 r 1n rn 即组合数性质 2 从而求得数列的和 例 3 2004 年江苏高考模拟卷 观察下列数表 问此表最后一个数是 什么 并说明理由 解析 因为第一行有 100 个数 以后每一行都比前一行少一个数 因此共 有 100 行 通过观察可以得到 第 1 行首尾两项之和为 101 第 2 行首尾两项之和为 101 2 第 3 行首尾两项之和为 2 101 2 第 4 行首尾两项之和为 3 101 2 第 99 行首尾两项之和为 98 101 2 因为从第 2 行开始每一个数字是它肩上两个数字之和 所以最后一个数字 即第 100 行的数字是它肩上第 99 行首尾两个数字之和即为 98 101 2 点评 本题是一道以 杨辉三角 为背景的一道考题
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