1.4正方形的性质及判定

13 1 4 正方形的性质和判定 讲义 学生版 page 1 of 10 中考要求中考要求 中考考试要求层次板块名称 ABC 正方形会识别正方形掌握正方形的概念 性质和判定 会 用正方形的性质和判定解决简单问题 会用正方形的知识解决有关 问题 知识点睛知识点睛 1 正方形的定义 有一组邻边相等 并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方 形 2 正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形 矩形 菱形 它具有前三者的所有性质 边的性质 对边平行 四条边都相等 角的性质 四个角都是直角 对角线性质 两条对角线互相垂直平分且相等 每条对角线平分一组对角 对称性 正方形是中心对称图形 也是轴对称图形 平行四边形 矩形 菱形和正方形的关系 如图 3 正方形的判定 判定 有一组邻边相等的矩形是正方形 判定 有一个角是直角的菱形是正方形 教学目标教学目标 1 掌握正方形的定义和性质 弄清正方形与平行四边形 菱形 矩形的关系 2 掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法 3 提高学生分析问题及解决问题的能力 4 通过分析概念之间的联系与区别 培养学生辨证唯物主义观点 重 难点重 难点 重点 知晓正方形的性质和正方形的判定方法 难点 正方形知识的灵活应用 例题精讲例题精讲 正方形的性质正方形的性质 及判定及判定 13 1 4 正方形的性质和判定 讲义 学生版 page 2 of 10 一 正方形的性质 铺垫 正方形有 条对称轴 例例 1 已知正方形的边长是正方形的对角线 则 BDEFABCD BDEFABCD SS 正方形正方形 如图 已知正方形的面积为 点在上 点在的延长线上 且ABCD256FCDECB 则的长为 20AEAFAF BE F E D C B A 如图 在正方形中 为边的中点 分别为 边上的点 若 ABCDEABGFADBC1AG 则的长为 2BF 90GEF GF 例例 2 将个边长都为的正方形按如图所示摆放 点分别是正方形的中心 则个n1cm 12 n AAA n 正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 A5 A4A3 A2 A1 例例 3 如图 正方形的边长为 以为圆心 长为半径画弧交对角线于点 连ABCD2cmBBCBDE 接 是上任意一点 于 于 则的值为 CEPCEPMBC MPNBD NPMPN P N M E D CB A 铺垫 如图 是正方形对角线上的一点 求证 EABCDBDAECE E D C B A 例例 4 如图 为正方形对角线上一点 于 于 求证 PABCDPEBC EPFCD FAPEF 13 1 4 正方形的性质和判定 讲义 学生版 page 3 of 10 F E P D C B A 巩固巩固 如图所示 正方形对角线与相交于 且分别与交于ABCDACBDOMNABAOBO 试探讨与之间的关系 写出你所得到的结论的证明过程 MN BMCN M N CD O BA 巩固巩固 如图 已知是正方形内的一点 且为等边三角形 那么 PABCDABP DCP P D C BA 例例 5 已知正方形 在 上分别取 两点 使 求证 ABCDADACEF2ED ADFC AC 是等腰直角三角形 BEF G EH D F CB A 例例 6 如图 已知 分别是正方形的边 上的点 分别与对角线相EFABCDBCCDAEAFBD 交于 若 则 MN50EAF CMECNF N M F E DC BA 例例 7 如图 四边形为正方形 以为边向正方形外作正方形 与相交于点 ABCDABABECEBDF 则 AFD 13 1 4 正方形的性质和判定 讲义 学生版 page 4 of 10 F E D CB A 例例 8 如图 正方形中 在的延长线上取点 使 连结分ABCDADEFDEAD DFBD BF 别交 于 求证 是等腰三角形 CDCEHGGHD 3 1 4 2 FE G H C D B A 巩固巩固 如图 过正方形顶点引 且 若与的延长线的交点为 求证AAEBD BEBD BEADF DFDE G F E B DA 例例 9 如图所示 在正方形中 是内的两条射线 ABCDAKANA BKAK BLAN 求证 DMAK DNAN KLMN KLMN K N M L DC B A 巩固巩固 如图 正方形的边在正方形的边上 连接 求证 ABCDCDECGFCE BE DGBEDG GC FE D B A 例例 10 2007 年三帆中学期中考试 如图 在正方形中 为边上的一点 为ABCDECDF 延长线上的一点 求的度数 BCCECF 30FDC BEF B D C A E F 巩固巩固 已知 如图 在正方形中 是上一点 延长到 使 连接并ABCDGCDBCECECG BG 延长交于 DEF 13 1 4 正方形的性质和判定 讲义 学生版 page 5 of 10 1 求证 BCGDCE 2 将绕点顺时针旋转得到 判断四边形是什么特殊四边形 并说明 DCE D90 DAE E BGD 理由 A B C D E F E G 例例 11 若正方形的边长为 为边上一点 为线段上一点 射线ABCD4EBC3BE MAE 交正方形的一边于点 且 则的长为 BMFBFAE BM 例例 12 如图 1 在正方形中 分别为边 上的点 ABCDEFGHABBCCDDA 连接 交点为 HAEBFCGD EGFHO 如图 2 连接 试判断四边形的形状 并证明你的结论 EFFG GHHE EFGH 将正方形沿线段 剪开 再把得到的四个四边形按图 3 的方式拼接成一个ABCDEGHF 四边形 若正方形的边长为 则图 3 中阴影部分的ABCD3cm1cmHAEBFCGD 面积为 2 cm 3 1 2 H DGC F EBA OH G F E DC BA 巩固巩固 如图 正方形对角线相交于点 点 分别是 上的点 求证 ABCDOPQBCCDAQDP 1 2 OPOQ OPOQ B O D C A Q P 例例 13 如图 正方形中 是边上两点 且于 求ABCDE F AB BC EFAEFC DGEF G 证 DGDA G F E C D B A 巩固巩固 如图 点分别在正方形的边上 已知的周长等于正方形周MN ABCDBC CD MCN ABCD 13 1 4 正方形的性质和判定 讲义 学生版 page 6 of 10 长的一半 求的度数MAN N M DC B A 巩固巩固 如图 设正方形的对角线 在延长线上取一点 使 与EF ABCDACDAGAGAD EG 交于 求证 正方形的边长 DFHAH H E G C D FB A 例例 14 把正方形绕着点 按顺时针方向旋转得到正方形 边与交于点ABCDAAEFGFGBC 如图 试问线段与线段相等吗 请先观察猜想 然后再证明你的猜想 HHGHB G C H F E D B A 例例 15 如图所示 在直角梯形中 是的垂直平分线 交ABCDADBC 90ADC lAD 于点 以腰为边作正方形 作于点 求证 ADMABABFEEPl P22EPADCD l P M F E D CB A 二 正方形的判定 例例 16 四边形的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形 求证 ABCDEFGH 四边形对角互补 EFGH 若四边形为平行四边形 则四边形为矩形 ABCDEFGH 四边形为长方形 则四边形为正方形 ABCDEFGH 13 1 4 正方形的性质和判定 讲义 学生版 page 7 of 10 H E F G D C B A 巩固巩固 如图 已知平行四边形中 对角线 交于点 是延长线上的点 且ABCDACBDOEBD 是等边三角形 ACE 求证 四边形是菱形 ABCD 若 求证 四边形是正方形 2AEDEAD ABCD O E D C B A 巩固巩固 已知 如图 在中 垂足为点 是外角的平ABC ABAC ADBC DANABC CAM 分线 垂足为点 CEAN E 求证 四边形为矩形 ADCE 当满足什么条件时 四边形是一个正方形 并给出证明 ABC ADCE M E N C D B A 例例 17 如图 点是矩形边的中点 点是边上一动点 MABCDAD2ABAD PBC 垂足分别为 求点运动到什么位置时 四边形为正方PEMC PFBM EFPPEMF 形 P M FE D CB A 例例 18 如图 是边长为 的正方形 是内接于的正方形 ABCD1EFGHABCDAEa AFb 若 则 2 3 EFGH S ba 13 1 4 正方形的性质和判定 讲义 学生版 page 8 of 10 H G F E D C B A 例例 19 如图 在线段上 和都是正方形 面积分别为和 则ABGABCDDEFG 2 7cm 2 11cm 的面积为 CDE G F E D C BA 巩固巩固 如图 在正方形中 点为正方形内的两点 且ABCD 1 P P 则 11 PBPD PBABCBPPBP 1 BPP P1 P D C B A 例例 20 如图 若在平行四边形各边上向平行四边形的外侧作正方形 求证 以四个正方形ABCD 中心为顶点组成一个正方形 P R Q S N M F E D C B A 例例 21 已知 以 AB 为一边作正方形 ABCD 使 P D 两点落在直线 AB 的2PA 4PB 两侧 1 如图 当 APB 45 时 求 AB 及 PD 的长 2 当 APB 变化 且其它条件不变时 求 PD 的最大值 及相应 APB 的大小 13 1 4 正方形的性质和判定 讲义 学生版 page 9 of 10 P D C B A 课后练习课后练习 1 如图 正方形中 是对角线的交点 过点作 分别交于ABCDOAC BD OOEOF AB CD 若 则 E F 43AECF EF O F E D C B