2014届高考理科数学总复习课时作业：第8章《立体几何》11

课时作业 五十五 第一次作业 1 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 E F 分别是正方形 A1B1C1D1和 ADD1A1的中心 则 EF 和 CD 所成的角是 A 60 B 45 C 30 D 90 答案 B 解析 连接 A1D DC1 A1C1 E F 为 A1D A1C1中点 EF C1D EF 和 CD 所成角即为 C1DC 45 2 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M 是 AB 的中点 则 sin 的 DB1 CM 值等于 A B 1 2 210 15 C D 2 3 11 15 答案 B 解析 分别以 DA DC DD1为 x y z 轴建系 令 AD 1 1 1 1 DB1 1 0 CM 1 2 cos CM DB1 1 1 2 3 5 2 15 15 sin DB CM 210 15 3 2012 陕西 如图 在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC A1B1C1 CA CC1 2CB 则直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为 A B 5 5 5 3 C D 2 5 5 3 5 答案 A 解析 不妨设 CB 1 则 CA CC1 2 由题图知 A 点的坐标为 2 0 0 B 点的坐标为 0 0 1 B1点的坐标为 0 2 1 C1点的坐标为 0 2 0 所以 0 2 1 2 2 1 BC1 AB1 所以 cos BC1 AB1 0 2 2 2 1 1 3 5 5 5 4 已知正三棱柱 ABC A1B1C1所有棱长都相等 D 是 A1C1的中点 则直 线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为 A B 1 2 3 2 C D 3 5 4 5 答案 D 解析 取 AC 中点 E 令 AB 2 分别以 EB EC ED 为 x y z 轴建系 B1 0 2 C 0 1 0 A 0 1 0 D 0 0 2 0 0 3 DB1 3 0 1 2 0 1 2 平面 B1DC 法向量为 n 0 2 1 DC DA cos n DA 4 5 AD 与面 B1DC 所成的角正弦值为 4 5 5 已知长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB BC 4 CC1 2 则直线 BC1 和平面 DBB1D1所成角的正弦值为 A B 3 2 5 2 C D 10 5 10 10 答案 C 解析 连接 A1C1交 B1D1于 O 点 由已知条件得 C1O B1D1 且平面 BDD1B1 平面 A1B1C1D1 所以 C1O 平面 BDD1B1 连接 BO 则 BO 为 BC1在 平面 BDD1B1上的射影 C1BO 即为所求 OC1 A1C1 AC 2 BC1 1 2 1 22 2 42 225 通过计算得 sin C1BO OC1 BC1 10 5 6 若正三棱锥的侧面都是直角三角形 则侧面与底面所成二面角的余弦值 是 A B 6 3 3 3 C D 2 3 1 3 答案 B 解析 以正三棱锥 O ABC 的顶点 O 为原点 OA OB OC 为 x y z 轴 建系 图略 设侧棱长为 1 则 A 1 0 0 B 0 1 0 C 0 0 1 侧面 OAB 的法向量为 0 0 1 OC 底面 ABC 的法向量为 n 1 3 1 3 1 3 cos n OC OC n OC n 1 3 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 3 3 7 正四棱锥 S ABCD 中 O 为顶点在底面上的射影 P 为侧棱 SD 的中 点 且 SO OD 则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是 答案 30 解析 如图所示 以 O 为原点建立空间直角坐标系 O xyz 设 OD SO OA OB OC a 则 A a 0 0 B 0 a 0 C a 0 0 P 0 a 2 a 2 则 2a 0 0 a a a 0 CA AP a 2 a 2 CB 设平面 PAC 的法向量为 n 可求得 n 0 1 1 则 cos n CB CB n CB n a 2a2 2 1 2 n 60 CB 直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 90 60 30 8 2011 大纲全国理 己知点 E F 分别在正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 BB1 CC1上 且 B1E 2EB CF 2FC1 则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的 正切值等于 答案 2 3 解析 设面 AEF 与面 ABC 所成的二面角为 正方体 ABCD A1B1C1D1的 棱长为 3 则 AEF 在面 ABC 上的射影是 ABC 在 AEF 中 AE 32 1210 AF EF 3 2 2 2222 2 1 2 3210 AEF 的面积等于 而 ABC 的面积等于 1 222 10 2 1 2 22 2 3 11 2 32 因此有 cos sin tan 1 2 9 2 S ABC S AEF 3 111 cos2 2 11 sin cos 即面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值是 2 3 2 3 9 如图所示 PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面 AB 2 E 为 PB 的中点 cos 若以 DA DC DP 所在直线分别为 x y z 轴建立空间 DP AE 3 3 直角坐标系 则点 E 的坐标为 答案 1 1 1 解析 连接 AC BD 交于 O 连接 OE cos cos AEO DP AE 3 3 3 3 又 OA OE 1 E 为 1 1 1 2 10 2012 天津 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 AD PD BC 1 PC 2 PD CD 2 3 1 求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值 2 证明 平面 PDC 平面 ABCD 3 求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值 解析 1 如图 在四棱锥 P ABCD 中 因为底面 ABCD 是矩形 所以 AD BC 且 AD BC 故 PAD 为异面直线 PA 与 BC 所成的角 又因为 AD PD 在 Rt PDA 中 tan PAD 2 PD AD 所以 异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2 2 证明 由于底面 ABCD 是矩形 故 AD CD 又由于 AD PD CD PD D 因此 AD 平面 PDC 而 AD 平面 ABCD 所以平面 PDC 平面 ABCD 3 在平面 PDC 内 过点 P 作 PE CD 交直线 CD 于点 E 连接 EB 由于平面 PDC 平面 ABCD 而直线 CD 是平面 PDC 与平面 ABCD 的交 线 故 PE 平面 ABCD 由此得 PBE 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 在 PDC 中 由于 PD CD 2 PC 2 可得 PCD 30 3 在 Rt PEC 中 PE PCsin30 3 由 AD BC AD 平面 PDC 得 BC 平面 PDC 因此 BC PC 在 Rt PCB 中 PB PC2 BC213 在 Rt PEB 中 sin PBE PE PB 39 13 所以直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 39 13 11 如右图所示 ABCD 是直角梯形 ABC 90 SA 底面 ABCD SA AB BC 1 AD 求面 SCD 与面 SBA 所成二面角的余弦值 1 2 解析 以 A 为坐标原点 BA AD AS 所在直线分别为 x y z 建立如图 所示的空间直角坐标系 则 S 0 0 1 C 1 1 0 D 0 0 1 2 1 1 1 SC SD 0 1 2 1 设平面 SCD 的法向量为 n x y z n n SC SD n 0 n 0 SC SD 即Error 解得 x z y 2z 令 z 1 则 n 1 2 1 又 平面 SAB 的法向量为 AD 0 1 2 0 cos n AD n AD n AD 0 1 0 6 1 2 6 3 由题意知 二面角为锐角 所以二面角的大小等于两法向量的夹角 所求二面角的余弦值为 arccos 6 3 12 2012 山东 在如图所示的几何体中 四边形 ABCD 是等腰梯形 AB CD DAB 60 FC 平面 ABCD AE BD CB CD CF 1 求证 BD 平面 AED 2 求二面角 F BD C 的余弦值 解析 1 证明 因为四边形 ABCD 是等腰梯形 AB CD DAB 60 所以 ADC BCD 120 又 CB CD 所以 CDB 30 因此 ADB 90 即 AD BD 又 AE BD 且 AE AD A AE AD 平面 AED 所以 BD 平面 AED 2 方法一 由 1 知 AD BD 所以 AC BC 又 FC 平面 ABCD 因此 CA CB CF 两两垂直 以 C 为坐标原点 分别以 CA CB CF 所在的直线为 x 轴 y 轴 z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系 不妨设 CB 1 则 C 0 0 0 B 0 1 0 D 0 F 0 0 1 3 2 1 2 因此 0 0 1 1 BD 3 2 3 2 BF 设平面 BDF 的一个法向量为 m x y z 则 m 0 m 0 BD BF 所以 x y z 33 取 z 1 则 m 1 1 3 由于 0 0 1 是平面 BDC 的一个法向量 CF 则 cos m CF m CF m CF 1 5 5 5 所以二面角 F BD C 的余弦值为 5 5 方法二 取 BD 的中点 G 连接 CG FG 由于 CB CD 因此 CG BD 又 FC 平面 ABCD BD 平面 ABCD 所以 FC BD 由于 FC CG C FC CG 平面 FCG 所以 BD 平面 FCG 故 BD FG 所以 FGC 为二面角 F BD C 的平面角 在等腰三角形 BCD 中 由于 BCD 120 因此 CG CB 又 CB CF 1 2 所以 GF CG CG2 CF25 故 cos FGC 5 5 因此二面角 F BD C 的余弦值为 5 5 13 正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长均为 2 P 是侧棱 AA1上任意一 点 1 求正三棱柱 ABC A1B1C1的体积 2 判断直线 B1P 与平面 ACC1A1是否垂直 请证明你的结论 3 当 BC1 B1P 时 求二面角 C B1P C1的余弦值 解析 1 VABC A1B1C1 S ABC AA1 22 2 2 3 43 2 不垂直 建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz 设 AP a 则 A C B1 P 的坐标分别为 0 1 0 0 1 0 0 2 0 1 a 3 0 2 0 AC 1 a 2 B1P 3 2 0 B1P 不垂直 AC A