【数学理】2011届高考模拟题(课标)分类汇编： 立体几何

数学理 2011 届高考模拟题 课标 分类汇编 立体几何 1 2011 北京朝阳区期末 北京朝阳区期末 设a b g是三个不重合的平面 l是直线 给出下列命题 若ab bg 则 若l上两点到 的距离相等 则 l 若la lb 则ab 若 ab lb 且 la 则 lb 其中正确的命题是 D A B C D 2 2011 北京朝阳区期末 北京朝阳区期末 如图 正方体 1111 ABCDABC D 中 E F分别为 棱 1 DD AB上的点 已知下列判断 1 AC 平面 1 B EF 1 B EFD在侧面 11 BCC B上 的正投影是面积为定值的三角形 在平面 1111 ABC D内总存在与平面 1 B EF平行的直线 平 面 1 B EF与平面ABCD所成的二面角 锐角 的大小与点E的位置有关 与点F的位 置无关 其中正确判断的个数有 B A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3 2011 北京朝阳区期末 北京朝阳区期末 已知一个正三棱锥的正视图如图所示 则此正三棱锥的 侧面积等于 9 3 4 2011 北京朝阳区期末 北京朝阳区期末 如图 在三棱锥PABC 中 2ACBC 90ACB o 侧面PAB为等边三角形 侧棱 2 2PC 求证 PCAB C AB P 求证 平面PAB 平面ABC 求二面角BAPC 的余弦值 解 设AB中点为D 连结PD CD 1 分 因为APBP 所以PDAB 又ACBC 所以CDAB 2 分 因为PDCDD I 所以AB 平面PCD 因为PC 平面PCD 所以PCAB 4 分 由已知90ACB o 2ACBC 所以2ADBDCD 2 2AB 又PABD为正三角形 且PDAB 所以6PD 6 分 因为2 2PC 所以 222 PCCDPD 所以90CDP o 由 知CDP 是二面角PABC 的平面角 所以平面PAB 平面ABC 8 分 方法方法 1 由 知CD 平面PAB 过D作DEPA 于E 连结CE 则CEPA 所以DEC 是二面角BAPC 的平面角 10 分 在RtCDED中 易求得 6 2 DE 因为2CD 所以 2 3 tan 3 CD DEC DE 12 分 所以 21 cos 7 DEC 即二面角BAPC 的余弦值为 21 7 方法方法 2 由 知DC DB DP两两垂直 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系 易知 0 0 0 D 2 0 0 C 0 2 0 A 0 0 6 P 所以 2 2 0 AC uuu r C AB P E D x C AB P D y z 正视图俯视图 2 1 6 2 1 5 2 0 6 PC uu u r 设平面PAC的法向量为 x y z n 则 0 0 AC PC uuu r uu u r n n 即 220 260 xy xz 令1x 则1y 3 3 z 所以平面PAC的一个法向量为 3 1 1 3 n 11 分 易知平面PAB的一个法向量为 2 0 0 DC uuu r 所以 21 cos 7 DC DC DC uuu r uuu r uuu r n n n 12 分 由图可知 二面角BAPC 为锐角 所以二面角BAPC 的余弦值为 21 7 13 分 5 20112011 北京丰台区期末 北京丰台区期末 若一个螺栓的底面是正六边形 它的正视图和俯视图如图所示 则它的体积是 C A 3 332 225 B 32 3 3 25 C 32 9 3 25 D 128 9 3 25 6 20112011 北京丰台区期末 北京丰台区期末 直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 5 AC 4 BC 3 AA1 4 点 D 在 AB 上 求证 AC B1C 若 D 是 AB 中点 求证 AC1 平面 B1CD 当 1 3 BD AB 时 求二面角 1 BCDB 的余弦值 证明 在 ABC 中 因为 AB 5 AC 4 BC 3 A A1 B C D B1 C1 E 所以 AC2 BC2 AB2 所以 AC BC 因为 直三棱柱 ABC A1B1C1 所以 C C1 AC 因为 BC AC C 所以 AC 平面 B B1C1C 所以 AC B1C 5 分 证明 连结 BC1 交 B1C 于 E DE 因为 直三棱柱 ABC A1B1C1 D 是 AB 中点 所以 侧面 B B1C1C 为矩形 DE 为 ABC1的中位线 所以 DE AC1 因为 DE 平面 B1CD AC1 平面 B1CD 所以 AC1 平面 B1CD 解 由 知 AC BC 所以如图 以 C 为原点建立空间直角坐标系 C xyz 则 B 3 0 0 A 0 4 0 A1 0 0 c B1 3 0 4 设 D a b 0 0a 0b 因为 点 D 在线段 AB 上 且 1 3 BD AB 即 1 3 BDBA 所以 2a 4 3 b 4 1 0 3 BD 所以 1 3 0 4 BC 3 4 0 BA 4 2 0 3 CD 平面 BCD 的法向量为 1 0 0 1 n 设平面 B1 CD 的法向量为 2 1 nx y 由 12 0BC n 2 0CD n 得 340 4 20 3 x xy 所以 4 3 x 2y 2 4 2 1 3 n 设二面角 1 BCDB 的大小为 所以 12 12 3 cos 61 nn nn A A1 B C D B1 C1 x y z 所以 二面角 1 BCDB 的余弦值为 3 61 61 7 7 20112011 北京西城区期末 北京西城区期末 如图 四边形ABCD中 1ABADCD 2BD BDCD 将四边形ABCD沿 对角线BD折成四面体ABCD 使平面 A BD 平面BCD 则下列结论正确的是 B A A CBD B 90BA C C CA 与平面A BD 所成的角为30 D 四面体ABCD 的体积为 1 3 8 8 20112011 北京西城区期末 北京西城区期末 如图 在三棱柱 111 ABCABC 中 侧面 11 ABB A 11 ACC A均为正方形 90BAC 点D是棱 11 BC的中点 求证 1 AD 平面 11 BBC C 求证 1 AB平面 1 ADC 求二面角 1 DACA 的余弦值 证明 因为侧面 11 ABB A 11 ACC A均为正方形 所以 11 AAAC AAAB 所以 1 AA 平面ABC 三棱柱 111 ABCABC 是直三棱柱 1 分 因为 1 AD 平面 111 ABC 所以 11 CCAD 2 分 又因为 1111 ABAC D为 11 BC中点 所以 111 ADBC 3 分 因为 1111 CCBCC A B C DB C D A B1 A B C C11 A1 D x y z O A B C C11 B1 A1 D 所以 1 AD 平面 11 BBC C 4 分 证明 连结 1 AC 交 1 AC于点O 连结OD 因为 11 ACC A为正方形 所以O为 1 AC中点 又D为 11 BC中点 所以OD为 11 ABC 中位线 所以 1 ABOD 6 分 因为OD 平面 1 ADC 1 AB 平面 1 ADC 所以 1 AB平面 1 ADC 8 分 解 因为侧面 11 ABB A 11 ACC A均为正方形 90BAC 所以 1 AB AC AA两两互相垂直 如图所示建立直角坐标系Axyz 设1AB 则 1 1 1 0 10 1 0 0 0 0 1 1 2 2 CBAD 11 1 1 0 0 11 2 2 ADAC 设平面 1 ADC的法向量为 x y zn 则有 1 1 0 0 AD AC n n 0 0 xy yz xyz 取1x 得 1 1 1 n 又因为AB 平面 11 ACC A 所以平面 11 ACC A的法向量为 1 0 0 AB 13 cos 33 AB AB AB n n n 因为二面角 1 DACA 是钝角 所以 二面角 1 DACA 的余弦值为 3 3 9 20112011 巢湖一检 巢湖一检 已知一个多面体的三视图如图所示 则这个多面体的体积等于 20 3 10 20112011 巢湖一检 巢湖一检 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 平面 ABCD 四边形 ABCD 是菱形 AC 6 BD 8 E 是 PB 上任一点 求证 AC DE 当 E 是 PB 的中点时 求证 PD 平面 EAC 若AEC 面积最小值是 6 求 PB 与平面 ABCD 所成角 P AB C E O D 解 PD 平面ABCD AC 平面ABCD PDAC 在菱形 ABCD 中 BDAC 又 PDBDD AC 平面 PDB 又 DE 平面 PDB AC DE 4 分 当 E 为 PB 中点时 O 为 BD 中点 EO PD EOAECPDAEC 平面 平面 PD 平面 AEC 8 分 PD 平面 ABCD PBD 就是 PB 与平面 ABCD 所成的角 由 的证明可知 AC 平面 PDB AC EO AC 6 1 3 2 AEC SAC EOEO 因其最小值为 6 EO 的最小值为 2 此时 EO PB 1 4 2 OBBD 1 sin 2 EO PBD OB PB 与平面 ABCD 成30 的角 12 分 11 2011 2011 承德期末承德期末 已知集合 A 直线 B BbAaBAC 若 平面 Cc 则下列命题中正确的是 B A ca bc ba B ca bc ba C ca bc ba D ca bc ba 12 12 2011 2011 承德期末承德期末 如图 直四棱柱 1111 DCBAABCD 中 底面ABCD是 60DAB的菱形 4 1 AA 2 AB 点E在棱 1 CC上 点F是棱 11D C的中点 若E是 1 CC的中点 求证 BDAEF 1 平面 求出CE的长度 使得EBDA 1 为直二面角 解 解 1 BAEF BACD CDEF 1 11 1 而 11A ABBEF面 111 AABBBA面 所以BDAEF 1 平面 5 分 2 设xCE 连接OBDAC 因为OEA1 就是二面角EBDA 1 的平面角 所以 要使 90 1OE A只需AOA1 OCE 所以 x 3 3 4 从而 4 3 x 12 1 D A F E 1 C 1 B DC B 1 A 1 D A F E 1 C 1 B DC B 1 A O 13 2011 2011 东莞期末东莞期末 三棱锥SABC 的三视图如下 尺寸的长度单位为m 则这个三棱锥的体积为 4 3 m 14 2011 2011 东莞期末东莞期末 如图 在等腰直角ABC 中 90ACB 2 BCAC CDAB D为垂足 沿CD将 ABC 对折 连结A B 使得3 AB 1 对折后 在线段AB上是否存在点E 使ADCE 若存在 求出AE的长 若不存在 说 明理由 2 对折后 求二面角DACB 的平面角的正切值 解 1 在线段AB上存在点E 使ADCE 由等腰直角ABC 可知 对折后 CDAD CDBD 1ADBD 在ABD 中 22222 1131 cos 22 1 12 ADBDAB ADB AD BD 120ADB 30BADABD 过D作AD的垂线 与AB的交于点E 点E就是 满足条件的唯一点 理由如下 A B C D B A D 第 19 题图 正视图 侧视图 俯视图 3 1 2 2 3 2 BA C S 第 12 题图 C F C E B A D 连结CE ADDE ADCD DECDD AD 平面CDE AD CE 即在线段AB上存在点E 使ADCE 在Rt ADE 中 30DAE 1AD 得 12 3 cos33 2 AD AE DAE 2 对折后 作DFAC 于F 连结EF CDAD CDBD ADBDD CD 平面ADB 平面ACD 平面ADB DEAD 且平面ACD 平面ADBAD ED 平面ACD 而DFAC 所以 AC平面DEF 即DFE 为二面角DACB 的平面角 11 分 在Rt ADE 中 30DAE 1AD 得 33 tan1 33 DEADDAE 在Rt ADF 中 45DAF 1AD 得 22 sin1 22 FDADDAF 在Rt EDF 中 90EDF 3 6 3 tan 32 2 DE DFE DF 即二面角DACB 的平面角的正切值等于 6 3 15 20112011 佛山一检 佛山一检 若一个圆台的的正视图如图 所示 则其侧面积等于 C A 6 B 6 C 3 5 D 6 5 16 20112011 佛山一检 佛山一检 如图 已知E F分别是正方形ABCD边BC CD的中点 EF与AC交于点O PA NC都垂直于平面ABCD 且4PAAB 2NC M是线段PA上一动点 第 4 题 图 第 19 题图 求证 平面PAC 平面NEF 若 PC平面MEF 试求 PM MA的值 当M是PA中点时 求二面角MEFN 的余弦值 解 法解 法 1 连结BD PA 平面ABCD BD 平面ABCD PABD 又 BDAC ACPAA BD 平面PAC 又 E F分别是BC CD的中点 EFBD EF 平面PAC 又EF 平面NEF 平面PAC 平面NEF 连结OM PC平面MEF 平面PAC 平面MEFOM PCOM 1 4 PMOC PAAC 故 1 3PM MA EF 平面PAC OM 平面PAC EF OM 在等腰三角形NEF中 点O为EF的中点 NOEF MON 为所求二面角MEFN 的平面角 点M是PA的中点 2AMNC 所以在矩形MNCA中 可求得4 2MNAC 6NO 22MO 在MON 中 由余弦定理可求得 222 33 cos 233 MOONMN MON MO ON 二面角MEFN 的余弦值为 33 33 法法 2 同法 1 建立如图所示的直角坐标系 则 0 0 4 P 4 4 0 C 4 2 0 E 2 4 0 F 4 4 4 PC 2 2 0 EF 设点M的坐标为 0 0 m 平面MEF的法向量为 nx y z 则 4 2 MEm 所以 0 0 n ME n EF 即 420 220 xymz xy 令1x 则1y 6 z m B A C A1 B1 C1 故 6 1 1 n m PC平面MEF 0PC n 即 24 440 m 解得3m 故3AM 即点M为线段PA上靠近P的四等分点 故 1 3PM MA 8 分 4 4 2 N 则 0 2 2 EN 设平面NEF的法向量为 mx y z 则 0 0 m EN m EF 即 220 220 yz xy 令1x 则1y 1z 即 1 1 1 m 当M是PA中点时 2m 则 1 1 3 n 1 1 333 cos 33311 m n 二面角MEFN 的余弦值为 33 33 14 分 1717 20112011 广东广雅中学期末 广东广雅中学期末 从正方体的八个顶点中任意选择 4 个顶点 它们可能是如下几种几何体 或平面图形 的 4 个顶点 这 些几何体 或平面图形 是 写出所有正确的结论的编号 矩形 不是矩形的平行四边形 有三个面为等腰直角三角形 有一个面为等边三角形的四面体 每个面都是等边三角形的四面体 18 20112011 广东广雅中学期末 广东广雅中学期末 如图 在三棱柱 111 ABCABC 中 ABAC 顶点 1 A在底面ABC 上的射影恰为点 B 且 1 2ABACAB 1 求棱 1 AA与 BC 所成的角的大小 2 在线段 11 BC上确定一点 P 使14AP 并求出二面角 1 PABA 的 平面角的余弦值 解析 1 如图 以 A 为原点建立空间直角坐标系 则 11 2 0 00 2 00 2 20 4 2CBAB 1 0 2 2AA 11 22 0BCBC 1 1 1 41 cos 288 AA BC AABC AABC 故 1 AA与棱 BC 所成的角是 3 6 分 2 设 111 220B PBC 则 2422P 于是 2 2 1 442414 2 AP 3 2 舍去 则 P 为棱 11 BC的中点 其坐标为 1 3 2P 8 分 设平面 1 PABA 的法向量为 1 n x y z 则 1 1 0 0 n AP n AB A A 即 320 20 xyz y 令1z 故 1 n 2 0 1 11 分 而平面 1 ABA的法向量 2 n 2 1 0 0 则 12 12 12 22 5 cos 55 n n n n n n A 故二面角 1 PABA 的平面角的余弦值是 2 5 5 13 分 19 20112011广州调研 广州调研 一空间几何体的三视图如图2所示 该几何体的 体积为 8 5 12 3 则正视图中x的值为 C A 5 B 4 C 3 D 2 M D C B A P z y x M D C B A P 20 20112011广州调研 广州调研 如图4 在四棱锥P ABCD 中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD 2PAAD 1AB BM PD 于点M 1 求证 AM PD 2 求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值 本小题主要考查空间线面关系 直线与平面所成的角等知识 考查数形结合的数学思想方 法 以及空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力 1 证明证明 PA 平面ABCD AB 平面ABCD PAAB AB AD ADPAA AD 平面PAD PA 平面PAD AB 平面PAD PD 平面PAD AB PD 3分 BM PD ABBMB AB 平面ABM BM 平面ABM PD 平面ABM AM 平面ABM AM PD 6分 2 解法解法1 1 由 1 知 AM PD 又PA AD 则M是PD的中点 在Rt PAD中 得 2AM 在Rt CDM中 得 22 3MCMDDC 16 22 ACM SAM MC 资料来源 数学驿站 设点D到平面ACM的距离为h 由 D ACMMACD VV 8分 得 111 332 ACMACD ShSPA AA 解得 6 3 h 10分 设直线CD与平面ACM所成的角为 则 6 sin 3 h CD 12分 3 cos 3 直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为 3 3 14分 解法解法2 2 如图所示 以点A为坐标原点 建立空间直角坐标系 Axyz 则 0 0 0A 0 0 2P 1 0 0B 1 2 0C 0 2 0D 0 1 1M 1 2 0 0 1 1 1 0 0ACAMCD 8分 设平面ACM的一个法向量为 nx y z 由 nAC nAM 可得 20 0 xy yz 令 1z 得 2 1xy 2 1 1 n 10分 设直线CD与平面ACM所成的角为 则 6 sin 3 CD n CD n 12分 3 cos 3 直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为 3 3 14分 21 2011 哈尔滨期末 哈尔滨期末 已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形 侧棱长均为2 则侧棱与底面所成角的余弦值为 D F D E C1 B1 A1 C B A A 3 2 B 1 2 C 3 3 D 3 6 22 2011 哈尔滨期末 哈尔滨期末 如图 三棱柱 111 CBAABC 中 侧棱 1 AA 平面ABC ABC 为等腰直角三角形 90 BAC 且 1 AAAB FED 分别是BCCCAB 11 的中点 1 求证 FB1平面AEF 2 求二面角FAEB 1 的正切值 解 1 取AB中点O 连接DOCO 2 1 11 CEDOCEDOAADOAADO 平行四边形DOCE DECODE 平面ABC CO平面ABC DE 平面ABC 2 等腰直角三角形ABC 中F为斜边的中点 BCAF 又 直三棱柱 111 CBAABC 面 ABC面CCBB 11 AF面BC1 FBAF 1 设EFFBEBEFFBEBEFFBAAAB 1 2 1 22 1111 2 3 2 3 2 6 1 又 FEFAF FB1面AEF 3 FB1 面AEF 作AEMB 1 于M 连接FM MFB1 为所求 10 3 FM 所求二面的正切值为5 23 2011 湖北重点中学二联 湖北重点中学二联 有一正方体 六个面上分别写有数字 1 2 3 4 5 6 有三个人从不同的角度观察的结果如图所示 如果记 3 的对面的数字为 m 4 的对面的数字为 n 那 么 m n 的值为 C A 3B 7C 8D 11 24 2011 湖北重点中学二联 湖北重点中学二联 12 分 如图 平面 ABEF 平面 ABCD 四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形 11 90 22 BADFABBCAD BEAF I 证明 C D F E 四点共面 II 设 AB BC BE 求二面角 A ED B 的大小 解 法 1 解 延长DC交AB的延长线于点G 由BC 1 2 AD得 1 2 GBGCBC GAGDAD 2 分 延长FE交AB的延长线于 G同理可得 1 2 G EG BBE G FG AAF 故 G BGB G AGA 即G与 G重合 4 分 因此直线CDEF 相交于点G 即 C D F E四点共面 6 分 证明 设1AB 则1BCBE 2AD 取AE中点M 则BMAE 又由已知得 AD 平面ABEF 故ADBM BM与平面ADE内两相交直线ADAE 都垂直 所以BM 平面ADE 作MNDE 垂足为N 连结BN 由三垂线定理知BNEDBNM 为二面角AEDB 的平面角 9 分 213 223 ADAE BMMN DE 故 6 tan 2 BM BNM MN 所以二面角AEDB 的大小 6 arctan 2 12 分 25 2011 2011 淮南一模 淮南一模 已知某个几何体的三视图如右侧 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可 得这个几何体的体积是 B A 3 2 5 cm B 3 2 3 cm C 3 3cm D 3 2cm 36 2011 2011 淮南一模 淮南一模 给出命题 1 在空间里 垂直于同一平面的两个平面平行 2 设 ml 是不同的直线 是一个平面 若 l l m 则 m 3 已知 表示两个不同平面 m为平面 内的一条直线 则 是 m 的充要条件 4 若点P到三角形三个顶点的距离相等 则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心 5 ba 是两条异面直线 P为空间一点 过P总可以作一个平面与 ba 之一垂直 与另一个平行 其中正确的命题是 2 4 只填序号 27 2011 2011 淮南一模 淮南一模 本小题12分 在正 ABC 中 E F P分别是AB AC BC边上的点 满足 AE EB 1 2 CFCP FAPB 如图 1 将 AEF 沿EF折起到 EFA1 的位置 使二面角 BEFA 1 成直二面角 连结 BA1 PA1 如图2 求证 EA1 平面 BEP 求直线 EA1 与平面 BPA1 所成角的大小 主 主 主 202020 主 主 主 40 主 主 主 10 50 解 不妨设正三角形ABC的边长为3 则 在图1中 取BE中点D 连结DF 则 1 2 AECFCP EBFAPB 2AFAD 而 0 60A 即 ADF是正三角形 又 1AEED EF AD 在图2中有 1 A EEF BE EF 1 A EB 为二面角 1 AEFB 的平面角 二面角 1 AEFB 为直二面角 1 A EBE 又 BE EFE 1 A E 平面BEF 即 1 A E 平面BEP 由 可知A1E 平面BEP BE EF 建立如图的坐标系 则 0 0 0 A1 0 0 1 B 2 0 0 F 0 3 0 在图 中 不难得到 F P 且 F P FP且 FP 故点 的坐标 1 3 0 1 2 0 1 A B 1 3 0 BP 1 0 0 1 EA 不妨设平面A1BP的法向量 1 nx y z 则 11 1 20 30 A B nxz BP nxy 令 3y 得 1 3 3 6 n 11 11 11 63 cos 2 1 4 3 nEA nEA nEA 故直线A1E与平面A1BP所成角的大小为3 28 2011 2011 惠州三调惠州三调 一简单组合体的三视图及尺寸 如右图示 单位 则该组合体的表面积为 12800 2 cm F FE E D D C CB B A A G F D E C B A 解析 该组合体的表面积为 2 22212800SSScm 侧视图主视图俯视图 29 2011 2011 惠州三调惠州三调 已知ABC 的三边长为cba 内切圆半径为r 用的面积表示 ABCS ABC 则 ABC S 2 1 cbar 类比这一结论有 若三棱锥 BCDA 的内切球半径为R 则三棱锥体积 BCDA V 1 3 ABCABDACDBCD R SSSS 解析 连接内切球球心与各点 将三棱锥分割成四个小棱锥 它们的高都等于 R 底面分别为三棱锥 的各个面 它们的体积和等于原三棱锥的体积 答案 1 3 ABCABDACDBCD R SSSS 30 2011 2011 惠州三调惠州三调 本题满分 14 分 已知梯形 ABCD 中 AD BC ABC BAD 2 AB BC 2AD 4 E F 分别是 AB CD 上的点 EF BC AE x G 是 BC 的中点 沿 EF 将梯形 ABCD 翻折 使平面 AEFD 平面 EBCF 如图 1 当 x 2 时 求证 BD EG 2 若以 F B C D 为顶点的三棱锥的体积记为 f x 求 f x的最大值 3 当 f x取得最大值时 求二面角 D BF C 的余弦值 1 方法一 方法一 平面AEFD 平面EBCF 2 AEFADEF AE EF AE 平面EBCF AE EF AE BE 又 BE EF 故可如图建立空间坐标系 E xyz 2 2 EBEA 又G 为 BC 的中点 BC 4 2 BG 则 A 0 0 2 B 2 0 0 G 2 2 0 D 0 2 2 E 0 0 0 BD 2 2 2 EG 2 2 0 BD EG 2 2 2 A 2 2 0 0 BDEG 4 分 方法二 方法二 作 DH EF 于 H 连 BH GH 由平面AEFD 平面EBCF知 DH 平面 EBCF 而 EG 平面 EBCF 故 EG DH AEHDEFADDHAEEFAEEBCAEHBCEF 2 为平行四边 形 2 BCEHBCEHADEH 且 2 2 BCBEEBC 四边形 BGHE 为正方形 EG BH BH DH H 故 EG 平面 DBH 而 BD 平面 DBH EG BD 4 分 或者直接利用三垂线定理得出结果 2 AD 面 BFC 所以 f x BCFD V VA BFC AES BCF 3 1 xx 4 4 2 1 3 1 2 288 2 333 x 即2x 时 f x有最大值为 8 3 8 分 3 设平面 DBF 的法向量为 1 nx y z AE 2 B 2 0 0 D 0 2 2 G F D E C B A H x G F D E C B A y z F 0 3 0 2 3 0 BF 10 分 BD 2 2 2 则 1 1 0 0 n BD n BF A A 即 2 2 2 0 2 3 0 0 x y z x y z A A 2220 230 xyz xy 取3 2 1xyz 1 3 2 1 n BCFAE面面 面 BCF 一个法向量为 2 0 0 1 n 12 分 则 cos 12 12 14 14 n n nn A 13 分 由于所求二面角 D BF C 的平面角为钝角 所以此二面角的余弦值为 14 14 14 分 31 2011 2011 锦州期末锦州期末 连结球面上两点的线段称为球的弦 半径为 4 的球的两条弦 AB CD的长 度分别等于 27 43 MN分别为 AB CD的中点 每条弦的两端都在球面上运动 有下列 四个命题 弦 AB CD可能相交于点M 弦 AB CD可能相交于点N MN的最大值为 5 MN的最小值为 l 其中真命题的个数为 C A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 32 2011 2011 锦州期末锦州期末 本小题 12 分 下图是一几何体的直观图 主视图 俯视图 左视图 若F为PD的中点 求证 AF 面PCD 证明 BD面PEC 求面PEC与面PCD所成的二面角 锐角 的余弦值 解 由几何体的三视图可知 底面 ABCD 是边长为 4 的正方形 PA 面 ABCD H E M F D B A C G PA EB PA 2EB 4 PA AD F 为 PD 的中点 PD AF 又 CD DA CD PA PA DA A CD 面 ADP CD AF 又 CD DP D AF 面 PCD 4 分 取 PC 的中点 M AC 与 BD 的交点为 N 连结 MN MN 2 1 PA MN PA MN EB MN EB 故四边形 BEMN 为平行四边形 EM BN 又 EM 面 PEC BD 面 PEC 7 分 分别以 BC BA BE 为 x y z 轴建立空间直角坐标系 则 C 4 0 0 D 4 4 0 E 0 0 2 A 0 4 0 P 0 4 4 F 为 PD 的中点 F 2 4 2 AF 面 PCD FA为面 PCD 的一个法向量 FA 2 0 2 设平面 PEC 的法向量为n x y z 则 0 0 CPn CEn 0 2 zyx xz 令 x 1 2 1 1 n 10 分 2 3 cos nFA nFA nFA FA与n的夹角为 6 5 面 PEC 与面 PDC 所成的二面角 锐角 的余弦值为 2 3 12 分 33 2011 金华十二校一联 金华十二校一联 如图 已知三棱柱 111 ABCABC 的各条棱长都相等 且 1 CC 底面ABC M是侧棱 1 CC的中点 则异面直线 1 AB和BM所成的角的大小是 A A 2 B 4 C 6 D 3 34 2011 金华十二校一联 金华十二校一联 若某几何体的三视图 单位 cm 如右图所示 则该几何 体的表面积为 7 2 cm 35 2011 金华金华十二校一联 十二校一联 已知 直线 a b 平面 给出下列四个命题 ab ab 则 ab ab 则 则 aab 则 ab 其中真命题是 填写真命题的编号 36 2011 金华十二校一联 金华十二校一联 本题满分 14 分 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 1 22AAABAD 且 11 0 1 PCCC I 求证 对任意01 总有APBD II 若 1 3 求二面角 1 PABB 的余弦值 III 是否存在 使得AP在平面 1 B AC上的射影 平分 1 B AC 若存在 求出 的值 若不存 在 说明理由 解 I 以D为坐标原点 分别以 1 DADCDD 所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 设1AB 则 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 2 DABCB 1 0 1 2 0 1 2 2 CP 从而 1 1 0 1 1 22 BDAP 0BD AP A 即APBD 分 II 由 及 1 3 得 1 4 1 1 0 1 2 3 APAB 设平面 1 AB P的法向量为 1 nx y 则 43 10 33 20 2 x xy y xy 从而可取平面 1 AB P的法向量为 2 6 3 n 又取平面 1 ABB的法向量为 1 0 0 m 且设二面角 1 PABB 为 所以 2 cos 7 m n m n A A 分 III 假设存在实数 01 满足条件 由题结合图形 只需满足AP 分别与 1 AC AB 所成的角相等 即 1 1 AP ABAP AC APACAPAB AA AA 即 22 254 48624865 AA 解得 510 0 1 4 所以存在满足题意得实数 510 4 使得AP在平面 1 B AC上 的射影平分 1 B AC 14 分 EC1 B1 A1 C B A 37 2011 2011 九江七校二月联考 九江七校二月联考 三视图已知三棱锥的主视图与俯视图如下图 俯视图是边 长为 2 的正三角形 那么该三棱锥的左视图可能为 B 38 2011 2011 九江七校二月联考 九江七校二月联考 已知在平面内 垂直于同一条直线的两条直线平行垂直于同一条直线的两条直线平行 在空 间中可以类比得出以下一组命题 在空间中 垂直于同一直线的两条直线平行 在空间中 垂直于同一直线的两个 平面平行 在空间中 垂直于同一平面的两条直线平行 在空间中 垂直于同一平 面的两个平面平行 其中 正确的结论的个数为 B A 1 B 2 C 3 D 4 39 2011 2011 九江七校二月联考 九江七校二月联考 本小题满分 12 分 如图 在 三棱柱 111 ABCABC 中 已知 1 1 2 BCBB 0 1 90BCC AB 侧面 11 BBC C 1 求直线 C1B 与底面 ABC 所成角的正弦值 2 在棱 1 CC 不包含端点 1 C C上确定一点E的位置 使得 1 EAEB 要求说明理由 3 在 2 的条件下 若2AB 求二面角 11 AEBA 的大小 解 如图 以B为原点建立空间直角坐标系 则 0 0 0 B 1 1 2 0 C 1 0 2 0 B 主视图 A B C D 俯视图 1 直三棱柱 111 ABCABC 中 平面ABC的法向量 1 0 2 0 BB 又 1 1 2 0 BC 设 1 BCABC 与平面所成角为 则 11 2 5 sincos 5 BB BC 4分 2 设 1 0 0 0 EyAz 则 1 1 2 0 EBy 1 EAy z 1 EAEB 1 1 2 0EA EByy 1y 即 1 1 0 E 1 ECC 为的中点 8分 3 0 0 2 A 则 1 1 1 2 1 1 0 AEB E 设平面 1 AEB的法向量n 111 x y z 则 n n 1 0 0 AE B E 111 11 20 0 xyz xy 取n 1 1 2 10分 1 1 0 BE 1 1 10BE B E 1 BEB E 又 11 BEAB 11 BEAB E 平面 平面 11 AB E的法向量1 1 0BE cos n BE 2 2 BE n BE n 二面角 11 AEBA 为45 12分 40 2011 2011 南昌期末南昌期末 如图所示 一个空间几何体的主视图和左视图都是 边长为 1 的正方形 俯视图是一个直径为 1 的圆 那么这个几何体的体积为 D A 3 2 B 2 C 3 D 4 41 2011 2011 南昌期末南昌期末 如图 在透明塑料制成的长方体 ABCD A1B1C1D1 容器内灌进一些水 将容 器底面一边 BC 固定于地面上 再将容器倾斜 随着倾斜度的不同 有下列四个说法 水的部分始终呈棱柱状 水面四边形 EFGH 的面积不改变 棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行 当 1 EAA 时 AE BF 是定值 其中正确说法是 D A B C D 42 2011 2011 南昌期末南昌期末 直三棱柱 111 ABCABC 的各顶点都在同一球面上 若 2 1 1 AAACAB 120BAC 则此球的表面积等于 8 43 2011 2011 南昌期末南昌期末 本小题满分 12 分 在直角梯形 PBCD 中 4 2 2 PDCDBCCD A 为 PD 的中点 如下左图 将 PAB 沿 AB 折到 SAB 的位置 使 BCSB 点 E 在 SD 上 且 SDSE 3 1 如下右图 1 求证 SA 平面 ABCD 2 求二面角 E AC D 的正切值 解 1 证明 在图中 由题意可知 ABCDPDBA 为正方形 所以在图中 2 SAABSA 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形 因为 BCSB AB BC 所以 BC 平面 SAB 3 分 又 SA 平面 SAB 所以 BC SA 又 SA AB 所以 SA 平面 ABCD 6 分 2 解法一 在 AD 上取一点 O 使 ADAO 3 1 连接 EO 因为 SDSE 3 1 所以 EO SA 7 分 所以 EO 平面 ABCD 过 O 作 OH AC 交 AC 于 H 连接 EH 则 AC 平面 EOH 所以 AC EH 所以 EHO 为二面角 E AC D 的平面角 9 分 3 4 3 2 SAEO 在 AHORt 中 3 2 2 2 3 2 45sin 45 AOHOHAO 11 分 22tan OH EO EHO 即二面角 E AC D 的正切值为 22 12 分 解法二 如图 以 A 为原点建立直角坐标系 2 4 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 2 0 3 3 ABCDSE 7 分 易知平面 ACD 的法向为 2 0 0 AS 设平面 EAC 的法向量为 zyxn 3 4 3 2 0 0 2 2 AEAC 9 分 由 0 0 AEn ACn 所以 02 0 zy yx 可取 1 2 2 z y x 所以 1 2 2 n 11 分 所以 3 1 32 2 cos ASn ASn ASn 所以 22 tan ASn 即二面角 E AC D 的正切值为 22 12 分 44 2011 日照一调日照一调 已知直线 l m 平面 且 l m 给出四个命题 C 若 则 l m 若 l m 则 若 则 l m 若 l m 则 其中真命题的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 45 2011 日照一调日照一调 右图是某四棱锥的三视图 则该 几何体的表 面积等于 A A 346 5 B 66 54 3 C 66 34 13 D 176 5 46 2011 日照一调日照一调 给出如下定理 若Rt ABC 的斜边 AB 上的高为 h 则有 111 222 CBCAh 在四面体 P ABC 中 若 PA PB PC 两两垂直 底面 ABC 上的高为 h 类比上 述定理 得到的正确结论是 2222 1111 PCPBPAh 47 2011 三明三校二月联考 三明三校二月联考 已知某几何体的三视图如下 则该几何体的表面积是 B A 24 B 36 6 2 C 36 D 36 12 2 48 2011 三明三校二月联考 三明三校二月联考 给出下列关于互不相同的直线 m n l 和平面 的四个 命题 mlA Amlm 则与不共面 l m 是异面直线 lmnl nmn 且则 若 lmlmA lm 则 若 lmlm 则 其中假命题是 49 2011 三明三校二月联考 三明三校二月联考 本题满分 本题满分 13 分 分 如 图已知直角梯形ACDE所在的平面 垂直于平面ABC 90BACACD 60EAC ABACAE 1 在直线BC上是否存在一点P 使得 DP平面EAB 请证明你的结论 2 求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角 的余弦值 解解 1 线段BC的中点就是满足条件的点P 1 分 证明如下 取AB的中点F连结DPPFEF 则 ACFP ACFP 2 1 2 分 取AC的中点M 连结EMEC ACAE 且60EAC EAC是正三角形 ACEM 四边形EMCD为矩形 ACMCED 2 1 又 ACED 3 分 正视图正视图 侧视图侧视图 俯视图俯视图 4 4 4 4 3 3 A B C DE 5图 A B C DE P M F FPED 且EDFP 四边形EFPD是平行四边形 4 分 EFDP 而EF 平面EAB DP 平面EAB DP平面EAB 2 法 1 过B作AC的平行线l 过C作l的垂线交l于G 连结DG ACED lED l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱 8 分 平面EAC 平面ABC ACDC DC平面ABC 又 l平面ABC DCl l平面DGC DGl DGC 是所求二面角的平面角 10 分 设aAEACAB2 则aCD3 aGC2 aCDGCGD7 22 7 72 coscos GD GC DGC 13 分 法 2 90BAC 平面EACD 平面ABC 以点A为原点 直线AB为x轴 直线AC为y轴 建立空间直角坐标系xyzA 则z轴在平面 EACD内 如图 设aAEACAB2 由已知 得 0 0 2 aB 3 0 aaE 3 2 0 aaD 3 2 aaaEB 0 0 aED 8 分 设平面EBD的法向量为 nx y z 则nEB 且nED 0 0 n EB n ED 0 032 ay azayax 解之得 0 2 3 y zx 取2z 得平面EBD的一个法向量为 3 0 2 n 10 分 又 平面ABC的一个法向量为 0 0 1 n 11 分 222222 300 02 12 7 coscos 7 3 02001 n n 13 分 50 2011 汕头期末汕头期末 若m n为两条不重合的直线 为两个不重合的平面 则下列命题 中的真命题个数是 若m n都平行于平面 则m n一定不是相交直线 若m n都垂直于平面 则m n一定是平行直线 已知 互相垂直 m n互相垂直 若 m 则 n m n在平面 内的射影互相垂直 则m n互相垂直 A 1 B 2 C 3 D 4 解 为假命题 为真命题 在 中n可以平行于 也可以在 内 是假命题 中 A B C DE P M F G A B C DE P M F y x z m n也可以不互相垂直 为假命题 故选 A 51 2011 汕头期末汕头期末 已知三棱锥PABC 的四个顶点均在半径为3的球面上 且PA PB PC两 两互相垂直 则三棱锥PABC 的侧面积的最大值为 解 依题意知 PA PB PC 两两垂直 以 PA PB PC 为棱构造长方体 则该长方体的对角线即 为球的直径 所以 2222 222222 436 11 18 22222 2 3 PAPBPCR PAPBPBPCPCPA SPA PBPB PCPC PA PAPBPC AAA 当时 取等号 52 2011 汕头期末汕头期末 本小题满分14分 已知几何体BCDEA 的三视图如图所示 其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形 正 视图为直角梯形 求此几何体的体积 求异面直线DE与AB所成角的余弦值 探究在DE上是否存在点Q 使得BQAQ 并说明理由 解 由该几何体的三视图可知AC垂直于底面BCED 且4 ACBCEC 1 BD 104 14 2 1 BCED S 3 40 410 3 1 3 1 ACSV BCED 此几何体 的体积为 3 40 5 分 解法一 过点B作EDBF 交EC于F 连接AF 则FBA 或其补角即为异面直线DE与AB所成角 在 BAF 中 24 AB 5916 AFBF 5 22 2 cos 222 ABBF AFABBF ABF 即异面直 线DE与 AB所成角的余弦值为 5 22 9 分 在DE上存在点 Q 使得BQAQ 取BC中点O 过点O作DEOQ 于点Q 则点 Q为所求点 连接EO DO 在ECORt 和OBDRt 中 2 BD OB CO EC ECORt OBDRt BODCEO 0 90 CEOEOC 0 90 DOBEOC 0 90 EOD 52 22 COCEOE 5 22 BDOBOD 2 5 552 ED ODOE OQ 以O为圆心 BC为直径的圆与DE相切 切点为Q 连接BQ CQ 可得CQBQ ACBCED 平面 BCEDBQ BQAC ACQ