（江苏专用）2013年高考数学二轮复习 专题10数列(Ⅱ)学案

1 专题专题 1010 数数 列列 回顾 2008 2012 年的高考题 数列是每一年必考的内容之一 其中在填空题中 会出现等差 等比 数列的基本量的求解问题 在解答题中主要考查等差 等比数列的性质论证问题 只有 2009 年难度为中 档题 其余四年皆为难题 预测在 2013 年的高考题中 数列的考查变化不大 1 填空题依然是考查等差 等比数列的基本性质 2 在解答题中 依然是考查等差 等比数列的综合问题 可能会涉及恒等关系论证和不等关系的 论证 1 在等差数列 an 中 公差d 前 100 项的和S100 45 则a1 a3 a5 a99 1 2 解析 S100 a1 a100 45 a1 a100 100 2 9 10 a1 a99 a1 a100 d 2 5 a1 a3 a5 a99 a1 a99 10 50 2 50 2 2 5 答案 10 2 已知数列 an 对任意的p q N N 满足ap q ap aq 且a2 6 那么a10 解析 由已知得a4 a2 a2 12 a8 a4 a4 24 a10 a8 a2 30 答案 30 3 设数列 an 的前n项和为Sn 令Tn 称Tn为数列a1 a2 an的 理想数 S1 S2 Sn n 已知数列a1 a2 a500的 理想数 为 2 004 那么数列 12 a1 a2 a500的 理想数 为 解析 根据理想数的意义有 2 004 500a1 499a2 498a3 a500 500 2 501 12 500a1 499a2 498a3 a500 501 2 012 501 12 2 004 500 501 答案 2 012 4 函数y x2 x 0 的图象在点 ak a 处的切线与x轴交点的横坐标为ak 1 k为正整数 2k a1 16 则a1 a3 a5 解析 函数y x2 x 0 在点 16 256 处的切线方程为y 256 32 x 16 令y 0 得a2 8 同理 函数y x2 x 0 在点 8 64 处的切线方程为y 64 16 x 8 令y 0 得a3 4 依次同理求得 a4 2 a5 1 所以a1 a3 a5 21 答案 21 5 将全体正整数排成一个三角形数阵 按照以上排列的规律 第n行 n 3 从左向右的第 3 个数为 解析 前n 1 行共有正整数 1 2 n 1 个 即个 因此第n行第 3 个数是全体正整数 n2 n 2 中第 3 个 即为 n2 n 2 n2 n 6 2 答案 n2 n 6 2 典例1 1 已知正数数列 an 对任意p q N N 都有ap q ap aq 若a2 4 则an 2 数列 an 为正项等比数列 若a2 1 且an an 1 6an 1 n N N n 2 则此数列的前n项和 Sn 解析 1 由ap q ap aq a2 4 可得a2 a 4 a1 2 所以ap 1 ap a1 即 2 1 a1 2 即数列 an 为等比数列 所以an a1 qn 1 2 2n 1 2n ap 1 ap 2 设等比数列的公比为q 由an an 1 6an 1知 当n 2 时 a2 a3 6a1 再由a2 1 得 1 q 化简得q2 q 6 0 解得q 3 或q 2 q 0 6 q q 2 a1 Sn 2n 1 1 2 1 2 1 2n 1 2 1 2 3 答案 1 2n 2 2n 1 1 2 这两题分别是由 ap q ap aq 和 an an 1 6an 1 推出其他条件来确定基本量 不过第 1 小 题中首先要确定该数列的特征 而第 2 小题已经明确是等比数列 代入公式列方程求解即可 演练1 已知 an 是等差数列 a10 10 前 10 项和S10 70 则其公差d 解析 法一 因为S10 70 所以 70 即a1 a10 14 又a10 10 所以a1 4 故 10 a1 a10 2 9d 10 4 6 所以d 2 3 法二 由题意得Error Error 解得Error Error 答案 2 3 典例2 已知数列 an 的前n项和Sn满足Sn 2an 1 n n 1 1 写出数列 an 的前三项a1 a2 a3 2 求证数列为等比数列 并求出 an 的通项公式 an 2 3 1 n 解 1 在Sn 2an 1 n n 1 中分别令n 1 2 3 得 Error Error 解得Error Error 2 由Sn 2an 1 n n 1 得Sn 1 2an 1 1 n 1 n 2 两式相减得an 2an 1 n 2an 1 1 n 1 n 2 即an 2an 1 2 1 n n 2 an 2an 1 1 n 1 n 2an 1 1 n 1 1 n 4 3 2 3 4 3 2 3 an 1 n 2 an 1 1 n 1 n 2 2 3 2 3 故数列是以a1 为首项 2 为公比的等比数列 an 2 3 1 n 2 3 1 3 所以an 1 n 2n 1 2 3 1 3 即an 2n 1 1 n 1 3 2 3 1 求数列通项公式的方法 1 公式法 2 根据递推关系求通项公式有 叠加法 叠乘法 转化法 3 已知前n项和公式用an Error Error 求解 2 数列求和的基本方法 1 公式法 2 分组法 3 裂项相消法 4 错位相减法 5 倒序相加 4 法 演练2 已知数列 an 的前n项和为Sn 且满足 2Sn pan 2n n N N 其中常数p 2 1 证明 数列 an 1 为等比数列 2 若a2 3 求数列 an 的通项公式 3 对于 2 中数列 an 若数列 bn 满足bn log2 an 1 n N N 在bk与bk 1之间插入 2k 1 k N N 个 2 得到一个新的数列 cn 试问 是否存在正整数m 使得数列 cn 的前m项的和Tm 2 011 如果存在 求出m的值 如果不存在 说明理由 解 1 证明 因为 2Sn pan 2n 所以 2Sn 1 pan 1 2 n 1 所以 2an 1 pan 1 pan 2 所以an 1 an 所以an 1 1 an 1 p p 2 2 p 2 p p 2 因为 2a1 pa1 2 且p 2 所以a1 0 2 p 2 所以a1 1 0 p p 2 所以 0 an 1 1 an 1 p p 2 所以数列 an 1 为等比数列 2 由 1 知an 1 n p p 2 所以an n 1 p p 2 又因为a2 3 所以 2 1 3 p p 2 所以p 4 an 2n 1 3 由 2 得bn log22n n n N N 数列 cn 中 bk 含bk项 前的所有项的和是 1 2 3 k 20 21 22 2k 2 2 2k 2 k k 1 2 当k 10 时 其和是 55 210 2 1 0772 011 又因为 2 011 1 077 934 467 2 是 2 的倍数 所以当m 10 1 2 22 28 467 988 时 Tm 2 011 所以存在m 988 使得Tm 2 011 典例3 将数列 an 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表 5 已知表中的第一列数a1 a2 a5 构成一个等差数列 记为 bn 且b2 4 b5 10 表中每一行正 中间一个数a1 a3 a7 构成数列 cn 其前n项和为Sn 1 求数列 bn 的通项公式 2 若上表中 从第二行起 每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列 公比为同一个正数 且a13 1 求Sn 记M n n 1 cn n N N 若集合M的元素个数为 3 求实数 的取值范围 解 1 设数列 bn 的公差为d 则Error Error 解得Error Error 所以bn 2n 2 设每一行组成的等比数列的公比为q 由于前n行共有 1 3 5 2n 1 n2个数 且 32 13 42 所以a10 b4 8 所以a13 a10q3 8q3 又a13 1 解得q 1 2 因此cn 2n n 1 1 2 n 2n 2 所以Sn c1 c2 cn 1 cn Sn 1 2 1 2 20 n 1 2n 3 n 2n 2 1 2 1 20 2 21 n 1 2n 2 n 2n 1 因此Sn 4 4 1 2 1 2 1 1 20 1 21 1 2n 2 n 2n 1 1 2n 2 n 2n 1 n 2 2n 1 解得Sn 8 n 2 2n 2 由 知cn 不等式 n 1 cn 可化为 n 2n 2 n n 1 2n 2 设f n n n 1 2n 2 计算得f 1 4 f 2 f 3 6 f 4 5 f 5 15 4 因为f n 1 f n n 1 2 n 2n 1 所以当n 3 时 f n 1 f n 因为集合M的元素的个数为 3 所以 的取值范围是 4 5 本题第二小问中 的参数取值范围问题 运用了函数的思想方法 进行参数分离转化为 6 再构造函数求出的取值范围 从而得到参数 的取值范围 这里要注意n只 n n 1 2n 2 n n 1 2n 2 能取正整数 演练3 下面的数组均由三个数组成 它们是 1 2 3 2 4 6 3 8 11 4 16 20 5 32 37 an bn cn 1 请写出cn的一个表达式 cn 2 若数列 cn 的前n项和为Mn 则M10 用数字作答 解析 由 1 2 3 4 5 猜想an n 由 2 4 8 16 32 猜想bn 2n 由每组数都是 前两个之和等于第三个 猜想cn n 2n 从而M10 1 2 10 2 22 210 2 101 10 10 1 2 2 210 1 2 1 答案 1 n 2n 2 2 101 专题技法归纳 1 数列的递推关系是相邻项之间的关系 高考对递推关系的考查不多 填空题中出现复杂递推关系 时 可以用不完全归纳法研究 在解答题中主要是转化为等差 等比数列的基本量来求解 2 数列求和问题 主要考查利用公式法求数列的前n项和 再论证和的性质 故不过多涉及求和的 技巧以及项的变形 3 数列中an或Sn的最值问题与函数处理方法类似 首先研究数列an或Sn的特征 再进一步判断数 列的单调性 从而得到最值 要注意的细节是n只能取正整数 4 数列中大小比较与不等式中大小比较方法类似 同类型的多项式比较可以作差作商或用基本不等 式 不同类型的比较一般要构造函数来解决 5 数列中的参数取值范围问题在处理时 首选还是参数分离 分离后根据新数列的单调性确定最值 或范围 1 已知等差数列 an 中 a7 a9 16 a4 1 则a12的值为 解析 由a7 a9 16 得a8 8 由a4 a12 2a8 得a12 15 答案 15 2 已知数列 an 满足a1 0 an 1 n N N 则a20 an 3 3an 1 解析 由a1 0 an 1 n N N 得a2 a3 a4 0 由此可知 数列 an an 3 3an 133 7 是周期变化的 且循环周期为 3 所以可得a20 a2 3 答案 3 3 已知a b a b成等差数列 a b ab成等比数列 且 0 logm ab 1 则m的取值范围是 解析 由题意得Error Error 即Error Error 解得Error Error 由 0 logm88 答案 8 4 等差数列 an 共有 2n 1 项 其中奇数项之和为 319 偶数项之和为 290 则n 解析 由 1 2 a1 a2n 1 n 1 1 2 a2 a2n n n 1 n 319 290 得n 10 答案 10 5 设等比数列 an 的公比为q 前n项和为Sn 若Sn 1 Sn Sn 2成等差数列 则q的值为 解析 由题意可知q 1 可得 2 1 qn 1 qn 1 1 qn 2 即q2 q 2 0 解得q 2 或q 1 不合题意 舍去 q 2 答案 2 6 所有正奇数如下数表排列 表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的 2 倍 第一行 1 第二行 3 5 第三行 7 9 11 13 则第 6 行中的第 3 个数是 解析 由 1 2 4 8 16 3 34 得第六行第三个数为第 34 个正奇数 所以这个数是 2 34 1 67 答案 67 7 设 1 a1 a2 a7 其中a1 a3 a5 a7成公比为q的等比数列 a2 a4 a6成公差为 1 的等 差数列 则q的最小值是 解析 记a2 m 则 1 m q m 1 q2 m 2 q3 要q取最小值 则m必定为 1 于是有 1 q 2 2 q2 3 3 q3 所以q 3 3 答案 3 3 8 已知数列 an 满足a1 2 an 1 n N N 则数列 an 的前 100 项的和为 5an 13 3an 7 解析 由a1 2 an 1 n N N 得a2 3 a3 1 a4 5an 13 3an 7 5 2 13 3 2 7 5 3 13 3 3 7 8 2 则 an 是周期为 3 的数列 所以S100 2 3 1 33 2 200 5 1 13 3 1 7 答案 200 9 已知数列 an bn 满足a1 1 a2 2 b1 2 且任意的正整数i j k l 当i j k l时 都有ai bj ak bl 则 ai bi 的值是 1 2 010 2 010 i 1 解析 由题意得a1 1 a2 2 a3 3 a4 4 a5 5 b1 2 b2 3 b3 4 b4 5 b5 6 归纳得 an n bn n 1 设cn an bn cn an bn n n 1 2n 1 则数列 cn 是首项为c1 3 公差为 2 的 等差数列 所以 ai bi 2 012 1 2 010 2 010 i 1 1 2 010 2 010 3 4 021 2 答案 2 012 10 对正整数n 设曲线y xn 1 x 在x 2 处的切线与y轴交点的纵坐标为an 则数列的前 an n 1 n项和是 解析 y nxn 1 n 1 xn 曲线y xn 1 x 在x 2 处的切线的斜率为 k n 2n 1 n 1 2n 切点为 2 2n 所以切线方程为y 2n k x 2 令x 0 得 an n 1 2n 令bn 2n 数列的前n项和为 2 22 23 2n 2n 1 2 an n 1 an n 1 答案 2n 1 2 11 已知数列 an 满足an 0 且对一切n N N 有a a a S a1 a2 an Sn 3 13 23n2n 1 求证 对一切n N N 有a an 1 2Sn 2n 1 2 求数列 an 通项公式 解 1 证明 a a a S 3 13 23n2n a a a a S 3 13 23n3n 12n 1 得S S a 2n 12n3n 1 即 Sn 1 Sn Sn 1 Sn a